2008-2014高考试题解析分类汇编排列组合

2008年高考中的“计数原理、二项式定理”试题汇编

大全

一、选择题：

1．（2008安徽文、理）设8

8018(1),x a a x a x +=++

+则0,18,,a a a 中奇数的个数为

（ A ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2．（2008安徽文、理）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中

抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( C )

A ． 26

86C A

B ． 22

83C A

C ．22

86C A

D ．22

85C A

3．(2008福建文、理)某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法有（ A ）Ａ．14 Ｂ．24 Ｃ．28 Ｄ．48

4、(2008海南、宁夏理)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ A ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种

5. (2008湖北文)3

(2)2x x -

的展开式中常数项是（B ） A.210 B.1052 C.1

D.-105

6. (2008湖北文、理)从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（B ）

A.100

B.110

C.120

D.180

7. (2008湖南理)设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［

］=1）,对于给定的n ∈N *, 定义[][](1)(1),(1)(1)x

n n n n x C x x x x --+=--+x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32??????时，函数x n C 的值域是(D. )

A.16,283??????

B.16,563??????

C.284,3??? ???[)28,56

D.16284,,2833????

? ??????

7．【解析】当x ∈3,22??

????

时，3

28816,332

C ==当2x →时，[]1,x = 所以8842x C ==;

当[)2,3时，2

88728,21C ?=

=?当3x →时，[]2,x = 88728

,323x C ?==? 故函数x

C 8的值域是16284,,2833?????

??????

.选D.

8．(2008湖南文) 某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，

则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( C ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75

8．【解析】用直接法：111221

35353515301560,C C C C C C ++=++=

或用间接法：2222

4635903060,C C C C -=-=故选Ｃ.

9．(2008江西文) 10

1(1)(1)x x

++展开式中的常数项为（D ） A ．1 B ．1

10()C C ．1

20C D ．10

20C

9.解： D 20

1010

1(1)(1)(1)x x x x +++=

10．(2008江西理) (1＋3x )6(1＋

)10展开式中的常数项为（ D ）

A ．1

B ．46

C ．4245

D ．4246

11．(2008辽宁文、理) 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种

12．(2008全国Ⅱ卷理) 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ D ） A ．929

B ．

1029

C ．

1929

D ．

2029

13．(2008全国Ⅱ卷文)44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ A ）

A ．4-

B ．3-

C ．3

D ．4

14．(2008全国Ⅱ卷理) 64(1(1+的展开式中x 的系数是（ B ）

A ．4-

B ．3-

C ．3

D ．4

15．(2008全国Ⅰ卷文) 5

12x ??+ ???

的展开式中2

x 的系数为（ C ）

A ．10

B ．5

C ．

D ．1

16．(2008全国Ⅰ卷文) 将1，2，3填入33?的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ B ）

A ．6种

B ．12种

C ．24种

D ．48种

17．(2008全国Ⅰ卷理)如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（

A ．96

B ．84

C ．60

D ．48 17．.B.分三类：种两种花有2

4A 种种法；种三种花有

42A 种种法；

种四种花有4

A 种种法.共有2344

284A A A ++=.

另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84???+?=

18．(2008山东理)（X -

）12展开式中的常数项为（ C ）

（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)220

19.(2008上海理)组合数C r

n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ D ）

A ．r +1n +1C r -1n -1

B ．(n +1)(r +1)

C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1

D ．n r C r -1n -1

20．(2008四川理) 从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )

（Ａ）70种（Ｂ）112种（Ｃ）140种（Ｄ）168种

20．【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有4

10C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有4

8C 种不同挑选方法；

∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有44

10821070140C C -=-=种不

同挑选方法故选C ；【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；

21．(2008天津理)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有( B )

(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种

21．解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12

224C A =种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数4

6360A =去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一

行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2

412A =种排法.所以此时余下的这4个数字

共有360412312-?=种方法．由乘法原理可知共有31248412?=种不同的排法，选B ．

22．（2008浙江文、理）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4

x 的项的系数是（ A ）

（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274

23．(2008重庆文)若(x +12x

的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为(B )

(A)6

(B)7

(D)9

二、填空题：

1．（2008北京文）若5

)1(x

x +展开式的各项数之和为 10 ; 各项系数之和为 32 .（用数字作答）

2．（2008北京理）若231n

x x ?

?+ ??

?展开式的各项系数之和为32，则n = 5 ，其展开式中

的常数项为 10．（用数字作答）

3. (2008福建文) 91()x x

+展开式中3

x 的系数是 84 （用数字作答）

4．(2008福建理)若(x -2)5=a 3x 5+a 5x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=____31___.(用数字作答)

5. (2008广东理)已知6

2)1(kx +(k 是正整数)的展开式中，8

x 的系数小于120，则k=___1___.

10．解：8

x 的系数为444615k k C =，

由120154

6．(2008湖南文) 记n

x )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =___5__. 6．【解析】由211(2)()2,r n r r n r r n r

r n n T C x C x

---+=?=??得2233222,n n n n C C --?=?? 所以解得 5.n =

7．(2008湖南文)设[]x 表示不超x 的最大整数，（如[]14

5,22=??

???=）。对于给定的+∈N n ,

定义[][][),,1,)1()1()1()2)(1(+∞∈+--+---=

x x x x x x n n n n C x n

则3

28C =___16

_____;

当[)3,2∈x 时，函数x

C 8的值域是_____28

(

,28]3

_______。 7．【解析】3

816,332

C =

=当2x =时，2887

28,21C ?==?当3x →时，[]2,x = 所以88728,323

C ?==?故函数x C 8的值域是28(,28]3.

8. (2008湖南理)对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,

,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体

{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从

每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P =

()

m n m - ; 所有ij P (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 6 .

8．【解析】1111

122

4(1)(1)4;(1)()(1)()

m n m n m n m C C m n m P C C m m n m n m m n m ----?---===?-----第二空可分: ①当 {},1,2,,i j m ∈时, 2

ij m

C P C ==; ②当 ,i j ∈{}1,2,,m m n ++时, 1ij P =;

③当{}1,2,,,i m ∈j ∈{}1,2,

,m m n ++时, 4

()4()

ij P m n m m n m =-?

=-;

所以114 6.ij P =++=

9．(2008辽宁文) 6

321(1)x x x ?

?++ ??

?展开式中的常数项为 35 ．

10．(2008辽宁理)已知2

31(1)n

x x x x ??+++ ??

?的展开式中没有．．

常数项，n ∈*

N ，且2≤n ≤8，则n =__5_．

11．(2008全国Ⅱ卷文)从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 420 种（用数字作答）

12.(2008陕西文) 7

2(1)x

-的展开式中

x 的系数为 84 ．(用数字作答)

13.(2008陕西文、理)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．

14．(2008四川文) 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有_______140_________种。

14．【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有4

10C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有4

8C 种不同挑选方法；

∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有44

10821070140C C -=-=种不

同挑选方法故填140；【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；

15．(2008四川文)()()34

121x x +-展开式中x 的系数为______2______。 15．【解】：∵()()3

121x x +-展开式中x 项为

()()()()0

03131204

3434121121C x C x C x C x ?-+??-

∴所求系数为()011343

12462C C C ?-+?=-+= 故填2 【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；

16．(2008四川理) ()()3

121x x +-展开式中2x 的系数为______6-_________。 16．【解】：∵()()34

121x x +-展开式中2x 项为

()()()()()()0

032212132204

343434*********C x C x C x C x C x C x ?-+?-+?-

∴所求系数为()021122043434342121624126C C C C C C ?+??-+??=-+=- 故填6-

【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；

17．(2008天津文)5

2x x ??+ ??

?的二项展开式中3

x 的系数为 10

（用数字作答）．

18．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，

从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则

不同的排法共有 432 种（用数字作答）．

19．(2008天津理) 5

??? ?

?-x x 的二项展开式中，2

x 的系数是 40 （用数字作答）. 19．解析：3552

155((2)r r r r r r

r T C x C x --+==-，所以2r =，系数为225(2)40C -=. 20．（2008浙江文、理）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻

两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 40 （用数字作答)。

21．(2008重庆文)某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所

示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 12 种（用数字作答）.

22．(2008重庆理)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 216 种（用数字作答）.

2009年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理

一、选择题

1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法243

31212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122

322=A A ，共有选法36种，选A.

2.（2009浙江卷理）在二项式2

51()x x

-的展开式中，含4

x 的项的系数是( )

A ．10-

B ．10

C ．5-

D ．5答案：B

【解析】对于()251031551()

()1r

r r

r r r r T C x C x x

--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是22

5(1)10C -=

3.（2009北京卷文）若4

(1,a a b +=+为有理数），则a b +=

（）

A ．33

B ． 29

C ．23

D ．19 【答案】B

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.

∵(4

012344

C C

+=++++

112417=++=+

由已知，得17a +=+171229a b +=+=.故选B .

4.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A ．8

B ．24

C ．48

D ．120 【答案】C

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.

2和4排在末位时，共有1

22A =种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有3

443224A =??=种排法，

于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448?=（个）.故选C .

5.（2009北京卷理）若5

)2(,a a b =为有理数），则a b +=

（）

A ．45

B ．55

C ．70

D ．80 【答案】C

【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵

(

555

1C C C C C C +=+++++

1202041=+++=+

由已知，得41a +=+，∴412970a b +=+=.故选C .

6．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A ．324

B ．328

C ．360

D ．648 【答案】B

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知

识、基本运算的考查.

首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有2

99872A =?=（个），

当0不排在末位时，有111

488488256A A A ??=??=（个），

于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B . 7.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

（A ）6种（B ）12种（C ）24种（D ）30种答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数2424C C =36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为2

4C =6，故只恰好有1门相同的选法有24种。

8.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A ）150种（B ）180种（C ）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112

536225C C C ??=种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有211

562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

9.（2009江西卷理）(1)n

ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为

A ．2,1,5a b n ==-=

B ．2,1,6a b n =-=-=

C ．1,2,6a b n =-==

D ．1,2,5a b n ===答案：D

【解析】5(1)2433n b +==，5

(1)322n a +==，则可取1,2,5a b n ===，选D 10.(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

.18A .24B .30C .36D

【答案】C

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ，顺序有33A 种，而

甲乙被分在同一个班的有33A 种，所以种数是2334

3330C A A -=

11.(2009湖北卷理)

设22221201212)...n n n n n x a a x a x a x a x --=+++++，则22024213521lim[(...)(...)]n n n a a a a a a a a -→∞

++++-++++=

.1A - .0B .1C

D 【答案】B

【解析】令0x =

得2012

n n a == 令1x =

时20122(

1)2

n n a a a a +=+++???+ 令1x =-

时201221)n n a a a a =-+-???+

两式相加得：220221)1)222n n n a a a ++-++???+=

两式相减得：2213211)1)222

n n n a a a ---++???+=

代入极限式可得，故选B

12.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36 【答案】B

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

223=A C 种不同排

法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

223=A C 种不同

排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有2

26A A =24种排法；第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共

有2

26A ＝12种排法

第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有2

26A ＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

13. （2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种

解：用间接法即可.222

44430C C C ?-=种. 故选C

14.（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A ）70种（B ） 80种（C ） 100种（D ）140种

【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种

间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A

15.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有

A.120种

B.96种

C.60种

D.48种【答案】C

【解析】5人中选4人则有4

5C 种，周五一人有1

4C 种，周六两人则有2

3C ，周日则有1

1C 种，故共有4

5C ×1

4C ×2

3C =60种,故选C

16.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】

A ．14

B ．16

C ．20

D ．48

解:由间接法得321

62420416C C C -?=-=，故选B.

17.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A ）150种（B ）180种（C ）300种（D ）345种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

解：由题共有3452

61315121625=+C C C C C C ，故选择D 。

18.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36

【答案】B

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62

223=A C 种不同排

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有6

223=A C 种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分

三类情况：

第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有2

2226A A =24种排法；第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共

有2

26A ＝12种排法

第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有2

26A ＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。 19.（2009

陕西卷文）若2009

2009012009(12)

()x a a x a x x R -=+++∈,则

2009

22009

a a a +++

的值为（A ）2 （B ）0 （C ）1-

(D) 2

-答案:C. 解析

由

题

意

容

易

发现

112008200820081200920082009(2)22009 , (2)(2)2009a C a C =-=-?=-=-?,则20082008

11200820082009,2009,+=02222

a a a a =-=即, 同理可以得出

2007

222007+=022a a ,320063

2006+=022

a a ……… 亦即前2008项和为0, 则原式=2009122

200922

a a a +++=2009

200920092009

20092009

(2)122a C -==- 故选C. 20.（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组

成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为

(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网答案:C.

解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有1

4C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。

则共有1123

4333216C C C A =个故选C.

21.(2009湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]

A 85

B 56

C 49

D 28 【答案】：C

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：12

27C C 42?=，另一

类是甲乙都去的选法有21

27C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。

22.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有3322

2242333=A A C A 种，其中男生甲站两端的有1442

223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有188 解析2：由题意有222112222

2322323242()()188A C A C C A C A A ????+???=,选B 。

23.（2009重庆卷文）6(2)x +的展开式中3

x 的系数是（）

A ．20

B ．40

C ．80

D ．160

【答案】D

解法1设含3

x 的为第1r +，则1Tr +62r

r n C x

-=?，令63r -=，得3r =，故展开

式中3

x 的系数为3362160C ?=。

解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件3x 的项按3与3分配即可，则展开式中3

x 的系数

为33

62160C ?=。

24.（2009重庆卷文）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）

A ．

B ．

355

C ．

D ．

【答案】B

解析因为将12个组分成4个组的分法有4441284

C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分

法有3144

3984

2C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为31442444399842128433

C C C C A C C C A =

。二、填空题

1.（2009宁夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。

解析：33

74140C C =，答案：140

2.（2009湖北卷文）已知（1+ax ）3,=1+10x+bx 3+…+a 3x3,则b= .

【答案】40

【解析】因为15()r r r T C ax +=?∴11510C a =? 22

3C b a

?=.解得2,40a b ==

3.（2009

湖南卷文）在4(1的展开式中，x 的系数为 6 (用数字作答).

解:

()r r r

r r T C C x +?==，故2r =得x 的系数为2

4 6.C =

4.（2009全国卷Ⅰ文）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37

x y 的系数之和等于_____________.

【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）

解: 因r r r r r y x

C T -+-=10101)1(所以有373

101010()2240C C C -+-=-=- 5.（2009四川卷文）6

1(2)2x x

的展开式的常数项是（用数字作答）【答案】－20

【解析】r

r r r r r

r x

C x

x C T 262666612)1()21(

)

2()1(---+-=-=，令026=-r ，得3=r 故展开式的常数项为20)1(3

63-=-C 6.(2009湖南卷理)

在3

2(1)(1(1x +++

++的展开式中，x 的系数为___7__(用数字

作答) 【答案】：7

【解析】

由条件易知3

33(1),(1,(1x ++

+展开式中x 项的系数分别是123

333C ,C ,C ，

即所求系数是3317+++=

7.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。

解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901

333143323=+C A C A C 种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：2341

3332313143323=+C A C C C A C 种，所以共有

32423490=+个。

8.（2009四川卷理）6

1(2)2x x

的展开式的常数项是（用数字作答）【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）解析：由题知61(2)2x x

的通项为r r

r r r x C T 26266

12)1(--+-=，令026=-r 得3=r ，故常数项为20)1(3

63-=-C 。

9.（2009浙江卷理）观察下列等式：

153

5522C C +=-，

1597399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-， 159

131715

17171717

1722C C C C C ++++=+，

………

由以上等式推测到一个一般的结论：对于*

n N ∈，1

41414141n n n n n C C C C +++++++++= ．

答案：()41

212

12n

n n --+-

【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有()1n

-，二项指

数

分

别

为

412,2n n -

，

因此对于

n N ∈，

159

4141414141n n n n n C C C C ++++++++

+=()41

212

12n

n n --+- 10.（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案：336

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有3

7A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1

37C A 种，因此共有不同的站法种数是336种．

11.（2009浙江卷文）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数,1k k +，其中

0,1,2,,19k =．

从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A ，

则()P A = ．

【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平

【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即

7,8;8,9;16,17;17,18;18,19，而基本事件有20种，因此()P A =

12.（2009全国卷Ⅱ文）4)(x y y x -的展开式中3

y x 的系数为 ×

答案：6

解析：本题考查二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。

13.（2009全国卷Ⅰ理）()10

x y -的展开式中，7

x y 的系数与3

x y 的系数之和等于。

解: 373

101010()2240C C C -+-=-=-

14.（2009四川卷文）6

1(2)2x x

的展开式的常数项是（用数字作答）【答案】－20

【解析】r

r r r r r

r x

C x

x C T 262666612)1()21(

)

2()1(---+-=-=，令026=-r ，得3=r 故展开式的常数项为20

)1(3

63-=-C

15.（2009

全国卷Ⅱ理）(4

的展开式中3

x y 的系数为 6 。

解

：(

224x y =

，只需求4展开式中的含xy 项的系数：

246

C =

16.（2009年上海卷理）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，

若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）.

【答案】

【解析】ξ可取0，1，2，因此P （ξ＝0）＝2110

272

5=C C ， P （ξ＝1）＝21102

71215=C C C ， P （ξ＝2）＝21

272

2=C C ，E ξ＝0×2112211012110?+?+＝47

17.（2009重庆卷理）2

82()x x

+的展开式中4

x 的系数是（）

A ．16

B ．70

C ．560

D ．1120

【答案】

【解析】设含4

x 的为第2616316621,()

()2r

r r r r

r r T C x C x

--++==，1634r -= 所以4r =，故系数为：44

621120C =，选D 。

18.（2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A ．

891 B ．2591 C ．4891 D ．6091

【答案】C

【解析】因为总的滔法4

15,C 而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为

1121212116546546544

1548

C C C C C C C C C C ??+??+??= 19.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同

的分配方案有种（用数字作答）．

【答案】36

【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有211421

2C C C A ??;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有3

3A 所以满足条件得分配的方案有

2113

42132

36C C C A A ???=

2010年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理

（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【答案】B

【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有

种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封

两个有种方法，共有种，故选B.

（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种【解析】B ：本题考查了排列组合的知识

∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有246

C =，余下放入最后一个信封，∴共有

4318

C =

（2010江西理数）6. (

2展开式中不含．．4

x 项的系数的和为（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【答案】B

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难

则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4

x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案

为0.

（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种（B ）36种（C ）42种（D ）48种

解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法

即221211

6454432C C C C C C -?+=42

法二：分两类

甲、乙同组，则只能排在15日，有2

4C =6种排法

甲、乙不同组，有112

432(1)C C A +=36种排法，故共有42种方法

（2010重庆文数）（1）4

(1)x +的展开式中2

x 的系数为

（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20

解析：由通项公式得22

34T C 6x x ==

（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4

414222A A A ?种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43

313134422A A A A A +种方法

故共有1008种不同的排法

（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C

答案：A

（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法

①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，322

32A A ＝24个

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32

22A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C

（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的

A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种【答案】D

【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。

（1） B,D,E,F 用四种颜色，则有4

41124A ??=种涂色方法；

（2） B,D,E,F 用三种颜色，则有33

4422212192A A ??+???=种涂色方法；

（3） B,D,E,F 用两种颜色，则有2

42248A ??=种涂色方法；

所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。

【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。

（2010天津理数）（4）阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写 (A)i ＜3? （B ）i ＜4?

（C ）i ＜5? （D ）i ＜6? 【答案】 D

【解析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。

第一次执行循环体时S=1，i=3;第二次执行循环时s=-2，i=5；第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写“i<6?”,选D.

【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。

（2010福建文数）

（2010全国卷1文数）(5)4

3(1)(1x -的展开式 2x 的系数是

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3

5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

【解析】()13

2(1)(11464133x x x x x x x x ??-=-+---+- ???

2x 的系数是 -12+6=-6

（2010全国卷1理数）(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选