三垛中学18年上学期期末模拟1

三垛中学高三数学上学期期末模拟试卷一

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=．

2．设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为．

3．某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．

4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，

则输出的y的值为．

5．若直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB

的长度等于．

6．已知A，B∈{﹣3，﹣1，1，2}且A≠B，则直线Ax+By+1=0

的斜率小于0的概率为．

7．若实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值为．

8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm），侧面积为8（单位：cm2），则它的体积为（单位：cm3）．

9．已知抛物线y2=16x的焦点恰好是双曲线﹣=1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．

10．已知cos（+α）=（0＜α＜），则sin（π+α）=．

11．已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，则f（0）=．

12．在正项等比数列{a n}中，若a4+a3﹣2a2﹣2a1=6，则a5+a6的最小值为．

13．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q

满足=+，则||的最小值是．

14．已知一个长方体的表面积为48（单位：cm2），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是（单位：cm3）．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．在△ABC中，AB=6，AC=3，?=﹣18．

（1）求BC的长；

（2）求tan2B的值．

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．

17．如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点

N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．

（1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan≈3）

（2）求S的最小值．

18．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设=λ．

（1）若点P（﹣3，0），点Q（﹣4，﹣1），求椭圆C的方程；

（2）若λ=3，求椭圆C的离心率e的取值范围．

19．已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，

a n+1﹣a n=2（

b n+1﹣b n）恒成立．

（1）若A n=n2，b1=2，求B n；

（2）若对任意n∈N*，都有a n=B n及+++…+＜成立，求正实数b1的取值范围；

（3）若a1=2，b n=2n，是否存在两个互不相等的整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由．

20．已知函数f（x）=g（x）?h（x），其中函数g（x）=e x，h（x）=x2+ax+a．

（1）求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；

（2）当0＜a＜2时，求函数f（x）在x∈[﹣2a，a]上的最大值；

（3）当a=0时，对于给定的正整数k，问函数F（x）=e?f（x）﹣2k（lnx+1）是否有零点？

请说明理由．（参考数据e≈2.718，≈1.649，e≈4.482，ln2≈0.693）

理科附加题

20．已知a，b∈R，若点M（1，2）在矩阵A=对应的变换作用下得到点N（2，﹣7），求矩阵A的特征值．

21．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以直

角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标．

23．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．

（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

24．已知F n（x）=（﹣1）0C n0f0（x）+（﹣1）1C n1f i（x）+…+（﹣1）n C n n f n（x），（n∈N*）（x＞0），其中，f i（x）（i∈{0，1，2，…，n}）是关于x的函数．

（1）若f i（x）=x i（i∈N），求关于F2（1），F2017（2）的值；

（2）若f i（x）=（i∈N），求证：F n（x）=（n∈N*）．

三垛中学高三数学上学期期末模拟试卷一（答案）一、填空题

1．{﹣1，0}．2．0．3．200．4．﹣15．5．2．

6．．7．8．8．．9．y=±x．10．．

11．．12．48．13．14．[16，20]．

二、解答题

15．解：（1）由?=﹣18可得AB?AC?cosA=﹣18，

∵AB=6，AC=3∴cosA==﹣，

∵0＜A＜π，∴A=

由余弦定理可得：BC==；

（2）方法1：

由（1）可得：a=3，b=3，c=6，

可得：cosB==

那么sinB=∴tanB=

故得tan2B==．

方法2：

由（1）可得：cosA=﹣，A=那么：

∵a=3，b=3，c=6，那么sinA=

正弦定理可得：，可得sinB==，

那么：cosB=∴tanB=

故得tan2B==．

16．解：（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以CD∥EF．因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD．可得：AB∥EF，

又因为EF?平面PAB，AB?平面PAB，所以EF∥平面PAB．…

（2）证明：在矩形ABCD中，CD⊥AD．

又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以CD⊥平面PAD．

又AF?平面PAD，所以CD⊥AF．

由（1）可知AB∥EF，

又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．

又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…

17．解：（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM=，∠PME=，

由正弦定理可得PM==，

同理，在△PNE中，PN=，

∴S△PMN===，

M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ=，

∴0≤θ≤，

综上所述，S△PMN=，0≤θ≤；

（2）当2θ+=即时，S取得最小值=8（﹣1）平方米．18．解：（1）由P（﹣3，0）在圆O：x2+y2=b2上，可得b=3．

又点Q在椭圆C上，得，解得a2=18．

∴椭圆C的方程为；

（2）联立，得x=0或x P=，

联立，得x=0或x Q=．

∵=λ，λ=3，∴，

∴，即．

∵k2＞0，∴4e2＞1，得e，或．

又0＜e＜1，∴．

19．解：（1）∵A n=n2，∴a1=1，n≥2时，a n=A n﹣A n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1时也成立，∴a n=2n﹣1．

∵对任意n∈N*，a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）恒成立．

∴b n+1﹣b n=（a n+1﹣a n）=1．b1=2，

∴数列{b n}是等差数列，公差为1，首项为2，

∴B n=2n+=+n．

（2）B n+1﹣B n=a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=b n+1，可得b n+1=2b n，∴数列{b n}是等比数列，公比

为2．∴b n=，a n=B n==b1（2n﹣1）．

∴==，∴++

+…+=+…+

=＜成立，

∴b1＞，∴b1≥3．

（3）由a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2n+1．∴n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

=2n+2n﹣1+…+22+2==2n+1﹣2．当n=1时也成立．

∴A n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．

又B n==2n+1﹣2．∴==2﹣．

假设存在两个互不相等的整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列．

等价于，，成等差数列，∴2×=1+＞1，

∴2×＞1，即2s＜2s+1，

令h（s）=2s﹣2s﹣1，则h（s+1）﹣h（s）=2s+1﹣2（s+1）﹣1﹣（2s﹣2s﹣1）=2s﹣2＞0，∴h（s）单调递增，若s≥3，则h（s）≥h（3）=1＞0，不满足条件，舍去．

∴s=2，代入得：=1+，可得2t﹣3t﹣1=0（t≥3）．

t=3时不满足条件，舍去．

t≥4时，令u（t）=2t﹣3t﹣1=0（t≥4），同理可得函数u（t）单调递增，∴u（t）≥u（4）=3＞0，不满足条件．

综上可得：不存在两个互不相等的整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列．

20．解：（1）∵g（x）=e x，∴g′（x）=e x，∴g′（1）=e，

∴函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程为y﹣e=e（x﹣1），即y=ex；

（2）f（x）=e x（x2+ax+a），f′（x）=（x+2）（x+a）e x=0，可得x=﹣a或x=﹣2．

①﹣2a≥﹣2，即0＜a≤1时，f（x）在[﹣2a，﹣a]上递减，在[﹣a，a]上递增，

∴f（x）max=f（a）；

②﹣2a＜﹣2，即1＜a＜2时，f（x）在[﹣2a，﹣2]上递增，[﹣2，﹣a】递减，在[﹣a，

a]上递增，∴f（x）max=max{f（﹣2），f（a）}=f（a）；

综上所述，f（x）max=f（a）=（2a2+a）e a；

（3）k=1，函数F（x）=e?f（x）﹣2k（lnx+1）无零点，

k≥2，函数F（x）=e?f（x）﹣2k（lnx+1）有零点．

理由如下：

k=1时，证明ex2e x﹣2lnx﹣2＞0即可，即证明e?＞．

令p（x）=e?，q（x）=，

而p′（x）=，令p′（x）＞0，解得：x＞1，令p′（x）＜0，解得：x＜1，∴p（x）min=p（1）=e2，

q′（x）=，

令q′（x）＞0，解得：0＜x＜，令q′（x）＜0，解得：x＞，

故q（x）max=q（）=e2，∴e?＞，故命题得证．

21．解：由题意得=，∴，∴a=4，b=1，

∴A=，

∴矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣5），

由f（λ）=0，可得λ=3或5．

22．解：直线l的极坐标方程为θ=，直角坐标方程为y=x，曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为y=2﹣x2（﹣1≤x≤1），

联立方程可得x2+x﹣2=0，∴x=1或x=﹣2（舍去），

∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为（1，1）．

23．解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A43，

∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1==

（Ⅱ）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．

P（X=0）==；P（X=1）==；

P（X=2）==；P（X=3）==．

∴期望Eξ=0×+1×++3×=．

24．解：（1）∵f i（x）=x i（i∈N），

∴F n（x）=（﹣1）0C n0x0+（﹣1）1C n1x1+…+（﹣1）n C n n x n=（1﹣x）n，

∴F2（1）=（1﹣1）2=0，F2017（2）=（1﹣2）2017=﹣1．

证明：（2）∵f i（x）=（i∈N），

∴F n（x）=（﹣1）0C n0f0（x）+（﹣1）1C n1f i（x）+…+（﹣1）n C n n f n（x）=，

①当n=1时，F n（x）==1﹣=，∴n=1时，结论成立；

②假设n=k时，结论成立，即F k（x）==，

则当n=k+1时，F k+1（x）==1++（﹣1）

=+

==

==

==﹣

==，

∴n=k+1时，结论也成立．结合①②知F n（x）=（n∈N*）．