2016年高三数学(理)专项训练：专题六 36.基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

考纲要求：基本不等式（掌握） 基础训练

1．（1）已知),,0(,+∞∈b a 若,1=ab 则b a +的最小值为 ；

若,1=+b a 则ab 的最大值为 . （2）若,1>x 则1

1

-+

x x 的最小值为 ． 2．设b a ,为实数，且3=+b a ,则b

a 22+的最小值是 .

3．函数)100()10(<<-=

x x x y 的最大值为 ．

考点梳理：1．如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

如果a ,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 2．利用基本不等式求最值时，要注意条件：一 、二 、三 ，即在x +y ≥2xy 中，x 和y 要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.

3．b

a a

b b a b a 1122

222+≥

≥+≥+

例题精讲

例1： （1）当23

1

x x y -=的最大值．

例2：若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围

例3：已知,0,0>>y x 且,12=+y x 求12

x y

+的最小值．

例4：某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；

（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

巩固练习 1．已知

),0,0(23

2>>=+y x y

x 则xy 的最小值是 ． 2．设1,1>>y x 1,1,x y ??且lg lg 4,x y +=则lg lg x y ?的最大值是 ． 3．=<<-+

=N a a a M ),32(21),)(161

(log 22

1R x x ∈+则N M ,的大小关系为 . 4．已知全集),,0(+∞=U 集合=M ),,(],2

,

(a ab N b

a b =+其中,0>>b a 则N C M U 为 ．

基本不等式及其应用

1．若10,1.<<>b a ，则log log a b b a +的取值范围为 ． 2．已知,1232=+y x 且y x ,均为正数，那么xy 的最大值为 ．

3．设22,22

->x x x 则的最小值是 .

4．

10++x

y

y x 的取值范围为 5．设),0(,+∞∈y x 且,1)(=+-y x xy 则y x +的取值范围是 ．

6．设,,0,x y z ?且230x y z -+=，则2

y xz

的最小值是

7．若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ,求c b a ++2最小值

8．已知c b a ,,是正实数．求证：.2

22c b a c

a b c a b ++≥++

变式：已知c b a ,,是正实数．求证：

.c b a c

ab b ac a bc ++≥++

9．某工厂建造一间地面面积为212m 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元,/2m 房屋侧面的造价为800元,/2m 屋顶的造价为5800元，如果墙高为m 3，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元?

10．设矩形)(BC AB ABCD >的周长为24，把它沿对角线AC 对折，折过去后，AB 交DC 于点P ，

设AB =x 求?ADP 的最大面积以及相应的x 的值．

11．（1）已知x >0，y >0，且1x ＋9

y

＝1，求x ＋y 的最小值；

（2）已知x <54，求函数y ＝4x －2＋1

4x －5

的最大值；

（3）若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．