1.材料力学
适用船舶与海洋工程、轮机工程、交通工程专业
材料力学
补充讲义
华中科技大学船舶与海洋工程系《材料力学》课程小组编
2005年03月
1
前言
为适应船船与海洋工程、轮机工程、交通工程等专业学习后续专业课程的需要，特由刘土光主筆编写本补充讲义。
本补充讲义共两部分，第一部分为静不定问题，主要介绍刚架和连续梁的求解；第二部分为动载荷问题，主要介绍动载荷作用下构件的应力和变形计算。
这两部分内容实际上有其独立性，因此既可放在最后讲解，也可分別放在能量法之后讲解。同时将现有教材第五章中矽“5.4简单超静定梁”、第八章中的“8.6超静定问题力法正则方程”和“8.7冲击应力”合并到本补充讲义一道向学生讲解。
船船与海洋工程系
《材料力学》教学小组
二00五年三月
2 第一部分 超静定结构
§1.1 超静走系统的概念
在第二章中，曾讨论过简单的拉压超静定问题。现在对超静定问题再作进一步讨论。 在图1.l-1中所示悬臂梁，在该梁中部受集中力F,固定端有三个未知力Ay Ax F F ,，和A M 。独立的静力平衡方程也有三个，因此未知反力可通过求解三个静力平衡方程求出。这类由静力平衡方程可以求得全部未知力的结构，称为静定结构或静定系统。
F F
Ax F Ax F
By
图 1.1-1 图 1.1-2
有时为了提高构件的强度和刚度，往往要增加构件的约束。如在图1-1的自由端增加一个可动铰支座，如图1.1-2所示，则此时增加了一个向上的约束反力By F 。此时未知反力共有四个，而能够建立的独立平衡方程仍然只有三个，因此仅由三个平衡方程是不能解出全部四个未知力。这类因未知力数目多于静力平衡方程式的数目，只凭静力平衡方程不能解出全部未知力的结构，称为超静定结构或静不定系。
图1.1-2所示结构，未知力数目比静力平衡方程式的数目多了一个，称为一次静不定系统。如果结构的未知力数目比静力平衡方程式的数目多两个，就称为二次静不定系统。依次类推，n 次静不定系统的未知力数目比静力平衡方程的数目多n 个。所以，超静定系统的“次数”就是未知力数目与静力平衡方程数目的“差数”。
在图1.1-l 中，悬臂粱左端的三个约束都是维持构件稳定的静力平衡(几何不变的平衡)所必须的，缺一不可。而在图1.1-2中的四个约束却并非如此。例如撤掉B 端的简支支座(即去掉支座B )，成为如图1.1-1所示左端固定的悬臂梁、它仍然可以保持稳定的静力平衡。可见从维持构件的稳定的静力平衡来说，B 端的约束是多余的．所以称为“多余约束”或“多余支座”。其所对应的反力By F 称为“多余约束力”。当然，增加了B 端的简支支座就可以减小构件的变形。所以从提高刚度或强度的角度来说，支座B 发挥了它的作用，并不是“多余”的。
图1.1-1是支座反力不能全部由静力平衡方程 求出，但有些静不定系统却并非如此，例如为使
图1.1-3桥式起重机大梁恢复拱度，可以在大梁下 图 1-3
侧增加预应力拉杆CD(图1.1-3)，迫使大梁向上产生挠度。类似这样的结构，其支座反力仍然是静定的。但因增加了内部多余约束—一拉杆CD ，使得弯矩和抽力的计算都都成为静不定的了。
3
图1.1-4(a)所示之桁架，虽然可由静力平衡条件求出约束反力NAX F 、NAy
F 和NBy F ， 但
其，
a) b) 图 1-4
(a) (b)
图 1-4
各杆件的内力仅靠静力乎衡条件是求不出来的，所以它是内力静不定问题。如果、将BC 杆切断，如图1.(1-4b)所示桁架就变成静定的了。因此，可将BC 杆视为桁架的一个多余内约束，它的轴力1x F 为多余约束力。这时共有Ax F 、Ay F 、Bx F 和1x F 等四个约束力．而其独立平衡方程也只有三个、可见，原桁架为一次静不定桁架。
综上所述，凡是具有多余约束(包括内、外多余约束)的结沟，均称为超静定系统。静
不定的次数等于多余约束力的个数。
§1.2简单超静定梁
在第二章研究了拉圧超靜定问题。在工程实际中，有时为了提高粱的强度与刚度，或由于构造上的需要，往往给静定梁再增加约束，于是，梁的支反力（含支反力偶矩）的数目，超过有效平衡方程的数目，即成为静不定梁。
简单超静定梁，通常是指一次静不定梁。对于这类超静定梁可采用类似分析拉压超靜定问题的方法求解，其基本步骤为﹕
(1)解除超静定梁的多余约束，得到一个静定梁（即靜定基），其上除作用有原有的外力
外，还应加上多余约束力。
(2)列出静定基在多余约束处的变形条件（变形协调条件），使静定基在外载荷和多余约
束力共同作用下构成一新的系统，该系统称为相当系统。被解除约束处的位移与原超静定结构中该处的位移情况相同。
(3)写出静定基在全部外力作用下解除约束处的位移表达式，代入变形条件，即得到补
充方程。
(4)由补充方程解出多余约束力，再由静力平衡方程即可求得全部约束反力。
上述求解简单超静定梁的方法，通常称为变形比较法。多余约束的选定一般有多种方案，选择的多余约束不同，静定基和变形条件也随而异、因此，对于具体问题，认视解题方便选定。
4 例1.1 图1.2-1(a) 为一端固定，一端为活动铰支座的一次超静定梁，梁的抗弯刚度为EI ，试求支座反力Ay F 和A M 。
解：以支座B 作为多余约束并解除之，所得静定基
如图1.2-1(b)所示。变形协调条件为
=
B y (a)
根据叠加法，此条件可进一步写为
EI
l F EI
Fl
y By B 34853
3
-
=
将上式代入(a)式，得变形补充方程
034853
4
=-
EI
l F EI
Fl
By 图 1.2-1
由此解得
16
5F F By =
所得结果为正，说明所设支反力By F 的方向正确。
多余反力确定后，由平衡方程0=∑A
M 与0=∑y F ，可得固定端处的反力和反力偶矩
分别为
),(16
11↓=
F F Ay 16
3Fl M
A
=
(逆时针)
应该指出，只要不是限制梁的刚体位移所必需的约束，均可作为多余约束。因此，对于图1.2-1(a) 所示静不定梁，也可将固定端处限制截面A 转动的约束当作多于约束。于是，如果将该约束解除，并以支反力偶矩M A 代替其作用，则原静不定梁的相当系统如图1.2-1(c) 所示，而相应的变形协调条件为
0=A θ
由此求得的约束反力和反力偶矩与上述解答完全相同，请读者自己做。
例1.2 一悬臂梁AB ，承受集中载荷F 作 用，因其刚度不够，用一短梁加固如图1.2-2 (a)所示。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。 设两梁各截面的弯曲刚度均为EI 。 解： 1.求解静不定
梁AB 与梁AC 均为静定梁，但由于在截面 C 处用铰链相连即增加一约束，因而由他们 组成的结构属于一次静不定，需要建立一个 补充方程才能求解。
如果选择铰链C 为多余约束予以解除， 并以相应多于力R F 代替其作用，则原结构
的相当系统如图1.2-2(b) 所示。在多余力R F 图 1.2-2 作用下，梁AC 的截面C 铅垂下移；在载荷F 与
5
多余力R F 作用下，梁AB 的截面C 也应铅垂下
移。设前一位移为1w ，后一位移为2w ，则变形协调条件为
21w w = (a)
由梁变形表中查得，
EI
l
F EI
l F w R R 243)2/(3
1==
(b)
根据梁变形表并用叠加法，得
EI
l
F F w R 48)25(3
2-=
(c)
将式（b ）和（c ）代入式（a ），得变形补充方程为
EI
l
F F EI
l
F R R 48)25(243
3
-=
由此得
4
5F F R =
2. 刚度比较
未加固时，梁AB 的端点挠度即最大挠度为
加固后，该截面的挠度变为
仅为前者的60.9%。由此可见，经加固后，梁AB 的最大挠度显著减小。
§1.3 力法与正则方程
在求解超静定系统时，选取“力”为解题过程中的基本未知量的方法，称为力法。力
法与变形比较法相比，无本质上的区别。也像变形比较法那样，(1)首先去掉超静定系统中的多余约束，使原结构成为静定结构，即静定基。(2)将多余约束反力和原有载荷同时作用于静定基上构成的受力系统，即相当系统。利用静定基与原静不定系统变形一致的关系，建立变形协调条件。(3)然后利用力与变形间的物理关系，将变形协调条件转化为求解多余约束力的补充方程。力法与变形比较法不同之处，只在于将变形协调条件直接写成用“力”表达的标准形式，即所谓正则方程。这样便可对不同形式的超静定系统，采用统一的方法、步骤求解。
一、力法的正则方程 1．
一次静不定系统的正则方程
在求解图1.3-1(a)所示一次静不定梁时，可选用悬臂梁、简支梁两种形式的基本静定系。
6 两者的变形协调条件，可表达成同一形式．即
1
1X ?01=?+F (a)
这里用符号ij ?表示广义位移，它的 第一个下标i 表示位移所在的位置和方 向，第二个下标j 表示引起位移的原因。 对图1.3-1(b)所示的基本静定系(悬臂梁) 来说．
1
1X ?、F 1?分别表示未知力1X 和载
荷F 使1x 作用点(梁的B 端)沿1X 方向产 生的位移(竖向位移)，这时变形协调条 件的含义为悬臂梁B 端的挠度为零。对
图1.3-1(c)所示的基本静定系(简支梁)来 说，1
1X ?、F 1?分别表示未知力1X ，载荷
F
使1X 作用点(梁的A 端)沿1X 方向产生的 位移(转角)，这时变形协调条件的含义 为简支梁A 端的转角为零。
对线弹性体来说，位移与外力之间 图 1.3-1
存在正比关系。所以可将位移1
1X ?表达
如下形式
1
1X ?=111X δ (b)
式中11δ为正比系数，通常称为柔度系数。它表示广义单位力1x =1 单独作用于基本静定系上时，沿1X 方向上产生的广义位移。对上述两 种不同形式的基本静定系，11δ的含义可分别 由图1.3-1(d)、(e)表示。将(b)式代入(a)后得 补充方程
01111=?+F X δ (1.3—1) 补充方程(1.3-1)为一次超静定系统的正则方程。 对不同形式的一次静不定系统来说，一般可将 补充方程写成正则方程(1.3-1)的形式。例如图 3-2a)所示的一次超静定刚架，可分别选用如 图1.3-1 (b)、 (c)、(d)所示的三种不同形式 的基本静定系。它们的正则方程都为式(1.3-1)，
但其含义各有不同。它们分别表示c 点沿1X 方 图 1.3-2 向上的位移为截面A 的转角为零、铰链“两侧 横截面相对转角为零(保持杆件变形连续性)。
正则方程(1.3-1)中的F 1?和系数11δ，可在其基本静定系上用任何一种求位移的方法求出，于是可从正则方程解出1X 。
7
例1.3 图1.3-3(a)所示刚架，两杆抗弯刚度EI 相同，且为常数。试作刚架的弯矩图。
图 1.3-3
解 因刚架具有Ax F 、Ay F 、Cx F 、Cy F 等四个反力．所以为一次超静定问题，解除固定铰支座C 的竖直方向约束，得静定基如图1.3-3(b)所示。
在静定基上分别作用均布载荷q 、单位力1X =1，分别画出静定基由均布载荷q 引起弯矩图F M 和由1X =1引起弯矩图1M ，如图 1.3-3(c)、(d)所示。 1M 图自乘得 EI
a
a a a EI
32)3
22
1(
123
11=
?
???
=δ
F
M
因与1M 图图形互乘得
EI
qa
a a qa a a qa EI F 247)4
32
3
13
22
21(14
2
2
1-
=?
??
+
?
??-
=?
将11δ、F 1?的数值代入正则方程(3-1)得 0247324
13
=-
EI
qa
X EI
a
由上式解出1X ，得
16
71qa X =
求出1X 后，可在静定基上用任何一种画图的方法作超静定刚架的弯矩图M ，也可利用已画出的1M 图因和F M 图采用叠加法画超静定刚架的弯矩图．即
)()()(11x M X x M x M F +=
)(x M 图如图1.3-3(c)所示。
例1.4 图3-4为—简单组合结构。AD 、BD 、CD 三杆为轴力杆，其刚度皆为11A E 。横
8 梁AB 为受弯构件，其刚度为22I E 。试用力法求内力。
图 1.3-4
解 该组合结构为一次静不定问题。取杆CD 为多余约束，将它切断后，得静定基，如图1.3-4(b)所示。将CD 杆的作用以约束力1x 的形式作用于静定基上。杆件切口处应保持连续性，轴向相对位移为零。
应用单位敦荷法求11δ和F 1?。
1M 和1
N M
如图1.3-4(c)所示，F M 和NF
M
如图1.3-4(d)所示。
由莫尔积分公式 11δ=∑
?
+
1
12
12
22
1)()(A E l F I E dx M i N l
???
?
???
??????
??+??+??
???
?
=25653111
3
22422
1122
112
2A E I E =
1
12
218179332
A E I E +
∑
?
+
=
?1
112
21A E l F F I E dx M M i Ni N l
F NF
=03
22242
1122
2+???
???
?
-F
I E
=2
2332I E F -
将其代入正则方程(3-1)中，可解出 =
1x ???
?
??+=
?112211
11921791A E I E F
F
δ
9
二、高次超静定系统的正则方程
图1.3-5(a)为二次静不定刚架，若将固定铰支座C 视为多余约束，将其解除后，得基本静定基如图1.3-5(b)所示。用1X 、2X 代替固定支座的作用，将其作用于静定基上。根据固定铰支座限制C 点铅垂、水平位移均等于零的条件，可建立其变形谐调方程为
图 1.3-5
0222212112111=?+?+?=?=?+?+?=?F F
式中1?为C 点的铅垂位移，2?为C 点的水平位移。 对线弹性体来说．位移ij ?可表达成如下形式
11111X δ=? 21212X δ=? 12121X δ=? 22222X δ=?
式中柔度系数品ij δ表示广义单位力1=j X 单独作用在静定基上，使i X 作用点沿i
X 方向上产生的广义位移。因此，j ij ij X δ=?表示广义力j X 单独作用在相当系统上，使i X 的作用点沿i X 方向上产生的广义位移。F 1?、F 2?、11δ、12δ、21δ、22δ的含义分别表示在图1.3-5(c)、(d)、(e)上。于是可得正则方程为
022221211212111=?++=?++F F X X X X δδδδ (1.3-2)
式(1.3-2)为二次静不定系统的正则方程。也可选用其他形式的静定基求解，例如可选用图3-6所示三种形式的静定基。它们的正则方程都是式(1.3-2)的形式，但其含义各有不同。对图1.3-5(b)所示静定基来说，正则方程的第一个方程表示铰链B 两侧截面
10 的相对转角为零，第二个方程表示C 点的水平位移为零。
图 1.3-6
正则方程(1.3-2)中的iF ?和柔度系数ij δ均可在基本静定系上用单位载荷法求得。然后可由正则方程解出广义力1X 、2X 。
由第《材料力学》第八章8.2节中位移互等定理可知
ji ij δδ= (3-3) 因此，利用这种互等关系、可减少柔度系数的计算量。
从正则方程(1.3-1)和(1.3-2)可以看出．在求解静不定系统时，都是以力为基本未
知数，因此，称这种解超静定系统的方法为力法。
求出多余约束力之后．原静不定系统的强度、刚度计算问题，就转化为静定基在载荷与多余约束力共同作用下的强度、刚度计算问题。这样就使求解原静不定系统的问题，转化为在基本静定系上求解了。
还应指出，基本静定系的形式一般不是唯一的。在求解静不定系统时，尽量选取
便于计算的基本静定系。
按照上述力法原理，可将求解二次静不定系统的方法．推广到求解具有n 个多余约
束的n 次超静定系统。这时的正则方程可写成如下形式
(1.3-4)
可将正则方程组(1.3-4)写成矩阵形式
11
δ (1.3-5)
00
22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nF n nn n n F n n F n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 02121212222111211
=?????????
?
???????+???????????????
???????????nF F F n nn n n n n X X X δδδδδδδδδ
11
由柔度系数ij δ所组成的矩阵，称为柔度矩阵。iF ?和柔度系数ij δ均可由单位载荷法求得。位于对角线上的元素ii δ称为主系数，由单位载荷法容易证明，主系数永为正值。
)(j i ij ≠δ为副系数，它可为正值、负值，也可能为零。由(1.3-4)可知，柔度矩阵为对
称矩阵。
§1.4 对称及反对称性质的应用
利用结构上载荷的对称或反对称性质，可使正则方程得到一些简化。图1.3-7(a)所示结构的几何形状、支承条件和各杆的刚度都对称于某一轴线。在这样的结构上，如载荷的作用位置、大小和方向也都对称于结构的对称轴(图1.3-7(b)则为对称载荷。如两侧载
图 1.3-7
荷的作用位置和大小仍然是对称的，但方向却是反对称的(图1.3-7(c)，则为反对称载荷。与此相似，杆件的内力也可分成对称和反对称的。例如，平面结构的杆件的横截面
上，一般有剪力、弯矩和轴力等三个内力 (图1.3-8)。对所考察的截面来说，弯矩
M
和轴力N F 是对称的内力，剪力S F 则是
反对称的内力。
图3-9为对称结构受到对称载荷，现说 图 1.3-8
明载荷对称性质的作用。刚架有三个多余约
束，如沿对称轴将刚架切开，就可解除三个多余约束得到基本静定系。三个多余约束力是对称截面上的轴力1X 、剪力·2X 和弯矩3X (图1.3-9(b)。变形协调条件是上述切开截面的两侧水平相对位移，垂直相对位移和相对转角都等于零。这三个条件写成正则方程是 (a)
静定基在外载荷单独作用下的弯矩F M 图如图1.3-9(b)所示，而令11=X 、12=X 和
0333323213123232221211313212111=?+++=?+++=?+++F F F X X X X X X X X X δδδδδδδδδ
12 13=X 各自单独作用时的弯矩图1M 、2
M
和3M 分别表示于图1.3-9(c)、(d)和(e)中。
在这些弯矩图中，2M 是反对称的，其余都是对称的。计算F 2?的莫尔积分是
dx EI
M M F F ?
=
?2
2
图 1.3-9
式中F M 是对称的，而2M 是反对称的，积分的结果必然等于零，即
02
2==
??
dx EI
M M F F
因此，在用图乘法计算柔度系数时，一个对称的和一个反对称的内力图互乘的结果必然
为零。由此可知12δ、21δ、23δ、32δ均为零，于是原正则方程(a)式简化为 (b)
由(b)式可见，当对称结构上受对称载荷 作用时，在对称面上，反对称内力等于零， 且其变形也是对称的。
图1.3-9(c)是对称结构上受反对称载
荷作用的情况。如仍沿对称铀特刚架切开，
并代以多余约束力，得相当系统如图1.3-10 图
1.3-10
33
33
1
31
2221313111=?++==?++F
F X X X X X δδδδ
δ
13
(a)所示。但外载荷单独作用下的F M 图是反对称的(图1.3-10(b))，而1M 、2M 、3M 仍然如图1.3-9所示。由于F M 是反对称的，而1M 和3M 是对称的．这就使得 ?
==
?l
F F dx EI
M M 01
1 0
3
3==
??
dx EI
M M l
F F
另外，和前面一样 12δ、21δ、23δ、32δ均为零，于是原正则方程(a)式简化为
(c)
由于(c)式中第一和第三式为齐次方程组，显然有01=X ，和03=X 的解。所以在对称结构上作用反对称载荷时，在对称截面上，对称内力 (即抽力和弯矩)都等于零。 有些载荷虽不是对称或反对称酌(图1.3—11(a))，但可将它转化为对称和反对称两种载荷的叠加(图1.3-11(b)、(c))。分别求出对称和反对称两种情况的解，叠加后即为原载荷作用下的解。
图 1.3-11
例3-4 半径为a 的等截面圆环，沿直径AB 的两端作用方向相反一对力F (图1.3-12a)。
试求AB 直径的长度变化。
解 沿水平直径将因环切开(图1.3—20(b)。由载荷的对称性，截面C 和D 上的剪力等 于零，只有轴力N F 和弯矩1X 。利用平衡条件容易求出2F F N =，故只有弯矩1X 为多余约束力。图环对垂直直径AB 和水平直径CD 都是对称的，可以只研究圆环的1／4(图1.3-12(c)。由于对称截面A 和D 的转角皆等于零。这样，可把A 截面作为固定端，而把截面D 的转角为零作为变形协调条件，并写成
01111=?+F X δ (a)
式中F 1?是静定基上只作用2F F N =时(图3-12d)截面D 的转角；11δ是令1X =1，且单独 作用时(图1.3-12(e)截面D 的转角。 由图1.3-12(d 、(e)分别求得
003331312222313111=+=?+=+X X X X X F δδδδ
δ
14
图 1.3-12
()?cos 12
-=
Fa M ， 1X = -1
故 )12
(
2)1()cos 1(22
2
22
1
1--
=--=
=
???
π???π
π
EI
Fa
d EI
Fa
ad EI
MM F
EI
a d EI
a ad EI
M M 2)1(2
2
2
1
111π??δπ
π
=
-=
=
??
将F 1?和11δ代入(a)式，得
)1
21
(1π
-
=Fa X
求出1X 后，算出在1X 及2F 共同作用下(图1.3-12(e)任意截面上的弯矩为 )
2
cos 1
(
)1
21(
)cos 1(2
)(?π
π
??-
=---=
Fa Fa Fa M (b)
这就是41圆环内的实际弯矩表达式，可由它画出圆环的弯矩图。
在力F 作用下圆环垂直直径AB 的长度变化也就是F 力作用点A 和B 的相对位移
AB ?。为了求出这个位移，在A 、B 两点作用单位力(如图1.3-12(f)所示。这时只要在
式(b)中令F =1，就得到在单位力作用下圆环内的弯矩为 )
2
cos 1
(
)(0?π
κ-
=a M (20π?≤≤)
使用莫尔积分求A 、B 两点的相对位移AB ?时，积分应遍及整个圆环。故
EI
Fa EI
Fa d EI
Fa ad EI
M M AB 3
3
2
2
32
149
.0)2
4
(
)2
cos 1
(4)
()(4-=-
=
-
=
=???
π
π??π
???π
π
15
例3.5 3次超静定刚架受力如图1.3-13(a)，没各杆EI 相同，试作刚架弯矩图。
解：此刚架对中线mm 是对称的，但载荷是反对称的。取对称的静定基如图1.3-13(b)所示，载荷的弯矩图如图1.3-13(c)所示，单位力弯矩图如图3-13(d)、(e)、(f)。因对称与反对称内力图互乘的结果为零的有
0313*******=?=?====F F δδδδ
(图按刘烈全编材料力学P388图13-15画,3-13(e)为p386图13-12a,b,c 。图号为1.3-13)
于是，正则方程为
由于1X 、3X 为反对称内力，因此1X =3X =0，而2X = - 222/δF ?。其中 EI
Fa
Fa a a EI F 22)2
12(12
2-
=??
?-=
?
EI
a
a a a a a a EI
1272)2
2
2
3
22
22
1(13
11=
??
?+
?
?
?
?=δ
由此解得
F
X 7
62=
刚架内各截面的弯矩为022M X M M F +=，将图1.3-13(c)和图1.3-13(e)的2X 倍进行叠加即得刚架的弯矩图，如图1.3-13(f )所示。
§1.5 连续梁与三弯矩方程
一、连续梁
003331312222313111=+=?+=+X X X X X F δδδδδ
16 工程中当要用到很长的梁时，为使梁的挠度不致太大，通常设置一系列中间铰支座
(图按刘烈全编材料力学P391图13-17画，图号为1.3-14)
如图1.3-14(a)所示，这类具有中间简支座的多跨梁称为连续梁。连续梁在船舶、桥梁、车辆、建筑以及机械等±程中是常用构件。
假设连续梁总共有n 跨，约定支店编号自左向左依次为0，1，2，…，n 。跨度长自左向右依次为1l 、2l 、…、n l 。各跨惯性矩为1I 、2I 、…、n I 。有支座在同一水平线上，并无不同沉陷。且设只有支座o 可为固定简支座，其余皆为可动简支座。连续梁属超静定结构。于是增加一个中间支座就增加一个多余约束，静不定的次数就等于中间支座的数目。
求解连续梁时，如果将所有中间支座作为多余约束并予以解除，然、后将它们的反力加上，得到的静定基为一系列的简支梁。这些简支梁除原有载荷外，还在每个中间支座处作用一个多余未知反力1X 、2X 、…、1-n X 。变形协调条件为每个中间铰支座处梁的挠度为零，即1?、2?、…、01=?-n ，共有(1-n )正则方程，正好求解(1-n )个未知数i X 。稍作分析可知，(1-n )个i X 都对任一挠度i ?有贡献，外载荷也有贡献iF ?，因此(1-n )正则方程中，每一个方程都包含了(1-n )个i X ，求解计算量十分大，因而一般并不采取这种方法。 二、三弯矩方程
现设想在连续梁的每个中间支座处将梁切断，并分别设置一个中间铰，同时将中间铰装在支座上(图1.3-14(b))。这样静定基就成为n 个短的简支梁。相应的(1-n )变形协调条件就是每个中间铰两侧的梁端相对转角为零，即0=?i θ(=i 1，2，…，1-n )，多余约束力则是每个支座截面处的未知弯矩1M 、2M 、…、1
-n M
。
现对任意相邻两跨i l 和1+i l 进行分析，为便于计算，将这两个简支梁的载荷弯矩及端面上的未知弯矩1-i M 、i M 和1+i M 的弯矩图分别画出如图1.3-15(a)所示。载荷弯矩面积
分别记为i ω和1+i ω。i ω的形心到)1(-i 支座的距离用i a 表示，而1+i ω到)1(+i 的距离用1
+i b 表
(插入刘烈全编《材料力学》p393图13-18，图号为1.3-15)
17
示。为求第i 支座两侧的相对转角i θ?，在该处两侧面各加一单位力偶并相应作弯矩图如图3-16(b)所示。应用图形互乘法可写出第i 支座处的变形协调条件0=?i θ如下
上式经整理后可得
)(
6)(
21
1111
1
1
1
11
+++++++++-+
-=++
+i i i i i
i i i i i i i i i
i i i
i
i l I b l I a I l M
I l I l M I l M
ωω (1.3-6)
因为上式中含有三个弯矩，所以称之为三弯矩方程，对于各跨截面刚度EI 均相同的连续梁，则三弯矩方程简化为
)(6)(21
1
11
111++++++-+
-=+++i i i i
i
i i i i i i i
i l b l a l M l l M l M
ωω (1.3-7)
每一个中间支座都可写出一个三弯矩方程，共可写出(1-n )方程，从而可求出(1-n )未知弯矩。求得各中间支座处截面弯矩后，则各支座反力可通过静定基各简支梁的平衡条件算出，下面以例题说明。
例3.6 图1.3-16(a)所示连续梁抗弯刚度EI 为常数，在支座B 处作用外力偶矩
Fa
M
30
=，外伸端作用集中力F ，试作剪力图和弯矩图。
(插入刘烈全编《材料力学》p394图13-19，图号为3-16)
解：本例为一次超静定连续梁，其特点是左边有外伸部分。现将外伸端上的集中力F 向支座A 简化，可得支座A 截面的弯矩Fa M
A
-=。在支座A 上还有一个向下的集中载荷
F
。外力偶矩0M 可任意分配到静定基的AB 跨或BC 跨上，为便于计算，现将它作为AB
跨上的外载荷。AB 和BC 两跨外载荷弯矩图如图1.3-16(b)所示，其中BC 跨的外载荷弯矩为零。对中间支座B 列三弯矩方程，已知Fa
M
M A
i ==-1，0M M i =，
01
==+C
i M
M
，a l i 2=，a l i 31=+，23Fa AB i ==ωω，a
a i 3
4=
，01==+BC i ωω，代入
(3-7)式得
a
a
Fa M a a a Fa B 23
436)32(222
?
?
-=?++?-
由上式解得
Fa M B -=
)3121322
1(1
)32213121(11
1111111
=?
+??+??+
?
+?
?+??=?+++++++=i i i i i i i i i
i i i i i i i i l b l M l M EI l a l M l M E ωωθ
18 求支座反力，可将连续梁看作两个简支梁的组合(参见图1.3-16(c))，故易求得 252/)22(F a Fa a F Fa R A =+?+=
232/)2('
F a Fa Fa R B -=--= 33"F a Fa R B ==
3/3/F a Fa R C -=-=
故 6/7"'F R R R B B B -=+=
最后，画剪力图与弯矩图女ｎ图1.3-16(d)与(e)所示。
例3-7 连读梁如图1.3-17(a)，EI 为常数，试求各支应处梁截面的弯矩。
(插入刘烈全编《材料力学》p395图13-20，图号为3-17)
解：本例的目的主要是为了说明有固定端的连续梁如何应用三弯矩方程。假想将固定端换为一个固定铰支和一个活动铰支，即增加一跨CE ，并使具跨度为零(或EI 为无穷大)，这样原连续梁成为三跨梁。对中间支座B 建立三弯短方程时，己知0
1==-A
i M M ，两跨
的载荷弯矩图为图1.3-17(b)，因此
化简得 1253-=+C B M M (a) 再对中间支座C 列三弯矩方程式，已知01==+E i M M ，01==+CE i l l ,故 化简后得 1002-=+C B M M (b)
联立求解(a)、(b)两式，得
三、支座高度不同对连续梁的影响
当连续梁各支座不在同一直线上，但梁自身的轴线为直线，这样装配后，即使无外载荷，连续梁也会产生弯曲变形，从而在连续梁中产生预应力。从连续梁内任取如图1.3-18(a)所示相邻两跨进行研究，其静定基如图1.3-18(b)所示。用i δ表示支座i 高于左支座(1-i )的高度，1+i δ表示支座(1+i )于于左支座i 的高度。
(插入刘烈全编《材料力学》p396图13-21，图号为3-18)
)
6
3
266602
13
5
.13453
2
(66)63(2+?
??+???-=?++C B M M )
6
3
466602
1
(6626+?
??-=?+?C B
M M
m
kN M
m kN M C
B ?-=?-=3530
19
由图1.3-18(b)可知，支座i 处两侧梁截面将有相对转角 1
1)(++-
=
?i i i
i i l l δδθδ (a)
另一方面，当梁的支座在同一高度时，静定基两跨在弯矩1-i M 、i M 和1+i M 作用下，
截面两侧的相对转角为
(b)
根据连续梁的变形协调条件，有
0)()(=?+?=?M i i i θθθδ
将(a)、(b)两式代入上式，即得支座高度不同时耐三弯矩方程为
(3-8) 例3-8 等截面传动轴如图1.3-19所示，轴的直径为mm d 90=，跨长
mm
l 300=，,GPa E 200=，其中支座1的高度误差为mm l 3.01000/==δ，试求无载荷
时，1号支座截面的弯矩1M 及弯曲应力σ。
(插入刘烈全编《材料力学》p397图13-22，图号为3-19)
解：由图知，δδ=1，δδ-=2，00==M M ，I I I ==21,代入(3-8)式，则有 l
l
EI l l M δ
δ
+
-=+(6)(21
由此解得 2
13l
EI M δ=
MPa l
d E 90300
290
3.010*******
3
2
=?????=
=
δσ
由该题可见，由于支座高度的少许误差，会在连续梁内引起很大的应力。
习 题
1.1 对于下列图示各平面结构，载所作用在结构平面内，(1)判断它是几次超静定结构； (2)
画出静定基； (3)列出相应的变形条件。
)
3
1
21
32
21
(
1
)32
21
31
21
(
1
)(1111
1?
+
?
+
?
+
?
=
?++++-i i i i i i i i
M i l M M EI l M M EI θ)
(
6)(
21
1
1
1
1
1
1
1
+++++++--
-=++
+i i i
i
i i i i i i
i
i i
i
i l
l I l M I l I l M I l M δδ
材料力学标准试卷及答案
扬州大学试题纸 （ 200 － 200 学年 第 学期） 水利科学与工程 学院 级 班(年)级课程 材料力学 ( )卷 一、选择题（10分） 1．关于材料的冷作硬化现象有以下四种结论，正确的是（ ） （A ）由于温度降低，其比例极限提高，塑性降低； （B ）由于温度降低，其弹性模量提高，泊松比减小； （C ）经过塑性变形，其弹性模量提高，泊松比减小； （D ）经过塑性变形，其比例极限提高，塑性降低。 2．关于低碳钢材料在拉伸试验过程中，所能承受的最大应力是（ ） （A ）比例极限 p σ；（B ）屈服极限 s σ；（C ）强度极限 b σ；（D ）许用应力 ][σ。 3．两危险点的应力状态如图，由第四强度理论比较其危险程度，正确的是（ ）。 (A))(a 点应力状态较危险； (B))(b 应力状态较危险； (C)两者的危险程度相同； (D)不能判定。 4．图示正方形截面偏心受压杆，其变形是（ ）。 (A)轴向压缩和斜弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)轴向压缩和平面弯曲的组合； (D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 5．图示截面为带圆孔的方形，其截面核心图形是（ ）。 (a) (b)
二、填空题（20分） 1．一受扭圆轴，横截面上的最大切应力 MPa 40max =τ，则横截面上点A 的切应力 =A τ____________。 1题图 2题图 2．悬臂梁受力如图示，当梁直径减少一倍，则最大挠度w max 是原梁的____________倍，当梁长增加一倍，而其他不变，则最大转角θmax 是原梁的____________倍。 3．铆接头的连接板厚度为δ，铆钉直径为d 。则铆钉切应力=τ____________，最大挤压应力 bs σ为____________。 3题图 4题图 4．由同一种材料组成的变截面杆的横截面面积分别为2A 和A ，受力如图示，弹性模量为E 。截面D 水平位移为____________。 5．阶梯轴尺寸及受力如图所示，AB 段的最大切应力m ax ,1τ与BC 段的最大切应力 m ax ,2τ之 比 = max ,2max ,1ττ____________。 (a) (b) (c) (mm)
材料力学复习题讲解
《材料力学复习题》 考试形式：开卷。 1.构件在外荷载作用下具有抵抗破坏的能力为材料的（）；具有一定的抵抗变形的能力为 材料的（）；保持其原有平衡状态的能力为材料的（）。 答案：强度、刚度、稳定性。 2.图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度 为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[σ]=120MPa，许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。 解：由正应力强度条件 由切应力强度条件 由挤压强度条件 式(1)：式(3)得 式(1)：式(2)得 故D：h：d=1.225：0.333：1 3.轴力是指通过横截面形心垂直于横截面作用的内力，而求轴力的基本方法是（）。
答案：截面法。 4.工程构件在实际工作环境下所能承受的应力称为（），工件中最大工作应力不能超过 此应力，超过此应力时称为（）。 答案：许用应力，失效。 5.所有脆性材料，它与塑性材料相比，其拉伸力学性能的最大特点是（）。 （A）强度低，对应力集中不敏感； （B）相同拉力作用下变形小； （C）断裂前几乎没有塑性变形； （D）应力-应变关系严格遵循胡克定律。 答案：C 6.现有三种材料的拉伸曲线如图所示。分别由此三种材料制成同一构件，其中：1）强度 最高的是（）；2）刚度最大的是（）；3）塑性最好的是（）；4）韧性最高，抗冲击能力最强的是（）。 答案：A，B，C，C 7.试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。 答案 （a）F NAB=F,F NBC=0,F N，max=F （b）F NAB=F,F NBC=－F,F N，max=F （c）F NAB=－2 kN, F N2BC=1 kN,F NCD=3 kN,F N，max=3 kN （d）F NAB=1 kN,F NBC=－1 kN,F N，max=1 kN
最新《材料力学》1答案
一、单选题（共 30 道试题，共 60 分。） 1. 厚壁玻璃杯倒入开水发生破裂时，裂纹起始于（） A. 内壁 B. 外壁 C. 壁厚的中间 D. 整个壁厚 正确答案：B 满分：2 分 2. 图示结构中，AB杆将发生的变形为（） A. 弯曲变形 B. 拉压变形 C. 弯曲与压缩的组合变形 D. 弯曲与拉伸的组合变形 正确答案：D 满分：2 分 3. 关于单元体的定义，下列提法中正确的是（） A. 单元体的三维尺寸必须是微小的 B. 单元体是平行六面体 C. 单元体必须是正方体 D. 单元体必须有一对横截面 正确答案：A 满分：2 分 4. 梁在某一段内作用有向下的分布力时,则在该段内M图是一条 ( ) A. 上凸曲线； B. 下凸曲线；
C. 带有拐点的曲线； D. 斜直线 正确答案：A 满分：2 分 5. 在相同的交变载荷作用下，构件的横向尺寸增大，其（）。 A. 工作应力减小，持久极限提高 B. 工作应力增大，持久极限降低； C. 工作应力增大，持久极限提高； D. 工作应力减小，持久极限降低。 正确答案：D 满分：2 分 6. 在以下措施中（）将会降低构件的持久极限 A. 增加构件表面光洁度 B. 增加构件表面硬度 C. 加大构件的几何尺寸 D. 减缓构件的应力集中 正确答案：C 满分：2 分 7. 材料的持久极限与试件的（）无关 A. 材料； B. 变形形式； C. 循环特征； D. 最大应力。 正确答案：D 满分：2 分 8. 梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（） A. Q图有突变， M图光滑连续； B. Q图有突变，M图有转折； C. M图有突变，Q图光滑连续； D. M图有突变，Q图有转折。 正确答案：B 满分：2 分 9.
材料力学(双语)Bending弯曲
Chapter 4 Internal Forces in Bending
MECHANICS OF MATERIALS 材料力学（双语）
Content
§4.1 Concept of symmetrical bending and calculation sketch of the beam §4.2 The shearing force and bending moment of the beam §4.3 The shearing-force and bending-moment equations · the shearing-force and bending-moment diagrams §4.4 Relations among the shearing force、the bending moment and the density of the distributed load and their applications §4.5 Plot the bending-moment diagram by the theorem of superposition §4.6 The internal-force diagrams of the planar rigid frames and curved rods
2
目录
§4.1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 §4.2 梁的剪力和弯矩 §4.3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 §4.5 按叠加原理作弯矩图 §4.6 平面刚架和曲杆的内力图
3
材料力学习题答案1
材料力学习题答案1 2.1试求图各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图 40 30 20 50 kN，F2 2 30 20 10 kN ，F3 320 kN 解：⑻F 11 (b)F1 1 F，F2 2 F F 0，F3 3 F (c)F 0，F2 2 4F，F3 3 4F F 3F 1 1 轴力图如题2. 1图（a）、（ b ）、（ c）所示 2.2作用于图示零件上的拉力F=38kN，试问零件内最大拉应力发生在哪个截面上？并求其值。 解截面1-1的面积为 A 50 22 20 560 mm2 截面2-2的面积为
A 15 15 50 22 840 mm 2 因为1-1截面和2-2截面的轴力大小都为F , 1-1截面面积比2-2截面面积小, 故最大拉应力在截面1-1上，其数值为: 由 h 1.4，得 h 16 2.9 mm b 所以，截面尺寸应为 b 116.4 mm ， h 162.9 mm 。 2.12在图示简易吊车中，BC 为钢杆, AB 为木杆。木杆AB 的横截面面积 A , 100cm 2，许用应力 1 7MPa ；钢杆 BC 的横截面面积A 6cm 2，许用拉应 max F N A F 38 103 A 560 67.9 MPa 2.9冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的 镦压力F=1100kN 。连杆截面是矩形截面，高度与 宽度之比为h 1.4。材料为45钢，许用应力 b 58MPa ，试确定截面尺寸h 及b 。 解 连杆内的轴力等于镦压力F ,所以连杆内 正应力为 匚。 A 根据强度条件，应有 F — ，将h 1.4 A bh b 代入上式，解得 0.1164 m 116.4 mm 1100 103 1.4 58 106 (a)
材料力学期末试卷1(带答案)
学院 《材料力学》期末考试卷1答案 （考试时间：120分钟） 使用班级： 学生数： 任课教师： 考试类型 闭卷 题 序 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人 一．填空题（22分） 1. 为保证工程结构或机械的正常工作，构件应满足三个要求，即 强度要求、 刚度要求 及 稳定性要求 。（每空1分，共3分） 2．材料力学中求内力的基本方法是 截面法 。（1分） 3．进行应力分析时，单元体上剪切应力等于零的面称为 主平面 ，其上正应力称为 主应力 。（每空1分，共2分） 4.第一到第四强度理论用文字叙述依次是最大拉应力理论、最大拉应变理论、最大剪应力理论和形状改变能理论。（每空1分，共4分） 5. 图示正方形边长为a ，圆孔直径为D ，若在该正方形中间位置挖去此圆孔，则剩 下部分图形的惯性矩y z I I ==44 1264 a D π-。（2分） 6. 某材料的σε-曲线如图，则材料的 （1）屈服极限s σ=240MPa （2）强度极限b σ=400MPa （3）弹性模量E =20.4GPa （4）强度计算时，若取安全系数为2，那么 塑性材 料的许用 应力 []σ=120MPa ，脆性材料的许用应力 []σ=200MPa 。（每空2分，共10分） 二、选择题（每小题2分，共30分） （ C ）1. 对于静不定问题，下列陈述中正确的是 。 A 未知力个数小于独立方程数； B 未知力个数等于独立方程数 ； C 未知力个数大于独立方程数。 （ B ）2．求解温度应力和装配应力属于 。 A 静定问题； B 静不定问题； C 两者均不是。 （ B ）3．圆轴受扭转变形时，最大剪应力发生在 。 A 圆轴心部； B 圆轴表面； C 心部和表面之间。 （ C ）4． 在压杆稳定中，对于大柔度杆，为提高稳定性，下列办法中不能采用的是 。 A 选择合理的截面形状； B 改变压杆的约束条件； C 采用优质钢材。 （ C ）5．弯曲内力中，剪力的一阶导数等于 。 A 弯矩； B 弯矩的平方； C 载荷集度 （ C ）6．对构件既有强度要求，又有刚度要求时，设计构件尺寸需要 。 A 只需满足强度条件； B 只需满足刚度条件； C 需同时满足强度、刚度条件。 （ A ）7．()21G E μ=+????适用于 A ．各向同性材料 B. 各向异性材料 C. 各向同性材料和各向异性材料 D. 正交各向异性。 （ B ）8．在连接件上，剪切面和挤压面分别 于外力方向 A.垂直、平行 B.平行、垂直 C.均平行 D.均垂直 （ C ）9．下面两图中单元体的剪切应变分别等于 。虚线表示受力后的形状 A. 2γ，γ B. 2γ，0 C. 0，γ D. 0，2γ . 系 班 姓名 座号 成绩 . ...................................................... 密 .................................... 封 ................................ 线 ...................................................... y z
材料力学联系1答案
1、拉杆或压杆如图所示。试用截面法求各杆指定截面的轴力，并画出各杆的轴力图。 解： （1）分段计算轴力 杆件分为3段。用截面法取图示研究对象画受力图如图，列平衡方程分别求得： F N1=-5kN（压）； F N2=10kN（拉）； F N3=-10kN （压） （2）画轴力图。根据所求轴力画出轴力图如图所示。 2. 阶梯状直杆受力如图所示。已知AD段横截面面积A AD=1000mm2，DB段横截面面积A DB=500mm2， 材料的弹性模量E=200GPa。求该杆的总变形量Δl AB。 解:由截面法可以计算出AC，CB段轴力F NAC=-50kN（压），F NCB=30kN（拉）。
3、用绳索吊起重物如图所示。已知F=20kN，绳索横截面面积A=12.6cm2，许用应力[σ]=10MPa。试校核α=45°及α=60°两种情况下绳索的强度。
4、如图所示AC和BC两杆铰接于C，并吊重物G。已知杆BC许用应力[σ1]=160MPa，杆AC许用 应力[σ2]=100MPa，两杆横截面面积均为A=2cm2。求所吊重物的最大重量。 5、三角架结构如图所示。已知杆AB为钢杆，其横截面面积A1=600mm2，许用应力[σ1]=140MPa； 杆BC为木杆，横截面积A2=3×104mm2，许用应力[σ2]=3.5MPa。试求许用荷载[F]。
6、悬臂梁受力如图，试作出其剪力图与弯矩图。 1、解： 1）求支反力：0Y =∑， qa R c =， 0M c =∑，222 1 )2(qa a a qa qa M c -=+?-=。 2）截面内力： A 面：0Q A =，0M A =； B 面：qa Q B -=，2B qa 21M - =左，2B qa 2 1 M +=右 C 面：qa 21R Q c c -=-=， qa 2 1 M M c c -=?=。
材料力学试题及答案[1]
浙江省2001年10月高等教育自学考试 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在 题干的括号内。每小题2分， 共20分) 1.轴的扭转剪应力公式τρ=T I P ρ适用于如下截面轴( ) A.矩形截面轴 B.椭圆截面轴 C.圆形截面轴 D.任意形状截面轴 2.用同一材料制成的实心圆轴和空心圆轴，若长度和横截面面积均相同，则抗扭刚度较大的是哪个?( ) A.实心圆轴 B.空心圆轴 C.两者一样 D.无法判断 3.矩形截面梁当横截面的高度增加一倍、宽度减小一半时，从正应力强度考虑，该梁的承载能力的变化为( ) A.不变 B.增大一倍 C.减小一半 D.增大三倍 4.图示悬臂梁自由端B 的挠度为( ) A.ma a EI ()l -2 B. ma a EI 32()l - C.ma EI D. ma a EI 22()l - 5.图示微元体的最大剪应力τmax 为多大?( ) A. τmax =100MPa B. τmax =0 C. τmax =50MPa D. τmax =200MPa 6.用第三强度理论校核图示圆轴的强度时，所采用的强 度条件为( ) A. P A M W T W Z P ++()()242≤［σ］ B.P A M W T W Z P ++≤［σ］ C. ()()P A M W T W Z P ++22≤［σ］ D. ()()P A M W T W Z P ++242≤［σ］ 7.图示四根压杆的材料、截面均相同，它 们在纸面内失稳的先后次序为( ) A. (a),(b),(c),(d) B. (d),(a),(b),(c) C. (c),(d),(a),(b) D. (b),(c),(d),(a) 8.图示杆件的拉压刚度为EA ， 在图示外力
材料力学试题及答案-全
江 苏 科 技 大 学 学年第二学期材料力学试题(A 卷) 一、 选择题（20分） 1、图示刚性梁AB 由杆1和杆2支承，已知两杆的材料相同，长度不等，横截面积分别为A 1和A 2，若载荷P 使刚梁平行下移，则其横截面面积（ ）。 A 、A 1〈A 2 B 、A 1 〉A 2 C 、A 1=A 2 D 、A 1、A 2为任意 2、建立圆周的扭转应力公式τρ=M ρρ/I ρ时需考虑下列因素中的哪几个？答：（ ） （1）扭矩M T 与剪应力τρ的关系M T =∫A τρρdA （2）变形的几何关系（即变形协调条件） （3）剪切虎克定律 （4）极惯性矩的关系式I T =∫A ρ2dA 题 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 工程技术学院 _______________专业 班级 姓名____________ 学号 ---------------------------------------------------密 封 线 内 不 准 答 题------------------------------------------------------------- 题一、1图
A 、（1） B 、（1）（2） C 、（1）（2）（3） D 、全部 3、二向应力状态如图所示，其最大主应力σ1=（ ） A 、σ B 、2σ C 、3σ D 、4σ 4、高度等于宽度两倍(h=2b)的矩形截面梁，承受垂直方向的载荷，若仅将竖放截面改为平放截面，其它条件都不变，则梁的强度（ ） A 、提高到原来的2倍 B 、提高到原来的4倍 C 、降低到原来的1/2倍 D 、降低到原来的1/4倍 5. 已知图示二梁的抗弯截面刚度EI 相同，若二者自由端的挠度相等，则P 1/P 2=（ ） A 、2 B 、4 C 、8 题一、3图 题一、5图 题一、4
材料力学1[答案解析]
材料力学 请在以下五组题目中任选一组作答，满分100分。第一组： 计算题（每小题25分，共100分） 1. 梁的受力情况如下图，材料的a。 若截面为圆柱形，试设计此圆截面直径。 10 m q/ kN
2. 求图示单元体的： （1）图示斜截面上的应力； （2）主方向和主应力，画出主单元体； （3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 60x 解： （1）、斜截面上的正应力和切应力：MPa MPa o 95.34,5.6403030=-=--τσ （2）、主方向及主应力：最大主应力在第一象限中，对应的角度为0067.70=α，则主应力为：MPa MPa 0.71),(0.12131-==σσ （3）、主切应力作用面的法线方向：0/ 20/167.115,67.25==αα 主切应力为：/ 2/104.96ααττ-=-=MPa 此两截面上的正应力为：)(0.25/ 2/1MPa ==αασσ，主单元体如图3-2所示。 x
图 3-1 MPa 0.0 0.25 图3-2 3. 图中所示传动轴的转速n=400rpm ，主动轮2输入功率P2=60kW,从动轮1，3，4和5的输出功率分别为P1=18kW,P3=12kW,P4=22kW,P5=8kW 。试绘制该轴的扭矩图。
4. 用积分法求图所示梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁EI均为常数。 第二组： 计算题（每小题25分，共100分） 1. 简支梁受力如图所示。采用普通热轧工字型钢，且已知= 160MPa。试确定工字型钢型号，并按最大切应力准则对梁的强度作全面校核。（已知选工字钢No.32a： W = 69 2.2 cm3，Iz = 11075.5 cm4） 解： 1．F RA = F RB = 180kN（↑）
材料力学阶段练习一及答案讲解学习
材料力学阶段练习一 及答案
华东理工大学 网络教育学院材料力学课程阶段练习一 一、单项选择题 1.如图所示的结构在平衡状态下，不计自重。对于CD折杆的受力图，正确的是( ) A. B. C. D.无法确定 2.如图所示的结构在平衡状态下，不计自重。对于AB杆的受力图，正确的是( )
A. B. C. D.无法确定 3.如图所示悬臂梁，受到分布载荷和集中力偶作用下平衡。插入端的约束反力为( )
A.竖直向上的力，大小为qa qa 2；逆时针的力偶，大小为2 qa B.竖直向上的力，大小为qa 2；顺时针的力偶，大小为2 qa C.竖直向下的力，大小为qa 2；逆时针的力偶，大小为2 qa D.竖直向下的力，大小为qa 2；顺时针的力偶，大小为2 4.简支梁在力F的作用下平衡时，如图所示，支座B的约束反力为( ) A.F，竖直向上 B.F/2，竖直向上 C.F/2，竖直向下 D.2F，竖直向上 5.简支梁，在如图所示载荷作用下平衡时，固定铰链支座的约束反力为( )
A.P，竖直向上 B.P/3，竖直向上 C.4P/3，竖直向上 D.5P/3，竖直向上 6.外伸梁，在如图所示的力和力偶作用下平衡时，支座B的约束反力为( ) A.F，竖直向上 B.3F/2，竖直向上 C.3F/2，竖直向下 D.2F，竖直向上 7.如图所示的梁，平衡时，支座B的约束反力为( ) A. qa，竖直向上 B. qa，竖直向下 C. qa 2，竖直向上 D. qa 4，竖直向上 8.关于确定截面内力的截面法的适用范围有下列说法，正确的是( )。
A.适用于等截面直杆 B.适用于直杆承受基本变形 C.适用于不论基本变形还是组合变形，但限于直杆的横截面 D.适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况 9.下列结论中正确的是( )。 A.若物体产生位移，则必定同时产生变形 B.若物体各点均无位移，则该物体必定无变形 C.若物体无变形，则必定物体内各点均无位移 D.若物体产生变形，则必定物体内各点均有位移 10.材料力学根据材料的主要性能作如下基本假设，错误的是( )。 A.连续性 B.均匀性 C.各向同性 D.弹性 11.认为固体在其整个几何空间内无间隙地充满了物质，这样的假设称为( ) A.连续性 B.均匀性 C.各向同性 D.小变形 12.如图所示的单元体，虚线表示其受力的变形情况，则单元体的剪应变γ＝( )。 A.α B.2α
材料力学1-(答案)
材料力学 请在以下五组题目中任选一组作答，满分100分。 第一组： 计算题（每小题25分，共100分） 1. 梁的受力情况如下图，材料的a 。 若截面为圆柱形，试设计此圆截面直径。 m kN q /10= 2. 求图示单元体的： （1）图示斜截面上的应力； （2）主方向和主应力，画出主单元体； （3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 60x 解： （1）、斜截面上的正应力和切应力：MPa MPa o 95.34,5.6403030=-=--τσ （2）、主方向及主应力：最大主应力在第一象限中，对应的角度为0067.70=α，则主应力为：MPa MPa 0.71),(0.12131-==σσ （3）、主切应力作用面的法线方向：0/ 2 0/167.115,67.25==αα
主切应力为：/ 2/104.96ααττ-=-=MPa 此两截面上的正应力为：)(0.25/ 2/1MPa ==αασσ，主单元体如图3-2所示。 y x 67.700 33 .19O MPa 0.1211=σMPa 0.713=σ 图3-1 MPa 0.25MPa 4.96MPa 0.250 67.25MPa 0.25MPa 04.96MPa 0.25O 图3-2 3. 图中所示传动轴的转速n=400rpm ，主动轮2输入功率P2=60kW,从动轮1，3，4和5的输出功率分别为P1=18kW,P3=12kW,P4=22kW,P5=8kW 。试绘制该轴的扭矩图。
4. 用积分法求图所示梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁EI均为常数。 第二组： 计算题（每小题25分，共100分） 1. 简支梁受力如图所示。采用普通热轧工字型钢，且已知= 160MPa。试确定工字型钢型号，并按最大切应力准则对梁的强度作全面校核。（已知选工字钢No.32a：W = 69 2.2 cm3，Iz = 11075.5 cm4）
材料力学试题及答案
一、回答下列各题（共4题，每题4分，共16分） 1、已知低碳钢拉伸试件，标距mm l 1000=，直径mm d 10=，拉断后标距的长度变为mm l 1251=，断口处的直 径为mm d 0.61 =，试计算其延伸率和断面收缩率。 答：延伸率%25%100100 100 125%100001=?-=?-= l l l δ 断面收缩率%64%100))(1(%100211=?-=?-= d d A A A δ 2、试画出图示截面弯曲中心的位置。 3、梁弯曲剪应力的计算公式z z QS = τ，若要计算图示矩形截面A 点的剪应力，试计算z S 。 232 3 )84(41bh h h hb S z =+= 4、试定性画出图示截面截面核心的形状（不用计算）。 二、绘制该梁的剪力、弯矩图。（15分） 矩形 圆形 矩形截面中间 挖掉圆形 圆形截面中间 挖掉正方形 4
三、图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于0.20m 的正方形,q=4OKN/m,弹性模量 E 1＝10GPa ；钢拉杆的横截面面积A 2＝250mm 2 ,弹性模量E 2=210GPa 。试求拉杆的伸长l ?及梁中点沿铅垂方向的位移?。（14分） 解：杆受到的拉力kN q F N 402 2== m EA l F l N 00228.010 25010210310406 93=?????==?- 梁中点的挠度： m I E ql A E l F w l N c 00739.012 2 .0101038421040500114.0384521214 94 314122=? ?????+ =+=+?=?四、砖砌烟窗高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受 m kN q /1=的风力作用。试求：（1）烟窗底截面m m -的最大压应力；（2）若烟窗的基础埋深m h 40=， 基础及填土自重按kN P 10002=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？（20分） 注：计算风力时，可略去烟窗直径的变化，把它看成是等截面的。 F s M m kN q /20=kN 20m kN ?160A B C m 10m 2112kN 88kN 20kN 5.6m 40kNm 150.3kNm 160kNm
材料力学讲解作业(2)
1、 轴向拉伸的等直杆，杆内任一点处最大剪应力的方向与轴线成 ___________。 2、 一空心圆截面直杆，其内、外径之比为α=0.8，两端承受轴向拉 力作用，如将内、外径增加一倍，则其抗拉刚度将是原来的________倍。 3、 在减速箱中，转速低的轴的直径比转速高的轴_____________。 4、 若梁上某段内的弯矩值全为零，则该段的剪力值为 _____________。 5、 梁的截面为对称的空心矩形，如图1所示，这时，梁的抗弯截面 模量W 为_______________。 6、 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是____________。 7、 减小梁变形的主要途径有：_______________ 、 __________________ 、_________________。 8、 二向应力状态（已知x σ，y σ ，xy τ）的应力圆圆心的 横坐标值为_____________________，圆的半径为_____________。 9、与图2所示应力圆对应的单元体是____________向应力状态。 图1 图2 10、 将圆截面压杆改成面积相等的圆环截面压杆，其它条件不变，其柔度将 ________，临界应力将________。 工程上通常把延伸率δ>________的材料称为塑性材料。 b b h h 1 2
低碳钢经过冷作硬化处理后，它的_________极限得到了明显的提高。 图1正方形单元体ABCD ，变形后成为AB `C`D`。单元体的剪应变为_________。 简支梁全梁上受均布荷载作用，当跨长增加一倍时，最大剪力增加一倍，最大弯矩增加了_______________倍。 如图2所示截面的抗弯截面模量Wz =_________________。 运用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：___________________________。 已知梁的挠曲线方程为)3(6)(2 x l EI Px x y -= ，则该梁的弯矩方程是______________________。 图1 图2 单向受拉杆，若横截面上的正应力为σ0,则杆内任一点的最大正应力为_______，最大剪应力为____________。 图3应力圆，它对应的单元体属______________________应力状态。 细长杆的临界力与材料的____________________有关， 为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强刚不经济，原因是 _______________________________。 图3 z h b d τ σ
材料力学习题与答案
材料力学习题一 一、计算题 1．（12分）图示水平放置圆截面直角钢杆（2 ABC π = ∠），直径mm 100d =，m l 2=， m N k 1q =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。 2．（12分）悬臂梁受力如图，试作出其剪力图与弯矩图。 3．（10分）图示三角架受力P 作用，杆的截面积为A ，弹性模量为E ，试求杆的力和A 点的铅垂位移Ay δ。 4．（15分）图示结构中CD 为刚性杆，C ，D 处为铰接，AB 与DE 梁的EI 相同，试求E 端约束反力。 5. (15分) 作用于图示矩形截面悬臂木梁上的载荷为：在水平平面P 1=800N ，在垂直平面 P 2=1650N 。木材的许用应力[σ]=10MPa 。若矩形截面h/b=2，试确定其尺寸。
三．填空题 （23分） 1．（4分）设单元体的主应力为321σσσ、、，则单元体只有体积改变而无形状改变的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；单元体只有形状改变而无体积改变的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2．（6分）杆件的基本变形一般有＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿四种；而应变只有＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿两种。 3．（6分）影响实际构件持久极限的因素通常有＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它们分别用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿来加以修正。 4.（5分）平面弯曲的定义为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_。 5.（2分）低碳钢圆截面试件受扭时，沿 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 截面破 坏；铸铁圆截面试件受扭时，沿 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 面破坏。 四、选择题（共2题，9分） 2．（5分）图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。答案：（ ） 材料力学习题二 二、选择题：（每小题3分，共24分） 1、危险截面是______所在的截面。 A.最大面积； B ．最小面积； C ． 最大应力； D ． 最大力。 2、低碳钢整个拉伸过程中，材料只发生弹性变形的应力围是σ不超过______。 A ．σb ； B ．σe ； C ．σp ； D ．σs
材料力学试卷及答案7套
材料力学试卷1 一、绘制该梁的剪力、弯矩图。 （15分） 二、梁的受力如图,截面为T 字型，材料的许用拉应力[+]=40MPa ，许用压应力[-]=100MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度。（20分） m 8m 2m 230 170 30 200 2 m 3m 1m Q M
三、求图示单元体的主应力及其方位，画出主单元体和应力圆。（15分） 四、图示偏心受压柱，已知截面为矩形，荷载的作用位置在A点，试计算截面上的最大压应 力并标出其在截面上的位置，画出截面核心的形状。(15分)
五、结构用低碳钢A 3制成，A 端固定，B 、C 为球型铰支，求：允许荷载[P]。已知：E=205GPa ，s =275MPa ，cr =,，p =90，s =50，强度安全系数n=2，稳定安全系数n st =3，AB 梁为N 016工字钢，I z ＝1130cm 4，W z ＝141cm 3，BC 杆为圆形截面，直径d=60mm 。 （20分） 六、结构如图所示。已知各杆的EI 相同，不考虑剪力和轴力的影响，试求：D 截面的线位移和角位移。
（15分） 材料力学2 一、回答下列各题（共4题，每题4分，共16分） 1、已知低碳钢拉伸试件，标距mm l 1000=，直径mm d 10=，拉断后标距的长度变为mm l 1251=， 断口处的直径为mm d 0.61 =，试计算其延伸率和断面收缩率。 2、试画出图示截面弯曲中心的位置。 3、梁弯曲剪应力的计算公式z z QS = τ，若要计算图示矩形截面A 点的剪应力，试计算z S 。 a a 4/h
材料力学作业习题讲解
第二章 轴向拉伸与压缩 1、试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并做轴力图。 （1） （2） 2、图示拉杆承受轴向拉力F =10kN ，杆的横截面面积A =100mm 2 。如以α表示斜截面与横 截面的夹角，试求当α=10°,30°,45°,60°,90°时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。 3、一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10GPa 。如不计柱的自重，试求： (1)作轴力图； (2)各段柱横截面上的应力； (3)各段柱的纵向线应变； (4)柱的总变形。 4、(1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变d ε,等于直径方向的 线应变d ε。 (2)一根直径为d =10mm 的圆截面杆,在轴向拉力F 作用下,直径减小0.0025mm 。如材料的弹性摸量E =210GPa ，泊松比ν=0.3,试求轴向拉力F 。 (3)空心圆截面钢杆,外直径D =120mm,内直径d =60mm,材料的泊松比ν=0.3。当其受轴向拉伸时, 已知纵向线应变ε=0.001,试求其变形后的壁厚δ。
5、图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的自重不计。试求： (1) 钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律)； (2) 钢丝在C点下降的距离?； (3) 荷载F的值。 6、简易起重设备的计算简图如图所示.一直斜杆AB应用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组 [σ=170MPa。试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度成,钢的许用应力] 条件? 7、一结构受力如图所示,杆件AB,AD均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ=170MPa，试选择杆AB,AD的角钢型号。 ] E
材料力学双语教学学习资料
材料力学双语教学学习资料1 第一章绪论 Chapter 1 Introduction §1-1 材料力学的任务 The Tasks of Mechanics of Materials 1＊. 材料力学: Mechanics of Materials 2. 构件: Structural Members 3. 变形: Deformation 4＊. 强度: Strength 5＊. 刚度: Rigidity 6＊. 稳定性: Stability §1-2 变形固体的基本假设 Fundamental Assumptions of Solid Deformation Bodies 1. 连续性假设: Continuity 2. 均匀性假设: Homogeneity 3. 各向同性假设: Isotropy §1.3 外力及其分类 External Forces and Classification 1. 分布力: Distributed Force 2. 集中力: Point Force 3. 静载荷: Static Load 4. 动载荷: Dynamic Load §1.4 内力、截面法和应力的概念Concepts of Internal Forces，Method of Section and Stress 1＊. 内力: Internal Force 2＊. 截面法: Method of Section 3. 截面法的三个步骤：截开，代替，平衡Three steps of method of section: cut off, substitute , and equilibrium. 4＊. 应力: Stress 5. 平均应力：Average stress 6. 应力（全应力）：Whole stress（sum stress）7＊. 正应力: Normal Stress 8＊. 剪应力(切应力)：Shearing Stress §1.5 变形与应变 Deformation and Strain 1．线应变: Strain 2．剪应变: Shearing Strain §1.6 杆件变形的基本形式 Basic Types of Deformations of Rods 1＊. 拉伸或压缩: Tension or Compression 2＊. 剪切: Shear 3＊. 扭转: Torsion 4＊. 弯曲: Bending 第二章拉伸、压缩与剪切Chapter 2 Tension，Compression and Shear §2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 The Concept and Examples of Axial Tension and Compression 1. 拉杆: Tensile Rod 2. 压杆: Compressive Rod 3. 受力特点：外力合力的作用线与杆轴线重合Characteristic of the External Forces: The acting line of the resultant of external forces is coincided with the axis of the rod. 4. 变形特点：杆沿轴向伸长或缩短Characteristic of Deformation: Rod will elongate or contract along the axis of the rod. §2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的 内力和应力 Internal Force and Stress of Axial Tension or Compression on the Cross Section 1＊. 横截面: Cross Section 2＊. 轴力: Normal Force 3＊. 轴力图: Diagram of Normal Force
最新材料力学答案1
第二章 轴向拉伸和压缩 2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a ）解： ； ； （b ）解： ； ； （c ）解： ； 。 (d) 解： 。 2-2 一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx 2（k 为常数），试作木桩的轴力图。 解：由题意可得： ?0 l Fdx=F,有1/3kl 3=F,k=3F/l 3 F N （x 1）=? 1x 3Fx 2/l 3dx=F(x 1 /l) 3
2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载F=1000KN ，材料的密度ρ=2.35×103kg/m 3，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--= 墩身底面积：)(14.9)114.323(2 2 m A =?+?= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042 -≈-=-== σ 2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为 的竖 直均布荷载。试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。 解： = 1） 求内力 取I-I 分离体
得 （拉） 取节点E 为分离体 ， 故 （拉） 2） 求应力 75×8等边角钢的面积 A =11.5 cm 2 (拉) （拉） 2-5 图示拉杆承受轴向拉力 ，杆的横截面面积 。如以 表示斜截面与横 截面的夹角，试求当 ，30 ，45 ，60 ，90 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图 表示其方向。 解：
《材料力学》考试试卷A、B卷及答案
交通学院期末考试试卷 一、填空题（总分20分，每题2分） 1、杆件在外力作用下，其内部各部分间产生的，称为内力。 2、杆件在轴向拉压时强度条件的表达式是。 3、低碳钢拉伸时，其应力与应变曲线的四个特征阶段为阶段，阶段， 阶段，阶段。 4、线应变指的是的改变，而切应变指的是的改变。 5.梁截面上弯矩正负号规定，当截面上的弯矩使其所在的微段梁凹向下时为。 6.梁必须满足强度和刚度条件。在建筑中，起控制做用的一般是条件。 7、第一和第二强度理论适用于材料，第三和第四强度理论适用于材料。 8、求解组合变形的基本方法是。 9、力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离在较小的范围内受到影响，该原理被称为 页脚内容1
。 10、欧拉公式是用来计算拉（压）杆的，它只适用于杆。 二、单项选择(总分20分，每题2分) 1、用截面法可求出图示轴向拉压杆a-a截面的内力 12 N P P =-，下面说法正确的是（） A. N其实是应力 B. N是拉力 C. N是压力 D. N的作用线与杆件轴线重合 2、构件的强度是指( ) A. 在外力作用下构件抵抗变形的能力 B. 在外力作用下构件保持原有平衡态的能力 C. 在外力作用下构件抵抗破坏的能力 D. 在外力作用下构件保持原有平稳态的能力 3、现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是( ) A. 1杆为钢，2杆为铸铁 B. 1杆为铸铁，2杆为钢 C. 2杆均为钢 D. 2杆均为铸铁 页脚内容2
页脚内容3 4、从拉压杆轴向伸长（缩短）量的计算公式EA Nl l = ?可以看出，E 和A 值越大，l ?越小，故（ ）。 A. E 为杆的抗拉（压）刚度。 B. 乘积EA 表示材料抵抗拉伸（压缩）变形的能力。 C. 乘积EA 为杆的抗拉（压）刚度 D. 以上说法都不正确。 5、空心圆轴的外径为D ，内径为d ，α=d /D 。其抗扭截面系数为（ ）。 A )1(16 3 απ-=D W P B )1(16 23 απ-=D W P C )1(16 3 3 απ-= D W P D )1(16 43 απ-= D W P 6、在没有荷载作用的一段梁上，（ ） A. 剪力图为一水平直线 B.剪力图为一斜直线 C ．没有内力 D.内力不确定 7、在平行移轴公式21Z Z I I a A =+中，其中Z 轴和轴1Z 轴互相平行，则（ ）。 A. Z 轴通过形心 B. 1Z 轴通过形心 C . 都不一定要通过形心 D. a 是Z 轴与1Z 轴之间的距离。所以a>0 8、梁弯曲时，梁的中性层（ ）。 F