2016年山东省济南市章丘市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年山东省济南市章丘市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={x|2x+1＞0}，集合B={﹣3，﹣1，0，1，2}，则A∩B等于（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．（﹣1，3）D．{﹣1，0，1，2}

2．已知复数z=﹣3i，则|z|等于（）

A．2 B．C．D．

3．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号．已知从1﹣16这16个数中被抽到的数是11，则编号在33﹣48中被抽到的数是（）

A．39 B．41 C．43 D．45

4．已知向量=（﹣1，2），=（﹣3，1）则下列结论正确的是（）

A．⊥B．∥C．⊥（+）D．⊥（﹣）

5．若函数f（x）=2x+b﹣1（b∈R）的图象不经过第二象限，则有（）

A．b≥1 B．b≤1 C．b≥0 D．b≤0

6．已知曲线f（x）=x+在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣1，则函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是（）

A．2 B．2 C．D．1

7．“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．如图是一个正方体被一个平面截去一部分后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是原正方体的体积的（）

A．B．C．D．

9．如果实数x，y满足条件，若z=的最小值小于，则实数a的取值范

围是（）

A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，1）D．（，+∞）

10．设函数f（x）=x2﹣log2（2x+2）．若0＜b＜1，则f（b）的值满足（）

A．f（b）＞f（﹣）B．f（b）＞0 C．f（b）＞f（2）D．f（b）＜f（2）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．设a＞0，函数f（x）=的最小值为1，则a=．

12．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为．

13．执行如图的程序框图，若输入k的值为5，则输出S的值为．

14．从边长为4的正方形ABCD内部任取一点P，则P到对角线AC的距离不大于的概率为．

15．已知双曲线M：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a与抛物线

y2=cx交于A，B两点，且△ABF为直角三角形，则双曲线M的离心率为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

更稳定；

（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．

17．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R

（1）若m=tan，且∥，求cos2x﹣sin2x的值；

（2）将函数f（x）=2（+）?﹣2m2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图

象，若函数g（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．

18．在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，

AB=2A1B1，E是AC的中点．

（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；

（2）若AC=BC，AB=2BB1，求证：平面BEA1⊥平面AA1C1．

19．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N+）数列{b n}满足a n=++

+…+

（1）求数列{b n}的通项公式；

（2）令c n=（n∈N+），求数列{c n}的前n项和T n．

20．设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．

（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；

（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

21．椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（0，2）关于直线

y=﹣x的对称点在椭圆M上，且|F1F2|=2

（1）求椭圆M的方程；

（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．

（ⅰ）求?的取值范围；

（ⅱ）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

2016年山东省济南市章丘市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={x|2x+1＞0}，集合B={﹣3，﹣1，0，1，2}，则A∩B等于（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．（﹣1，3）D．{﹣1，0，1，2}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．

【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣，即A={x|x＞﹣}，

∵B={﹣3，﹣1，0，1，2}，

∴A∩B={0，1，2}，

故选：B．

2．已知复数z=﹣3i，则|z|等于（）

A．2 B．C．D．

【考点】复数求模．

【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，求解复数的模．

【解答】解：复数z=﹣3i，

则|z|=||=|1﹣i|=．

故选：D．

3．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号．已知从1﹣16这16个数中被抽到的数是11，则编号在33﹣48中被抽到的数是（）

A．39 B．41 C．43 D．45

【考点】系统抽样方法．

【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．

【解答】解：∵样本间隔k==16，

从1﹣16这16个数中被抽到的数是11，

则编号在33﹣48中被抽到的数是：11+32=43，

故选：C．

4．已知向量=（﹣1，2），=（﹣3，1）则下列结论正确的是（）

A．⊥B．∥C．⊥（+）D．⊥（﹣）

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】求出﹣，利用向量的数量积判断求解即可．

【解答】解：向量=（﹣1，2），=（﹣3，1），

显然，不正确；也不正确；

+=（﹣4，3），?（+）=（﹣1，2）?（﹣4，3）=10≠0，所以C选项不正确；

=（2，1），?（﹣）=﹣2+2=0．

∴⊥（﹣）．

故选：D．

5．若函数f（x）=2x+b﹣1（b∈R）的图象不经过第二象限，则有（）

A．b≥1 B．b≤1 C．b≥0 D．b≤0

【考点】指数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化．

【分析】结合指数函数的图象特征，列出不等式求解即可．

【解答】解：因为y=2x，当x＜0时，y∈（0，1）．所以，函数f（x）=2x+b﹣1（b∈R）的图象不经过第二象限，

则有b﹣1≤﹣1，解得b≤0．

故选：D．

6．已知曲线f（x）=x+在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣1，则函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是（）

A．2 B．2 C．D．1

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】利用导数求出切线方程的斜率，推出a，然后利用基本不等式求解最小值即可．

【解答】解：曲线f（x）=x+在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣1，

可得f′（x）=1﹣，可得1﹣=﹣1，解得a=2，

曲线f（x）=x+，当且仅当x=时，取等号．

故选：A．

7．“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5，令y=0，可得：x﹣1=，可得圆（x﹣1）

2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长L=＞2，解得m范围即可判断出结论．

【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5，令y=0，可得：x﹣1=，

∴圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长L=＞2，解得﹣2＜m＜2．

∴“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的充分不必要条件．

故选：A．

8．如图是一个正方体被一个平面截去一部分后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是原正方体的体积的（）

A．B．C．D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】易知该几何体是底面腰长为2的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，从而解得．【解答】解：由图可知，

该几何体是底面腰长为2的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，

其体积是原正方体的，

故选C．

9．如果实数x，y满足条件，若z=的最小值小于，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，1）D．（，+∞）

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即点P（﹣1，1）与可行域内

点的连线的斜率列式求得a的范围．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由题意判断a＞0，

z=的几何意义表示点P（﹣1，1）与可行域内点的连线的斜率，

则当取正弦x=a与2x+y﹣2=0的交点（a，2﹣2a）时，z有最小值，得，解得a．

故选：D．

10．设函数f（x）=x2﹣log2（2x+2）．若0＜b＜1，则f（b）的值满足（）

A．f（b）＞f（﹣）B．f（b）＞0 C．f（b）＞f（2）D．f（b）＜f（2）

【考点】对数函数的图象与性质．

【分析】作出函数y=x2与y=log2（2x+2）的图象，可发现f（b）＜0，计算f（﹣），f（2）

的值即可得出答案．

【解答】解：作出y=x2与y=log2（2x+2）的图象如图：

由图象可知当0＜x＜1时，x2＜log2（2x+2）．

∵0＜b＜1，∴f（b）=b2﹣log2（2b+2）＜0，排除B；

∵f（﹣）=+1=＞0，排除A；

f（2）=4﹣log26＞0，排除C．

故选：D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．设a＞0，函数f（x）=的最小值为1，则a=6．

【考点】分段函数的应用．

【分析】时，3﹣sinax≥2恒成立，时，函数f（x）=ax+log3x是增函数，故f（）=1，进而得到答案．

【解答】解：∵时，3﹣sinax≥2恒成立，不满足函数的最小值为1，

又∵a＞0，

∴时，函数f（x）=ax+log3x是增函数，

∴f（）=﹣1=1，

解得：a=6，

故答案为：6．

12．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为2．

【考点】正弦定理．

【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出．

【解答】解：∵b2sinC=sinB，∴b2c=4b，即bc=4．

∴S△ABC=bcsinA==2．

故答案为：2．

13．执行如图的程序框图，若输入k的值为5，则输出S的值为30．

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．

【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；

输入k=5，n=0，S=﹣1，满足条件S＜kn；

n=1，S=﹣1+1=0，满足条件S＜kn；

n=2，S=0+2=2，满足条件S＜kn；

n=3，S=2+22=6，满足条件S＜kn；

n=4，S=6+23=14，满足条件S＜kn；

n=5，S=14+24=30，不满足条件S＜kn；

终止循环，输出S=30．

故答案为：30．

14．从边长为4的正方形ABCD内部任取一点P，则P到对角线AC的距离不大于的概

率为．

【考点】几何概型．

【分析】根据题意，画出正方形ABCD，求出满足条件的点P所在的区域面积，由几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．

【解答】解：如图所示，

E、F、G、H分别为AD、DC、AB和BC的中点，

点P落在阴影部分所在的区域，

由几何概型的概率公式，

得所求的概率为P=1﹣=．

故答案为：．

15．已知双曲线M：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a与抛物线

y2=cx交于A，B两点，且△ABF为直角三角形，则双曲线M的离心率为3．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】联立直线和抛物线方程求出A，B的纵坐标，结合三角形是直角三角形进行求解即可．

【解答】解：将x=a代入y2=cx得y2=ac，即y=±，

∵△ABF为直角三角形，∴AF=BF，且AF⊥BF，则c﹣a=|AB|=，

即c2﹣ac+a2=0，得c=3a或c=a，

即离心率e==3或（舍），

故答案为：3．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（Ⅰ）分别求这名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；

（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．

【分析】（Ⅰ）结合图表，由平均值和方差的定义可得答案；

（Ⅱ）列举可得5名学生中选2人包含基本事件有共10个，事件A包含基本事件有7个，由古典概型的公式可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：

5名学生数学成绩的方差为：

5名学生物理成绩的平均分为：

5名学生物理成绩的方差为：

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以，估计高三（1）班总体物理成绩比数学成绩稳定．

（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A，

5名学生中选2人包含基本事件有：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A2A3，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共10个．

事件A包含基本事件有：A1A4，A1A5，A2A4，A2A5，A3A4，A3A5，A4A5，共7个.

所以，5名学生中选2人，选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为．

17．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R

（1）若m=tan，且∥，求cos2x﹣sin2x的值；

（2）将函数f（x）=2（+）?﹣2m2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图

象，若函数g（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】（1）利用诱导公式可求m，利用平面向量共线的坐标表示可求tanx，利用同角三角函数基本关系式即可化简求值．

（2）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数f（x）的解析式，利用

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），根据x的范围，可求2sin（2x﹣）的范围，

令g（x）=0即可解得m的取值范围．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵m=，∥，…

∴3sinx+cosx=0，得tanx=﹣，…

∴cos2x﹣sin2x===…

（2）∵f（x）=2（+）?﹣2m2﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣2m﹣1

=sin2x+cos2x﹣2m=2sin（2x+）﹣2m，…

∴g（x）=2sin（2x﹣+）﹣2m=2sin（2x﹣）﹣2m，…

∵x∈[0，]，

∴2x﹣∈[﹣，]，则2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，…

令g（x）=0，可得2m=2sin（2x﹣），

∴2m∈[﹣1，2]，…

∴m的取值范围是[﹣，1]…

18．在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，

AB=2A1B1，E是AC的中点．

（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；

（2）若AC=BC，AB=2BB1，求证：平面BEA1⊥平面AA1C1．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．则可通过证明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C；

（2）连结CF，则可得出CF∥A1C1，通过证明CF⊥平面平面ABB1A1得到CF⊥A1B．即A1C1⊥A1B，利用勾股定理的逆定理得出AA1⊥A1B，于是A1B⊥平面AA1C1，从而平面BEA1⊥平面AA1C1．

【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．

∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，

又A1B1∥AB，∴四边形A1FBB1是平行四边形，

∴A1F∥BB1，

∵E，F分别AC，AB的中点，

∴EF∥BC，

又EF?平面A1EF，A1F?平面A1EF，EF∩A1F=F，BC?平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C，BC∩BB1=B，

∴平面A1EF∥平面BB1C1C．

又A1E?平面A1EF，

∴A1E∥平面BB1C1C．

（2）连结CF，

∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BF，BB1⊥CF，

∵AC=BC，F是AB的中点，∴CF⊥AB，

又AB?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，AB∩BB1=B，

∴CF⊥平面ABB1A1，又A1B?平面ABB1A1，

∴CF⊥A1B．

∴四边形A1FBB1是矩形，又四边形BB1C1C是矩形，

∴A1F BB1CC1，

∴四边形A1FCC1是平行四边形，∴A1C1∥CF．

∴A1C1⊥A1B．

∵AB=2A1B1=2BB1，

∴AF=BF=A1F，又AF1⊥AB，

∴△ABA1是等腰直角三角形，即AA1⊥A1B，

又AA1?平面AA1C1，A1C1?平面AA1C1，AA1∩A1C=A1，

∴A1B⊥平面AA1C1，又A1B?平面BEA1，

∴平面BEA1⊥平面AA1C1．

19．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N+）数列{b n}满足a n=++

+…+

（1）求数列{b n}的通项公式；

（2）令c n=（n∈N+），求数列{c n}的前n项和T n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）当n≥2时利用a n=S n﹣S n

计算，进而可知a n=2n，进而利用作差可知=2，

﹣1

计算即得结论；

（2）通过（1）可知c n==n+n?3n（n∈N+），利用错位相减法计算可知数列{n?3n}的前

n项和Q n=，进而利用分组求和法计算即得结论．

=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，

【解答】解：（1）依题意，当n≥2时，a n=S n﹣S n

﹣1

又∵当n=1时，a1=S1=2满足上式，

∴a n=2n，

∵a n=+++…+，

=+++…+，

∴当n≥2时，a n

﹣1

两式相减得：=2n﹣2（n﹣1）=2，

又∵=2满足上式，

∴=2，b n=2+2?3n；

（2）由（1）可知c n==n+n?3n（n∈N+），

令Q n为数列{n?3n}的前n项和，则

Q n=1?3+2?32+3?33+…+n?3n，

3Q n=1?32+2?33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，

两式相减得：﹣2Q n=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1

=﹣n?3n+1，

∴Q n=，

∴数列{c n}的前n项和T n=Q n+=+．

20．设函数f（x）=clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．

（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；

（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ利用x=1为f（x）的极大值点，得到f'（1）=0，然后利用导数研究f（x）的单调区间（用c表示）；

（Ⅱ）分别讨论c的取值，讨论极大值和极小值之间的关系，从而确定c的取值范围．

【解答】解：，

∵x=1为f（x）的极值点，

∴f'（1）=0，

∴且c≠1，b+c+1=0．

（I）若x=1为f（x）的极大值点，

∴c＞1，

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；

当1＜x＜c时，f'（x）＜0；

当x＞c时，f'（x）＞0．

∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．

（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，

f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即，∴c＜0；

②若0＜c＜1，则f（x）的极大值为f（c）=clnc+c2+bc，

f，

∵b=﹣1﹣c，

则=clnc﹣c﹣，

f，从而f（x）=0只有一解；

③若c＞1，则=clnc﹣c﹣，

，则f（x）=0只有一解．

综上，使f（x）=0恰有两解的c的范围为：c＜0．

21．椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（0，2）关于直线

y=﹣x的对称点在椭圆M上，且|F1F2|=2

（1）求椭圆M的方程；

（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．

（ⅰ）求?的取值范围；

（ⅱ）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点（﹣2，0）在椭圆M上，可得a=2．由

|F1F2|=2=2c，可得c，于是b2=a2﹣c2．

（2）（i）当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），?=﹣1．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2）．与椭圆方程联立化为（1+4k2）

x2+16kx+12=0，△，0，可得4k2＞3．利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得：?

=﹣1+．

（ii）由题意可得：直线AD的方程为：y=x+1，BC的方程为：y=x﹣1．联立

消去x，利用根与系数的关系，即可得出．

【解答】解：（1）点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点（﹣2，0）在椭圆M上，∴a=2．

∵|F1F2|=2=2c，∴c=，∴b2=a2﹣c2=1．

∴椭圆M的方程为+y2=1．

（2）（i）当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），?=﹣1．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2）．

联立，化为（1+4k2）x2+16kx+12=0，△＞0，可得4k2＞3．

∴x1+x2=，x1x2=．

∴?=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣1+∈．

综上可得：?的取值范围是．

（ii）由题意可得：直线AD的方程为：y=x+1，BC的方程为：y=x﹣1．

联立消去x可得：，

又4kx1x2=﹣3（x1+x2），可得y=．

点Q的纵坐标是定值．

2016年6月28日