2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练33 离散型随机变量的均值与方差(理)

考点33离散型随机变量的均值与方差（理）

【考点分类】

热点一抽样方法

1.【2013年全国高考新课标（I）理科】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中

抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，

而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )

A、简单随机抽样

B、按性别分层抽样

C、按学段分层抽样

D、系统抽样

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（）

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481

A.08

B.07

C.02

D.01

[答案]D

[解析]从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.

【方法总结】

(1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，把总体分成均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本．

(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．

热点二频率分布直方图的绘制与应用

5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，

数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60

6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，

发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）直方图中x的值为_________；

（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】某校从高一年级学

生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),

[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，

得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，

据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）

A.588

B.480

C.450

D.120

8.（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22?列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽

样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .

附:2

112212211212

(),n n n n n n n n n χ++++-

,从而X的分布列为:

9.（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成

40,50、

绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)

[)

80,90、[]

90,100.

70,80、[)

50,60、[)

60,70、[)

(Ⅰ)求图中x的值;

(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率

（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

【方法总结】

1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率

组距，频率＝组距×频率

组距

2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．

3．频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．

热点二、茎叶图的应用

12．（2012年高考（陕西理））从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则

（）

A ． x x <甲乙,m 甲>m 乙

B ．x x <甲乙,m 甲

1 7 9

2 0 1 5

3 0

C ．x x >甲乙,m 甲>m 乙

D ．x x >甲乙,m 甲

【解析】直接根据茎叶图判断,选B

13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人； (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率

【方法总结】

由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等．

热点三离散型随机变量的均值与方差

14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知离散型随机变量X 的分布列为

X 1 2 3

310

110

则X 的数学期望EX = ( ) A .

B ．2

C ．

D ．3

15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

16.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：

则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 .

17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=.

19.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.

设各局中双方获胜的概率均为1

，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为

32，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为5

，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ,求3 X 的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】

现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. （I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3

，答对每道乙类题的概率都是

，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.

所求的分布列为

()0+1+2+3=2125125125125

E X =????所以

22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是2

外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是

.假设各局比赛结果相互独立. （Ⅰ）分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；

（Ⅱ）若比赛结果为求3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得

1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望.

【解析】解法一（Ⅰ）设甲胜局次分别为,,,,,A B C D E 负局次分别为,,,.A B C D

()()2228

3:0;33327

P P ABC ==??=

()()()()3:11222212222128;33333333333327P P ABCD P ABCD P ABCD

=++=???+???+???= ()()

()

(

)

3:232112212112122111432.33332333323333227

P P ABCDE P ABCDE P ABCDE

=?+?+=?????+?????+????= （Ⅱ）根据题意乙队得分分别为0,1,2,3.

()()()881600:31:3;272727

P X P P ==+=+= ()()4

12:3;27P X P === ()()4

23:2;27P X P ===

()()()12133:03:1.27279

P X P P ==+=

+= 所以乙队得分X 的分布列为

X 0

1 2 3

1627

427

故X的分布列为

X0 1 2 3

P16

274

所以

16443

0123

27272727

EX=?+?+?+?

23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.

25632511215417540=

?+?+?+?

=EX . 24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】

设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.

（Ⅰ）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；

（Ⅱ）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若9

,35==ηηD E ，求.::c b a

25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.

26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从1A ，2345678,,,,,,A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.

（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X 的分布列和数学期望.

27.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】

一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.

(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A ，则

132225254

()7

C C C C P A C +==

. 28.【2013年全国高考新课标（I ）理科】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产

品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望.

30.（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结

束.设甲每次投篮投中的概率为1

,乙每次投篮投中的概率为

,且各次投篮互不影响.

(Ⅰ) 求甲获胜的概率;

(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望