2010年全国高中数学联合竞赛试题

2010年全国高中数学联合竞赛一试

一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

1、设集合{}4321,,,a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成为{}8,5,3,1-=B ，则集合=A

2、函数11)(2-+=

x x x f 的值域为

3、设b a ,为正实数，

2211≤+b a ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log

4、如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围为

5、现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为

6、在四面体ABCD 中，已知0

60=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则在四面体ABCD 的外接球的半径为

7、直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，090=∠ACB ，则点C 的坐标为

8、已知()n

n n n C a ??? ??=-2162003200（95,,2,1 =n ），则数列{}n a 中整数项的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9、（本题满分16分）

已知函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数b a ,（b a <）满足)2

1()(++-

=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f . 求实数b a ,的值。

10、（本题满分20分）已知数列{}n a 满足：321-=t a （,R t ∈且1±≠t ）

1

21)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a （*∈N n ） ⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵若0>t ，比较1+n a 与n a 的大小。

11、（本题满分20分）作斜率为3

1的直线l 与椭圆:C 143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且点)2,23(P 在直线l 上方。

⑴证明：PAB ?的内切圆的圆心在一条定直线上；

⑵若0

60=∠APB ，求PAB ?的面积。

2010年全国高中数学联合竞赛二试

一、（本题满分40分）如图所示，在锐角ABC ?中，AC AB >，N M ,是BC 边上不同的两点，使

得CAN BAM ∠=∠，设ABC ?和AMN ?的外心分别为21,O O ,求证：A O O ,,21三点共线。

二、（本题满分40分）{}n a 的定义如下：v u a +=1，对整数1≥m ，???+=+=+v a a u a a m m m m 1

22，记m m a a a S +++= 21（ ,2,1=m ），证明：数列{}n S 中有无穷多项完全平方数。

三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中2,≥n m 为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得0分.每个学生得总分为其m 道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为n P P P ≥≥≥ 21，求21P P +的最大可能值。

四、（本题满分50分）设k n ,为大于1的整数，k

n 2 ，证明：存在24个不被n 整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n 整除。