1.23高二数学推优随堂步步高——多面体面积与体积的计算

随堂步步高·高二数学·单元系列

—多面体面积、体积的计算

【基础知识】

1.棱柱(1)棱柱的定义：如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫做棱柱．

(2)棱柱的分类：

(3)棱柱的主要性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形;③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (4)平行六面体与长方体:

①概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体;底面是矩形的直平行六面体叫长方体．棱长都相等的长方体叫正方体． ②性质定理：

(Ⅰ)平行六面体的对角线交于一点，并且交点处互相平分.

(Ⅱ)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

即设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，对角线长为l ，则2

l a b c =++．推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,,则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,,则2cos cos cos 222=++γβα. (5)棱柱的侧面积和体积公式:

①直棱柱的侧面积和体积公式:如果直棱柱的底面周长是C ，高是h ，那么它的侧面积是 S 直棱柱=C h ;如果直棱柱的底面面积是S ，高是h ，那么它的体积是 v 直棱柱=S h ．

②斜棱柱的侧面积和体积公式:如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为C ，侧棱长为l ，那么斜棱柱的侧面积是 S 斜棱柱侧=C l ;如果斜棱柱的直截面的面积为S ，侧棱长为z ，那么它的体积是V 斜棱柱=Sz ．

注:

2.棱锥

(1)棱锥的概念和性质:

①棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形,其余是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥.

②棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…….

③性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．

(2)正棱锥的概念和性质:

①正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥．

②正棱锥的性质:(ⅰ)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的高叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等．(ⅱ)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形; 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形． 3)棱锥的面积和体积:

①棱锥的全面积(S 全)等于底面积(S 底)和侧面积(S 侧)之和，即S 全= S 底+ S 侧．若C 为正棱锥的底面周长，h '为斜高，则S 侧=

Ch '; ②棱锥的体积等于它的底面积(S 底)与高(h )的乘积的

13，即V 棱锥=1

Sh . 1、侧面积（各个侧面面积之和）：

（1）棱柱：侧面积S ＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积S ＝底面周长×侧棱长．（2）正棱锥：正棱锥的侧面积S ＝

×底面周长×斜高．注意：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积． 2、体积：（1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积V ＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积1

V Sd =（其中S 为三棱柱一个侧面的面积，d 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）．（2）棱锥：体积＝

×底面积×高．特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体．补形：三棱锥?三棱柱?平行六面体；

分割：三棱柱中三棱锥．四棱锥．三棱柱的体积关系是（答：1：2：3）和等积变换法(平行换点．换面)和比例(性质转换)法等. 3、点到平面的距离：

（1）垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；（2）体积法：转化为求三棱锥的高（3）等价转移法．问题解析：一、侧面积的计算

【例1】如图所示，在三棱锥ABC P -中，底面为直角三角形，两直角边3=AC ，4=BC 三棱锥侧面与底面所成二面角都为?60．求此三棱锥的侧面积．

说明：本题考查了三棱锥的有关概念与性质．在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许多重要性质，而这个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，所以常常通过研究这个辅助平面来解决问题．解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理．二、求二面角

【例2】三棱锥ABC P -中，AC AP =，2=PB ．将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形A P P P 321．如图所示．

(1)求证：侧棱AC PB ⊥；

(2)求侧面PAC 与底面ABC 所成的角θ的余弦值．

说明：折与展是一对互逆的过程．在处理这类问题时应充分注意折叠或展开前后各元素(主要是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变．一般来说，位于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变．位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化．这类问题常用的添辅助线方法是作棱的垂线．

三．全面积的计算

【例3】正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形．求内接三棱柱的全面积．

四、体积的计算

【例4】斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形，

90=∠C ，侧棱与底面成

60角，点1B 在底面的射影D 为BC 的中点，cm 2=BC ．

（1）求证11BC AB ⊥；

（2）若C BB A --1为

30的二面角，求四棱锥11-BCC B A 的体积．

说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终．当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法．结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化．五、利用函数的有界性求体积最值

【例5】如图，已知在?ABC 中，∠=?C 90，PA ⊥平面ABC ，AE PB ⊥于E ，AF PC ⊥于F ，AP AB ==2，∠=AEF θ，当θ变化时，求三棱锥P AEF -体积的最大值。

知识内化：

（1）长方体的高为h ，底面积为Q ，垂直于底的对角面的面积为M ，则此长方体的侧面积为______ （2）斜三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，二面角C-A 1A-B 为120°，侧棱AA 1于另外两条棱的距离分别为7cm ．8cm ，AA 1=12cm ，则斜三棱柱的侧面积为______

（3）设长方体的三条棱长分别为a ．b ．c ，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则

b a 1

11++等于_ _ （4）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是。

A ．258

B 。234

C 。222

D 。210

（5）一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.

D A

（6）有两个相同的直三棱柱，高为a

，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围.

能力迁移：

1、在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ?的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥BCD A -的三个侧面ADB ACD ABC ,,两两互相垂直，则_______________”．

2、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是

___________．（只需写出一个可能的值）

基本练习

一、填空题

1、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P ．Q 分别是侧棱AA 1．CC 1上的点，且AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为

2、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8 个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是。

3、若斜三棱柱的高为4 3 ，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为______

4、已知正四棱锥P －ABCD 的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是_______

5、已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E ．F ．G ．H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则T

等于______

6、用平面去截三棱锥S ABC -，与三条侧棱交于111,,A B C 三点，若11

SA SA =

，111,3SB SB SC =1113

,14

S A B C SC V -==，则多面体111A B C ABC -的体积为_____

G F

E D C B

A 7、如图的多面体ABC-DEFG 中，A

B ．A

C ．A

D 两两垂直，平面ABC ∥DEFG ，平面BEF ∥ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为________

8、若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的1

，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____

9、已知正三棱柱ABC A B C D ''''-底面边长是10，高是12，过底面一边AB ，作与底面ABC 成060角的截面面积是___________________。

10、两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有( )

（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）无穷多个

11、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上如图，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）

A ．

2V B ．3V C ．4V D ．5

12、平行六面体的棱长都是a ，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该平行六面体的体积为（）

A ．3

a B ．

1a C ．322a D ．323a

13、一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F ，且知SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）

A 、2923

B 、2719

C 、31

30 D 、2723

常见几何体的体积和表面积公式及三视图

常见几何体的体积和表面积公式及三视图公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

常见几何体的体积和表面积公式及三视图谨记常见几何体的三视图特点：一般情况下，（1）视图中有两个是矩形的几何体是柱体；（2）视图中有两个是三角形的几何体是锥体；（3）视图有两个是梯形的几何体是台体；（4）视图中有两个是圆的几何体是球. （2016年全国II高考）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是【2013课标全国Ⅰ，理8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3. （2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 28π3，则它的表面积是【2017山东，理13】由一个长方体和两个1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 . 【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

专题18多面体的表面积和体积(解析版)

1 8 专题18 多面体的表面积和体积（解析版）多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。易错点1：基础知识不扎实（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点4：空间想象能力欠缺题组一 1．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A ．18+ B ．54+ C ．90 D ．81 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是 9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3 ，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+ 2．（2016全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

2 8 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：( ) 2 2223 4l =+=， 21 π2 S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ． 3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r = A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为 22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．题组二 4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为

常用面积体积计算公式大全

电如_边長馬-高 F-底面积 0-底両申銭的交点卩=FJ — (c -+i H - c) * b+2F 禺="+6+c)*ft ，-一个粗合三箱我的両积 71 -组合三角形的惱 O-锥底备对角護交点年店-两平行底面的面积力L 底面间歴畫 "-一个爼舍梯戒的面积 R-组合梯形数多面体的体积和表面积体积（茁）庭百积（F ）表面瞅门侧恚面积（鬲）图形尺寸符号 d-刘角爲表面积覇-侧表面积长方扩=Q S=6a 2 CS 血为-边拴 0-底面对角线的交点 V = a*h* h S = 2(a ? b 4-(j ? h +i * ft) ￡l-2Ma+&) 圆柱和空心圆柱 A 管去-外宰径 —内半径￡-柱壁區度 p -平均半径心=内外側面祝 B&- $=2滋?/! +2JC ￡^ E\ = 2/rR ? h 空心言圆柱: F =凤疋7勺=2叭伤 S=X?4F ）JU2/I （用-沔场=2品第卄） 5=n?/ + F

h -盘小高度怒-毘大高度F-属面举径尸-廐面半径巾-高卜母爼长 E工-虧面半径巾-高 ”母緩g ■制血+吩2*卩+—!_：cos a 禺F偽十吗) & = + F — ttri y-^^2+ ^+^) 禺■忒迎肝) 卩十押十试疋■!■/) 球扇r-*e 4宜径尸■兰直玉■輕：?口」石6沪 3 6 S =血2 -

夙-球半径 ①巳-底面半径 S ■ 4nJ -2J &, ■ ￡戊■矽一4了*彷 V a,b,c-半轴交叉圆柱体球缺椭球体 A 胎 D-中间斷面苴狂说 -廐直径『-桶高 = 2冲丘= ST ⑷-Q 护=佩乃 -町十山2 y~—(3R^3^+h^ $■2鈕 g= 2fviih 十牙叶 4-^) 卫-風总儒平旳半径 0-同环体平均半径川-凰环体截面言径 r-回环体茁両半径 .—— 圆环体为-球鎂的高 r- 瑋岐半栓日-平切厨言径业=曲面"5^ 球破表面积用于抛物线我桶徘卩=竺口“+戊4丄护） 15 4 对于园飛确体卩皤用十吗

专题18多面体的表面积和体积(解析版)

专题18 多面体的表面积和体积（解析版）多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。易错点1：基础知识不扎实（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点4：空间想象能力欠缺题组一 1．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A．18+B．54+C．90 D．81 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+ 2．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=， 21π2 S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ． 3．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r = A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为 22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．题组二 4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为

最常用的面积体积计算公式

用求面积、体积公式 1 平面图形面积平面图形面积见表1-73。平面图形面积表1-73 2 多面体的体积和表面积多面体的体积和表面积见表1-74。多面体的体积和表面积表1-74 3 物料堆体积计算物料堆体积计算见表1-75。物料堆体积计算表1-75 4 壳体表面积、侧面积计算 1-3-4-1 圆球形薄壳（图1-1）图1-1 圆球形薄壳计算图 4-2 椭圆抛物面扁壳（图1-2）图1-2 椭圆抛物面扁壳计算图1-3-4-3 椭圆抛物面扁壳系数计算见图1-2，壳表面积（A）计算公式：

A＝S x ·S y ＝2a×系数K a ×2b×系数K b 式中 K a 、K b ——椭圆抛物面扁壳系数，可按表1-76查得。椭圆抛物面扁壳系数表表1-76 查表说明［例］已知2a＝24.0m，2b＝16.0m，h x ＝3.0m，h y ＝2.8m，试求椭圆抛物面扁壳表面积A。先求出h x /2a＝3.0/24.0＝0.125 h y /2b＝2.8/16.0＝0.175 分别查表得系数K a 为1.0402和系数K b 为1.0765，则扁壳表面积A＝24.0×1.0402× 16.0×1.0765＝429.99m2 1-3-4-4 圆抛物面扁壳（图1-3）图1-3 圆抛物面扁壳计算图 1-3-4-5 单、双曲拱展开面积 1．单曲拱展开面积＝单曲拱系数×水平投影面积。 2．双曲拱展开面积＝双曲拱系数（大曲拱系数×小曲拱系数）×水平投影面积。单、双曲拱展开面积系数见表1-77。单双曲拱展开面积计算图见图1-4。图1-4 单、双曲拱展开面积计算图

多面体的体积和表面积计算公式大全

多面体的体积和表面积「-一个蛆含三馅形的面积 M -粗合三角形的个数 u-惟底备嗣角皤交点 S = Q71+ 气+ 0 Si=an 国荏：矿=*?』 5 = 2?cfi ? h +3寂。 6 ■ 2trR * h 空心直回柱： F =双中T 气=由耕 s= Mjnmdj?顼）尺寸符号体税（/）底面积（月表面税（罚刨表面积（用）『 =(? 4 =物' 长方体 A 棱住 V V =a*b*h S = + a ? fi +b * h) d 三J/w*十护 V = ^F*h 3 S 二刀?丁 ■+ F 3\= ?!?/

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空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式长。 2．旋转体的面积和体积公式 12

下底面半径，R 表示半径。四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2 ，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2 得：x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。（2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。又在Rt △AOA 1中，A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9－ 29=2 9，

各种多面体体积、面积计算公式大全(施工员必备)

多面体的体积和表面积 y = F*h E - (c +b +u)? A + ； F E\=g +&+f ) ? #2 I 評耳+马+应）￡ =㈱H ■巧十尽 5j = cm 图形尺寸符号体积（町唐面积（F ）表輪⑸佩俵翻斶）口-楼止-寰面积侧表面积 r = a 3 ￡=討商=4a a 长方体 A 棱柱 V 龟以1边按。-尿面对角线的交点 f 二2仗*方+Q ?丙+B*月) 51 = 2^+^) 棱锥棱厶务马-两平行底面的面积 h ■麻面间距盅位-Y 爼台棉殛的面科皿-殂合梯幣埶口,冊-述长 b ■高 F -底直积口 L 底面中钱的敦 f-一①组舍三请形的面枳腥-组合三轴我的个数 0-镀底各刑第钱交直棱柱

覇=时偽十址) 球 V 圆台 ”克径 BS ： r -鹿面半径用—高 J 世錢长球扇形 A 球楔「-碌半径用-弓形底圆直径 h-弓托高艮-外芈径一内半径 !-柱壘厚愛卩-平均半轻场=内汁侧面积 R?■-底面半径 h -奩廿胪+胖二曲』 r= -^^ = 20^3* 3 屈=吃（联+町=157班価+百 U 岛-棗才'高度阳-最丸高度 r-底面半孫￡■圖坯+岛）斗寸—（1+—i —） coscr V ■—宀------- 0.5236^ 3 6 S u JrtT 2 - mF 八争(C? Sj = nf(J?+r) 百=$1十试沪十宀 "4学圆柱和空心、圆柱 A 管 V 斜线直圆柱￡ = 2?rji ?/] 4-2JC JE^ § = 2n-R * h 空心苴圆柱■ F =锁/—田=2碑朽￡=2机卫4町；!+2代皿一以） $ =2囲只+H

图形各面积体积计算公式大全

长方形的周长=（长+ 宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+ 下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径圆的周长=圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6

正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高

s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a b c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长 α－夹角

D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)

高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题

空间几何体的表面积和体积例题解析一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π 。（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。∴点O 在∠BAD 的平分线上。

空间几何体的表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3、台体 ① 棱台：h c c S )(21 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略二、体积 1、柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体 ① 棱锥

② 圆锥 3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 ① 球：r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。

分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧因此：球体体积：r r V 333 423 2ππ=?=球球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(3 1 S S S S h V 下下上上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。延长两侧棱相交于一点P 。设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=，则h h PF +=1

空间几何体的表面积及体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全一、全(表)面积(含侧面积) 1、柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体 ① 棱锥:h c S ‘ 底棱锥侧2 1= ② 圆锥:l c S 底圆锥侧2 1 = 3、台体 ① 棱台:h c c S )(21 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台:l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、球体 ① 球:r S 24π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略二、体积 1、 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 ① 棱锥 ② 圆锥 3、

① 棱台 ② 圆台 4、球体 ① 球:r V 33 4π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。三、拓展提高 1、祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便就是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高与底面直径都就是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的3 2。分析:圆柱体积:V 3 2 圆柱侧面积因此:球体体积:V 球球体表面积通过上述分析, +

即底面直径与高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之与 3、台体体积公式公式: )(3 1 S S S S h V 下下上上台++= 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。延长两侧棱相交于一点P 。设台体上底面积为S 上,下底面积为S 下高为h 。易知:PDC ?∽PAB ?,设h PE 1=, 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得:PF PE AB CD = 即: h h h S S += 1 1 下上(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得:S S h S h 上下上-= 1 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴h S S S h h S h h S V 下上下上下台）（3 1 )(313131111+-=-+= 代入:S S h S h 上下上-=1得:h S S S S S h S V 下上下上下上台3 1 )( 3 1+--= 即:)(3 1 31)(3 1 S S S S h h S S S h S V 下下上上下上下上台++=+ += ∴)(3 1 S S S S h V 下下上上台++ = 4、球体体积公式推导分析:将半球平行分成相同高度的若干层(层n ),n 越大,每一层越近似于圆

各种形状物体面积体积计算公式

各种形状物体面积、体积计算公式长方形的周长=(长+宽)& 正方形的周长=边长＞4 长方形的面积=长＞宽正方形的面积=边长＞边长三角形的面积=底＞高吃平行四边形的面积=底＞高梯形的面积=(上底+下底)＞高^2 直径二半径＞2半径=直径吃圆的周长=圆周率＞直径= 圆周率＞半径＞圆的面积=圆周率＞半径＞半径长方体的表面积= (长观+长＞高+宽＞高)＞长方体的体积二长观＞高正方体的表面积=棱长＞棱长＞6 正方体的体积=棱长＞棱长＞棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长＞高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积＞高圆锥的体积=底面积＞高七长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积＞高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C = 4a S = a2 长方形a和b —边长C = 2(a+b) S = ab 三角形a,b,c —三边长h—a边上的高s—周长的一半 A,B,C —内角其中s = (a+b+c)/2 S = ah/2 =ab/2 sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2si nBsi nC/(2si nA) 四边形d,D —对角线长 a—对角线夹角S= dD/2 ? sin a 平行四边形a,b-边长 h —a边的咼 a—两边夹角S = ah =absin a 麦形a —边长 a—夹角 D-长对角线长 d —短对角线长S= Dd/2 =a2sin a

梯形a和b-上、下底长 h —高 m —中位线长S = (a+b)h/2 =mh 圆r-半径 d 一直径C =nd= 2 n r S = n r2 =n d2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C= 2r + 2 n r x (a/360) S =n r2 x (a/360) 弓形I 一弧长 b —弦长 h —矢咼r—半径 a—圆心角的度数S = r2/2 ? ( na丿S80 a ) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =na r2/360 b/2 [r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 + bh/2 ?2bh/3 圆环R—外圆半径 r—内圆半径D—外圆直径 d —内圆直径S =n (R2r2)

高中数学空间几何体的表面积与体积练习题及答案

空间几何体的表面积与体积专题一、选择题 1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )． A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16 解析每个面的面积为：12×2×2×3 2＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3. 2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.3 2倍解析由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝4 3πR 3，知体积扩大到原来的22倍． 3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． A.1423 B.2843 C.2803 D.140 3 解析根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13 ×? ?? ??12×2×2×2＝ 284 3 . 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－2π3 B ．8－π 3 C ．8－2π D.2π 3 解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π 3 . 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π 2 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π 2. 6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )

体积、表面积计算公式大全

施工员计算公式大全多面体的体积和表面积伉一棱 M -对角线表面积 &-侧表面积心虻为一边长力一高 F-底面积。-底面中线的交点 V = a*b*h Jl-2h(d+t) d J, +H +2 $=a+b+M"+2F S] = (a+0+c)J 厂-个组合三角形的而积 -胎三角形的个数 0柳各对角线交点 &,兀-两平行底面的面积冃-底面间距离 a -一个组合梯形的面称 ?-组合梯形数图形尺寸符体祝0)砸积(F) 表而积⑸01俵而积(曲训也长 0俪朋腿茲 s=他+斤+马 JS\ = an

施工员计算公式大全 R -外半径尸-内半径 1柱壁厚度 P-平均半径场=内外侧面祝勺-垠小咼?度転-量大高度r-底面半径凰柱: 扩=心2心y=2d?皿+2点 ^ = ^R*h 空心直圃住：卩三鈕疋-丿）=2唤也加（R+Rh + 2机昭一 F）禺=2总（R+E 犷=2疽2为= 209447朗 3 JT ■空(4A+M)?ld7r(4ft +d) r-底面半径力-高 i-母线长艮尸-底面半径I =胪+Q 八耳?(疋+』+商) ^ = ^(j? + r) J = J；i?-r)3+ft a +F) J7 = -nr3 = —=0J236d3 3 6 球半径弓形底圆直径力一弓形高/二时（岛+血）+疔J（l +丄-）COSrt 禺=nr（加+慰）

施工员计算公式大全 h—球缺的高尸- 球缺半径&-平切圆直径他=曲面面积—球缺表面积尺-圆球体平均半径￡>-园环体平均半径d -匾］环悻韋面直径F-園环体截面半径矿=nh\r—勻 3 % ■ 2f^h■ rr(^-+ A3) S= nfi<4r - AJ d-2= 4隧N -Ja) n冷 S^^Rr=^Dd=39.^Ry R -球半径 1电_底面半径血-腰高 % -球心o至带底圆的距离V = ~(3R^ +2務 +/) b = 2 鈕忙=靳础+说用+尸扌) 中间断面直径厶-底直径 1-桶高对于血物线老桶体矿■旦〔2衣+3 +纟川2） 15 4 对于凰形桶体矿=吕（2&+护） a,b,c斗轴 r-园柱半径 -圆柱长v = —abcfr 3 S = 2匹心?肿+Q

各种形状物体面积体积计算公式

各种形状物体面积、体积计算公式长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA)

四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2)

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 Prepared on 24 November 2020

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。（3）圆锥的侧面展开图是一个，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。（4）圆台的侧面展开图是一个，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全2a ； (2)体积：3a ； (3)对棱中点连线段的长：a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径：R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则 1V ：2V 是（） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。

5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（） A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（） A. π288 3cm B. π192 3cm C. π288 3cm 或 π192 3cm D. π1923cm 8.一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（） A. 4s π B. S π2 C. S π D. S π3 32

各种图形面积计算公式

各种图形面积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径?=πr 11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 12、长方体的体积=长×宽×高V =abh 13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 17、圆柱的体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h 18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 19、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh 各种图形体积计算公式平面图形名称符号周长C和面积S 1、正方形a—边长C＝4a S＝a2 2、长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 3、三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA)

空间几何体的表面积与体积教案

空间几何体的表面积与体积一、柱体、锥体、台体的表面积 A .多面体的表面积 1.多面体的表面积求法：求平面展开图的面积注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图. 2.直棱柱的侧面积与全面积（1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：S cl =（其中c 为底面周长，l 为侧棱长）；（2）表面积：侧面积＋两底面积. （3）推论： ①正棱柱的侧面积：S cl =（其中c 为底面周长，l 为侧棱长）. ②长方体的表面积：2()S ab bc ca =++.（其中,,a b c 分别为长方体的长宽高） ③正方体的表面积：26S a =（a 为正方体的棱长）. 3.斜棱柱侧面积与全面积（1）侧面积： ①求法：作出直截面（如图）；注：这种处理方法蕴含着割补思想. ②公式：S cl =（其中c 为直截面周长，l 为侧棱长）；（2）表面积：侧面积＋两底面积. 4.正棱锥的侧面积与全面积（1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：12 S ch '=（其中c 为底面周长，h '为斜高）；（2）表面积：侧面积＋底面积. 5.正棱台的侧面积与全面积（1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：1()2 S c c h ''=+（其中c 、c '为底面周长，h '为斜高）；（2）表面积：侧面积＋两底面积. 6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系： B .旋转体的表面积 2r π l r

1.圆柱的侧面积与全面积（1）侧面积： ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：2S rl π=（r 为两底半径，l 为母线长）；（2）表面积：2()S r r l π=+. 2.圆锥的侧面积与表面积（1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：S rl π=；（2）表面积：()S r r l π=+（r 为两底半径，l 为母线长）. 事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为2r π，半径为圆锥母线l ，故面积为122 r l rl ππ??= . 3.圆台的侧面积与表面积（1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：()S r R l π=+；事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为2r π、2R π，半径分别为x 、x l +，故圆台侧面积为 1 12()2()22S R x l r x R r x Rl ππππ=??+-??=-+，∵()x l R r x rl r R r =?-=-，∴()S r R l π=+. （2）表面积：22()r R r R l πππ+++.（r 、R 分别为上、下底面半径，l 为母线长） 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：二、柱体、锥体、台体的体积 A .棱柱、棱锥、棱台的体积 1.棱柱体积公式：V Sh =（h 为高，S 为底面面积）； 2.棱锥体积公式：1 3 V Sh =（h 为高，S 为底面面积）； 3.棱台体积公式：121 ()3 V S S h =棱台（h 为高，1S 、2S 分别为两底面面积）. 事实上，设小棱锥高为x ，则大棱锥高为x h +.于是212211111()()3333 V S x h S x S h S S x =+-=+-. ∵ x x x x h h +， ∴221211111()33333 V S h x S h S S h =+=+=. 4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系： 2r π l l r h 2 S x 1 S 2R π 2r π x R r x l

图形面积及体积计算公式

平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2

＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形名称符号面积S和体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积 h－高V＝Sh 棱锥S－底面积 h－高V＝Sh/3 棱台S1和S2－上、下底面积 h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6 圆柱r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底 V＝S底h ＝πr2h 空心圆柱R－外圆半径 r－内圆半径 h－高V＝πh(R2-r2) 直圆锥r－底半径