等差等比数列概念性质

§3.2等差数列和等比数列的概念，性质及其应用

一、复习要求

1、理解等差、等比数列概念，会判断一个数列是否是等差或等比数列。

2、掌握等差、等比数列的通项公式，前n 项公式，并会正确用于解题。

3、掌握等差、等比数列的常用性质，并能用于解题，能灵活应用等差等比中项的性质。

二、考向指导

1、本节内容是高考的热点内容，既有选择、填空题，又有解答题，简单、中等、难题都有。

2、客观题主要考查性质的运用以及对概念公式的掌握，要巧用性质、减少运算量。主观题着重考查本节内容与其他知识的综合。

三、重难点

等差、等比数列的公式、性质、应用

四、知识要点

1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式、判断方法

注：⑴ 等差数列的判断方法：

①定义法：为等差数列常数）}{(1n n n a d a a ?=-+

②中项法：为等差数列）}{2(211n n n n a n a a a ?≥+=-+

③通项法：为等差数列为常数）通项是一次函数}{,(n n a q p q pn a ?+=

④前n 项和公式法：为等差数列为常数项和公式前}{),(:2n n a B A Bn An s n ?+=

特征：二次函数常数项为0

⑵等比数列的判断方法：

①定义法：为等比数列常数）}{(1n n

n a q a a ?=+ ②中项法：为等比数列）且}{02(112n n n n n a a n a a a ?≠≥?=-+

③利用公式特征：n n cq n f a ==)(，特征：常数与指数函数的乘积

,)(k kq n g s n n -==特征：n q 的系数与常数项互为相反数

2．等差数列、等比数列常用的性质：

（1）设p 、q 、m 、n 为正整数，且,n m q p +=+

1°若}{n a 是等差数列，则n m q p a a a a +=+； n q p a a a n q p 2,2=+=+则特别地：若； 2°若}{n a 是等比数列，则;n m q p a a a a ?=? 2

,2n q p a a a n q p =?=+则特别地：若； 特别地： 若}{n a 是等差数列，前n 项和公式可推广： ;2

)(2)(2)(2)(123121+---+==+=+=+=m n m n n n n a a n a a n a a n a a n s 若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a

（2）1°等差数列中“等距离”地抽取的若干项仍成等差数列，即：下标成等差数列的项

m k m k m k k a a a a 32,,,+++仍是等差数列， 公差是

2°等比数列中“等距离”地抽取的若干项仍成等比数列，即：下标成等差数列的项

m k m k m k k a a a a 32,,,+++是等比数列，公比是

（3）“片段和”性质：

1°若}{n a 是等差数列，则k k k k k k k s s s s s s s 34232,,,---仍是等差数列，公差是 ； 2°若}{n a 是等比数列，则k k k k k k k s s s s s s s 34232,,,---仍是等比数列，公比是 °

（4）1°若}{n a 与}{n b 是等差数列，则数列}{},{},{},{n m n m n n qb pa b a q a pa +++仍为等数

列。

2°若}{n a 与}{n b 是等差数列，则数列}1{},{

},{},{n n n n n n a b a b a pa ?仍为等差数列。 注：（1）设项技巧：

1°三个数成等差数列，可设：a-d ，a ，a+d ，四个数成等差数列，可设：a-3d ，a-d ，a+d ，a+3d ；

2°三个数成等比数列，可设：a q ，a ，aq 。四个数成等比数列可设：a q 3 ，a q

，aq ，aq 3。 (2) 1°若}{n a 是等差数列，d>0时, {a n }是递增数列;d<0时, {a n }是递减数列;d=0时, {a n }是常数列. 2°若}{n a 是等比数列，当q>1,a 1>0或0

当q>1,a 1<0或00时{a n }是递减数列;

当q=1时{a n }是常数列.

当q<0时{a n }是摆动数列

（3）在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：可利用通项n a 或前n 项和公式n s