对数及对数函数的图像与性质(教师版)
第一课时 对数及其运算
【知识要点】 1.对数的定义：
如果N a b
=（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log 2.指数式与对数式的关系：b N N a a b =?=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）log 10a =；log 1a a =；log a N
a
N =；log b a a b =；
（2）()log log log a a a MN M N =+（3）log log log a
a a M
M N N =- （4）()log log n a a M n M n R =∈（5
）1
log log a
a M n
=
（6）换底公式()log log 0,1,0,0,1log c a c b
b a a b
c c a
=
>≠>>≠ 换底公式推论：（1）
1
log log a c c a
=；（2）log log log 1a b c b c a ??=；（3）
log log m n a a n b b m = 【典题精讲】
题型一 对数的化简、求值 1.b N N a a b =?=log ． 2．注意对数恒等式log a
N a N
＝，对数换底公式log log log b a b N
N a
=
及等式
m n a a a 1
log b log b,log b b n m log a
=
?=
在解题中的灵活应用． 【例1】(1)若23=x
，则x = 465=???
??x
，求=x
(2)设3643==b
a ，则=+
b a 12__________；
(3)计算：2
2)2(lg 20lg 5lg 8lg 3
25lg +?++
解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1
log 363
，b
＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1
b
＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.
(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.
【变式1】已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ A ）
A ．2a -
B ．52a -
C ．23(1)a a -+
D ． 2
3a a -
【变式2】若=-=-3
3)2
lg()2lg(,lg lg y x a y x 则（ A ）
A ．a 3
B ．
a 2
3 C ．23-a D ．a
【变式3】（1）计算=-+2
3
lg 53lg 25lg __________. 答案：1
（2）计算：=+?+20lg 5lg 2lg 5lg 2
__________. 答案：2
【例2
()lg1000lg10
41lg10lg102
-==-?-； 【变式1
】 ） A.
1
2
B.1
C.10
D.100 【答案】B
【解析】由1==，故选B. 【变式2】已知,lg ,24a x a
==则x =________.
【解析】由42a
=得12a =
，所以1
lg 2
x =
，解得x
【变式3】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m ＝_________.
【解析】因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，
所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10．
【变式4】(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________
（2）若__________
3log ,2log
123
==则a （3）若2log 2,log 3,m n a a m n a +===___________
答案：(1)64 (2)
1
1+a (3) 12
【变式5】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求3
2
log x
y
的值. 【解析】2009223,230(423)
x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >??>?
+=-∴∴=?->??-? （），＝或1x y =（舍去）
， 3
32
29
log log 24
x y ==. 题型二对数换底公式的应用
【例2】 设+
∈R z y x ,,，且z
y
x
643==.
（1） 求证：
y
x z 2111=-； （2）比较z y x 6,4,3的大小。
【变式6】已知,518,9log 18==b
a 求45log 36。
【课堂练习】 1．若x x
31093
2?=+，那么12+x 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D ．1或5 2．如果方程lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α、β，则α·β的值是（ ）
A ．lg7·lg5
B ．lg35
C ．35
D ．
35
1
3．=++-31
21
)64
27()5(lg )972(___________, =-2lg 9lg 2
1
100_________________ . 4．__________50lg 2lg 5lg 2=?+；=+-)223(log )
12(_____________.
5．________,2log 6log 3
1
log ________,32log 635
64==??=x x 则若. 若__________3log ,2log 123==则a 。
6．的值为则且已知a b a b b a b a b a log log ,
310
log log ,1-=+>>_________.
7．求值或化简： （1）142log 2
1
12log 487log 222--+；
（2）15
36lg 27lg 321240lg 9lg 21
1++--+.
8．若14log 3=x ，求x
x x
x --++222233的值。
第二课时 对数函数的图像与性质
【知识要点】
1．对数函数的概念：
一般地，函数)10(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
),0(+∞。
3．反函数
指数函数x
a y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称．
【典题精讲】
题型一对数型函数过定点
【例1】（1）函数2log (x 1)2y =+- 的图像恒过点_______
答案： )2,0(-
（2）已知函数)10)((log )(≠>+=a a b x x f a 且的图像过两点)0,1(-和)1,0(，则
a ＝________，
b ＝________.
答案 2 2
解析 f (x )的图像过两点(－1,0)和(0,1)．
则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，
∴????? b －1＝1b ＝a ，即?
????
b ＝2a ＝2. 【变式1】函数()11log --=x y a 的图像恒过点_______. 答案： )1,2(-
题型二对数型函数的图像
【例2】已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象可能为( )
答案： 由图象可知0
【变式1】已知f (x )＝a x －
2，g (x )＝log a |x |(a >0，a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的图象大致是( )
答案： B
解析 ∵f (4)＝a 2>0，f (4)·g (－4)<0， ∴g (－4)<0，∴log a 4<0，∴0 ∴f (x )为减函数，g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故选B. 【变式2】已知c 1：y ＝log a x ，c 2：y ＝log b x ，c 3：y ＝log c x 的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y ＝a x 、y ＝b x 、y ＝c x 的图象依次为图中的曲线__________． 答案： c a b <<<<10321,,m m m 题型三对数型函数的定义域及值域 【例3】函数256 ()lg 3 x x f x x -+=+-的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4] C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]- 【答案】C . 【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件： 256 4||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4] ， 故应选C . 【变式1】函数y C ） A.3(,)4+∞ B.3(,)4 -∞ C.3(,1]4 D.3(,1)4 【例4】已知)14(log )(4-=x x f ． (1)求)(x f 的定义域；(2)讨论)(x f 的单调性；(3)求)(x f 在区间]2,2 1[上的值域． 解 (1)由4x －1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0 (3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (1 2)＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在[1 2 ，2]上的值域为[0，log 415]． 【变式2】函数1 2 log )(2 2 +=x x f 的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(0,1] C ．(－∞，1] D ．(－∞，1) 答案 因为2x 2＋1≤2，所以log 22 x 2＋1 ≤log 22＝1，即f (x )≤1，故选C. 【变式3】函数x x y 222log )1(log -+=的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：y ＝log 2(x 2 ＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x ＝log 2(x ＋1x )≥log 22＝1(x >0)． 【变式4】函数|log |)(3x x f =在区间],[b a 上的值域为]1,0[，则a b -的最小值为________． 解析：如图所示为f (x )＝|log 3x |的图象，当f (x )＝0时，x ＝1，当f (x )＝1时， x ＝3或13，故要使值域为[0,1]，则定义域为[13，3]或[1 3，1]或[1,3]，所以b －a 的 最小值为23.答案：2 3 【变式5】已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()(2 2x f x f y +=的最大值是( ) A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 答案 A 解析：y ＝[f (x )]2＋f (x 2 )的定义域为??? 1≤x ≤91≤x 2≤9 ，即x ∈[1,3]．若令t ＝log 3x ，则t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y 取得最大值13，故选A. 题型四对数型函数的单调性应用 【例5】比较下列各组数中两个值的大小： （1）5.8log ,4.3log 22； （2）7.2log ,8.1log 3.03.0；（3）) 1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 【变式1】设,,log ,log 22 12-===πππc b a 则（ ） A.c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >> 【答案】C. 【解析】因为222112 2 log log 21,log log 10,(0,1),a b c πππ-=>==<==∈所以b c a >>，选C. 【例6】设0 的是( B ) ①2x <2y ②22()()33 x y <③log x 2 log y A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④ 【变式2】（1）已知3 12 -=a ，31log 2 =b ，3 1 log 21=c ，则c b a ,,大小关系是（填序号）① c b a >>；②b c a >>；③b a c >>；④a b c >>. 答案 ③ 【例7】设)12 lg( )(a x x f +-=是奇函数，则使0)( 解析： ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋1 1－x ＜1，∴－1＜x ＜0.答案 A 【例8】 函数)32(log )(22 1--=x x x f 的单调递增区间是__________． 答案 (－∞，－1) 解析 设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 1 2t . 由t >0解得x <－1或x >3， 故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 又t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，1)上为减函数， 在(1，＋∞)上为增函数． 而函数y ＝log 1 2 t 为关于t 的减函数， 所以，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)． 【变式3】函数213 log (43)y x x =-+的单调递增区间为( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(0，＋∞) 易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误． 正确解析：令243u x x =-+，原函数可以看作13 log y u =与2 43u x x =-+的复合函数． 令2 430u x x =-+>，则1x <或3x >. ∴函数213 log (43)y x x =-+的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ． 又2 43u x x =-+的图象的对称轴为2x =，且开口向上， ∴2 43u x x =-+在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 而函数13 log y u =在(0，＋∞)上是减函数， ∴213 log (43)y x x =-+的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 题型五 求参数的取值范围 【例9】已知()()()34,1 log ,1 a a x a x f x x x -- ≥??是，上的增函数，那么a 的取值范围是 A.()1,+∞ B.(),3-∞ C.()1,3 D.3 ,35?????? 【答案】C 【解析】由题设301 340a a a a ->?? >??--≤? 13a ?<<，故选C. 【变式1】已知函数若关于的方程有两个不等的实根， 则实数的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】在(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，值域为(0,1]，在(0,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，值域是(,)-∞+∞，因此方程()f x k =有两个不等实根，则有(0,1]k ∈. 【变式2】函数)3(log )(-=ax x f a 在]3,1[上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．),1(+∞ B ．)1,0( C ．)3 1 ,0( D ．),3(+∞ 答案 D 解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 【变式3】已知)3(log )(2 2 1a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是减函数，则实数a 的取值范围 是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．(－4,4] D ．[－4,4] 12 log , 0,()2, 0,x x x f x x >??=??≤?x ()f x k =k (0,)+∞(,1)-∞(1,)+∞(0,1] 答案 ∵y ＝x 2 －ax ＋3a ＝(x －a 2)2＋3a －a 24在[a 2，＋∞)上单调递增，故a 2 ≤2?a ≤4， 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，g (x )min ＝g (2)＝22 －2a ＋3a >0?a >－4，故选C.答案 C 【课堂练习】 1．若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（） A.2-≤m B.2-≥m C.1-≤m D.1-≥m 2．如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关 系为（ ） A.d c b a <<<<1 B.c d a b <<<<1 C.d c b a <<<<1 D.c d b a <<<<1 3．若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是（ ） A.)1,0( B.)21,0( C.)1,2 1( D.),1(+∞ 4．已知7.01.17.01.1,8.0log , 8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（） A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b << 5．已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若（） A ． 21 B ．－2 1 C ．2 D ．－2 6．（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______； （2）3 1 2-=x y 的值域为_________； （3）)lg(2 x x y +-= 的递增区间为___________，值域为___________. 7．（1）04 1 log 2 12≤-x ，则________∈x . （2）函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a . 8．)(x f 为奇函数且0>x 时，x x f 10)(=，当0≤x 时，解析式为. 9．函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上最大值比最小值大 2 a ，则_________=a . 10．已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 《对数函数及其性质》 学校：广西师范大学院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节 针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的 规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 （一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一)指数与指数函数 １．根式 （１）根式的概念 (2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂：0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算. (２）有理数指数幂的性质 ①a r ａs =a r+ｓ (ａ>0，ｒ、ｓ∈Q ）; ②（a r )s =a rs （a 〉0,r 、s ∈Q )； ③（a ｂ）r ＝a r ｂs (ａ>0,b ＞0，r ∈Ｑ）；。 n 为奇数 n 为偶数 3．指数函数的图象与性质 y=a x a〉1 0 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号: 11gz2sx012619 学员编号：gzlfx677 年 级：高一 课时数及课时进度：3 （24/30） 学员姓名：耿开睿 辅导科目：数学 学科教师：彭文俊 学科组长/带头人签名及日期 课 题 对数和对数函数的图像和性质 授课时间：2012-1-1 备课时间： 2011-12-28 教学目标 1.知识目标： 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。 2.能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力，发展学生探究和解决问题的能力，并 渗透数形结合、分类讨论等数学思想，提高学生的应用意识和创新能力。 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想． 3.情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣，对学生进行对称美、抽象美等 重点、难点 理解对数函数的定义，掌握对数函数图像和性质 考点及考试要求 由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质 教学内容 知识点一 对数与对数函数 知识点二 对数函数的定义 注意点：①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ②以无理数)71828 .2( e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ③真数N 为正数（负数和零无对数） ④01log =a ；1log =a a ⑤对数运算时，尽量转化为同底对数 ⑥()()M N M N M N a a a a log log log log +=?≠+ 知识点三 指数函数与对数函数的性质与图像 指数函数 ()0,1x y a a a =>≠ 对数数函数 ()log 0,1a y x a a =>≠ 定义域 x R ∈ ()0,x ∈+∞ 值域 ()0,y ∈+∞ y R ∈ 图象 性质 过定点(0,1) 过定点(1,0) 减函数 增函数 减函数 增函数 (,0)(1,)(0,)(0,1)x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时， (,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时， (0,1)(0,) (1,)(,0) x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时， (0,1)(,0)(1,)(0,) x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时， a b < a b > a b < a b > 二、例题精讲 例1 设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2 2 011)＝ ________. 《对数函数》说课稿 各位老师，大家好： 今天我说课的题目是《对数函数》.对于这个课题，下面我主要从以下两大方面进行说明. 一、教材分析与教法设计 教材的内容与地位 《对数函数》是人教B版必修1第三章内容.主要学习（1）对数函数的定义（2）对数函数的图象与性质（3）利用对数函数图像与性质进行初步应用. 对数函数是继一次函数、二次函数、指数函数后所要研究的又一重要的基本初等函数，它在实际生活中有广泛的应用,所以学习对数函数既是对前面所学函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为学习其他函数奠定良好的基础，起着承上启下的作用. 学情分析 在学习本节课前，学生学过指对互化原理，已经树立了相互联系相互转化的观点.而经过对一、二次函数、指数函数研究后，学生对函数研究思路有了更加理性的思维.但是对数是一个新出现的代数形式，学生在对数的四则运算方面掌握的并不好. 教学目标的确定及依据 按照《课程标准》的要求（通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系；初步理解对数函数的概念，能借体会对数函数是一类重要的函数模型；助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。），根据上述教材内容与地位的分析，考虑到学生的学情，我制定如下教学目标： 1、能够准确说出对数函数的定义;通过探究例1会利用对数函数定义求相关函数的定义域； 2、会画出具体的对数函数图像; 3、通过观察对数函数的图像，利用数形结合的思想方法，运用自主探究、小组合作方式归纳出对数函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、定点等）; 4、通过探究例2学会利用对数函数的单调性判断大小.（已知真数大小，比较两个对数值大小；已知对数值大小，比较真数大小；已知对数值、真数大小判定底数范围。）获得灵活运用知识的能力. 教学重点与难点 对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾： 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其 图象关于直线x y =对称 二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __； 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ，则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a 5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ） （A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m 6．函数x x f a )1(2log )(-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 7．若13 2 log >a ，则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 9．方程lgx -x ＋1＝0的实数解有______个． 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ，值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(| 第一课时 对数及其运算 【知识要点】 1.对数的定义： 如果N a b =（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log 2.指数式与对数式的关系：b N N a a b =?=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、 b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. 3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1） log 10a =； log 1a a =； log a N a N =； log b a a b =； （2）()log log log a a a MN M N =+ （3）log log log a a a M M N N =- （4）()log log n a a M n M n R =∈ （5 ）1log log a a M n = （6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c b b a a b c c a =>≠>>≠ 换底公式推论：（1）1log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ??=；（3）log log m n a a n b b m = 【典题精讲】 题型一 对数的化简、求值 1.b N N a a b =?=log ． 2．注意对数恒等式log a N a N ＝，对数换底公式log log log b a b N N a =及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a =?=在解题中的灵活应用． 【例1】(1) 若23=x ，则x = 465=??? ??x ，求=x (2)设3643==b a ，则=+b a 12__________； (3)计算：22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3 25lg +?++ 解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1log 363 ，b ＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. (3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 【变式1】已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ A ） A ．2a - B ．52a - C ．2 3(1)a a -+ D ． 23a a - 【变式2】若=-=-33)2 lg()2lg(,lg lg y x a y x 则（ A ） A ．a 3 B ．a 23 C ．23-a D ．a 【变式3】（1）计算=-+2 3lg 53lg 25lg __________. 答案：1 （2）计算：=+?+20lg 5lg 2lg 5lg 2 __________. 答案：2 【例2 ()lg1000lg1041lg10lg102 -==-?-； 【变式1 】lg 的值是（ ） 《对数函数及其性质》人教A版第二章第2.2.2节 学校：广西师大学 院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点 大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ， 43，35，110 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A 43，35，110 B ，43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1 的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； 5.3对数函数的图像和性质 【教学目标】 1．知识与技能 ①了解对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法 通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数图像性质；让学生通过观察对数函数的图象，归纳出对数函数的性质，利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小的题型。 3．情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想、分类讨论归纳的数学思想方法以及分析推理的能力； ②培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯，培养学生严谨的科学态度. 【教学重点】 理解对数函数的图象和性质，对数函数图像性质的应用. 【教学难点】 底数a对图象的影响及对数函数性质的应用. 【教学方法】 先学后教，当堂训练 【学习方法】 自主探究，合作交流 【课时】 1课时 【教学用具】三角板，多媒体 【教学过程】 一、复习回顾 1. 对数函数概念； 2. y=log2x以及y=log0.5x函数图像及其性质。 二、自主探究，合作交流 1.检查学生课前准备情况，是否已作出两组对数函数的图像。 2.观察对数函数y=log2x，y=log3x，y=log5x图像有什么异同， 类比归纳底数a﹥1时对数函数图像形状及性质； 3.观察y=log 0.2x ，y=log 0.3x ，y=log 0.5x 图像有什么异同，类比归纳底数0﹤a ﹤1时对数函数图像及性质。 4.学生合作交流，探究归纳出对数函数图像及性质： 师给予强调补充和评价。 三、 例题讲解，及时训练。 1.例1:求下列函数的定义域: (1) y=log a x 2 (2) y=log a (4-x) （师规范格式讲一题，另一学生板演，学生纠错） 基础训练1:求下列函数的定义域: （1） y=log 5 （2）y=log 5(1-x) （学生板演，学生评价） 2.例2 比较下列各题中两个数的大小： ⑴ log 2 3.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 （师讲解一题，学生思考另一题，板演） 探讨：如何比较log a 3.1 与 log a 5.9 的大小( 其中a ＞0 , a ≠1 )？ 基础训练2:比较下列各题中两个数的大小: ⑴ lg6 lg8 ⑵ log 0.56 log 0.54 1 21 x 指数函数与对数函数 知识点一：对数函数与指数函数的图像与性质 知识点二：对数函数与指数函数的基本运算 指数函数： (1)_______(0,,)r s a a a r s R ?=>∈ (2)_______(0,, r s a a a r s R ÷= >∈ () (3)_______(0,,)s r a a r s R =>∈ ()(4)________(,0, ) r a b a b r R = >∈ 对数函数：恒等式：N a N a =log ；b a b a =log ①M a (log ·=)N ___________________ _②=N M a log __________________________ ③log n a M =_________________________． a b b c c a l o g l o g l o g = (4)几个小结论：①log _____n n a b = ；②log ______a =；③log _______n m a b = ④log log ____a b b a ?= l o g 1 ____;l o g _ a a a ==. 图象 性质 例题1： 1求函数y =122)2 1(++-x x 的定义域、值域、单调区间. 2求函数y = log 2 (x 2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间. 3函数) 3(2 1 2log a ax x y +-=在区间),2[+∞上是减函数，求实数a 的取值范围。 4设0≤x ≤2，求函数y =122 4212 x x a a --?++的最大值和最小值． 练习2： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 6、计算()()22 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 2.2.2对数函数图像及其性质 （一） 湖北省大悟县楚才高中尹维坚 整体设计 教材分析： 1、本节内容是人教版高中数学（必修一）中对数函数及其性质，对数函数及其相关知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。 2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的，是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。 3、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础。 4、学生容易忽视函数的定义域，在进行对数函数定义教学时要结合指数式强调对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为（0， ）的理解。在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质是本节课的教学重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响是教学的一个难点，教学时要充分利用多媒体技术，数形结合，帮助学生理解。 教学目标： （一）知识与能力 1、理解对数函数的概念； 2、掌握对数函数的图象、性质及简单应用。 3、培养学生数形结合的意识 （二）过程与方法 运用现代教育技术充分提高学生的学习数学的兴趣，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的以及与科技发展相适应。 （三）情感态度与价值观 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点、难点 1、重点： （1）对数函数的定义、图象和性质； （2）对数函数性质的初步应用. 2、难点：底数a对图象的影响 教学方法 通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.归纳探究对数函数的性质。 教学媒体 电子白板、几何画板、PPT多媒体课件演示 《对数函数图像与性质》说课稿 《对数函数图像与性质》说课稿 《对数函数的图像与性质》说课稿 今天我说课的内容是《对数函数的图像与性质》 一、说教材 1、教材的地位和作用 函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数在生产、生活实践中都有许多应用．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识． 2、教学目标的确定及依据 根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标： (1)知识目标：掌握对数函数的图像与性质；初步学会用 对数函数的性质解决简单的问题． (2)能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力． (3)情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流，培养学生严谨的科学态度，欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性．3、教学重点与难点 重点：对数函数的图像与性质． 难点：对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化． 二、说教法 学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法．根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面： 1、教学方法： (1)启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳； (2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法； (3)渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法． (4)用探究性教学、提问式教学和分层教学 2、教学手段： 计算机多媒体辅助教学． 三、说学法 “授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身．本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： (1)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质。 (2)主动式学习：学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。 四、说教程 1、温故知新 我通过复习y＝log2x和y＝log0.5x的图像，让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。 设计意图：这与本节内容有密切关系，有利于引出新课．为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力． 2、探求新知 研究对数函数的图像与性质．关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的图像分析归纳，引导学生填写表格(该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质)，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质． 在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质,做到“心中有图”．另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体 专题9 对数函数的图像与性质 考点1 对数函数的概念 1．函数()() 2 5log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ?? ??? 等于( ) A ．3 B ． 3- C ．3log 6- D ．3log 8- 2．下列函数是对数函数的是（ ） A ．log (2)a y x = B ．2log 2x y = C ．2log 1y x =+ D ．lg y x = 考点2 对数函数的定义域与值域 3．函数( )x y lg 42=-的定义域是( ) A ．()2,4 B ．()2,∞+ C ．()0,2 D ．(),2∞- 4．函数1log 82x x y 的定义域是（ ） A ．()1,3- B ．()0,30 C ．()3,1- D ．()()1,00,3- 5．函数y = ） A ．3,4? ?-∞ ??? B ．3,14?? ??? C ．(,1]-∞ D ．3,14?? ??? 6．已知集合}{ 13≤<-=x x A ，集合( ){ }2 |lg 2B x y x ==-，则A B =（ ） A ．[ B ．( C ．[- D ．(- 7．下列函数中，与函数y =( ) A ．()ln f x x = B ．()1f x x = C ．()||f x x = D ．() x f x e = 考点3 反函数 8.函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数________. 9．函数1()2x f x +=的反函数______ 考点4 对数函数的图像 10．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( ) A ． B ． C ． D ． 11．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 13．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（ ） 课时作业20 对数函数的图象与性质 时间：45分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．设函数f (x )＝????? 1＋log 2(2－x )，x <1， 2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝ ( C ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解析：由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C. 2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象过定点( B ) A ．(0，2 3) B ．(1,0) C ．(0,1) D ．(2 3，0) 解析：根据对数函数过定点(1,0)，令3x －2＝1，得x ＝1，∴过定点(1,0)． 3．函数f (x )＝log 2(x 2＋8)的值域为( C ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 解析：设t ＝x 2＋8，则t ≥8，又函数y ＝log 2t 在(0，＋∞)上为增函 数，所以f (x )≥log 28＝3.故选C. 4．已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是( C ) A．m>0,0 6．函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C ) 解析：由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2. 所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足． 二、填空题 7．函数f (x )＝1－2log 5x 的定义域为(0，5]． 解析：由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤1 2，故0 4．4 对数函数 【教学目标】 知识目标： ⑴ 了解对数函数的图像及性质特征； ⑵ 了解对数函数的实际应用. 能力目标： ⑴ 观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养观察能力； ⑵ 通过应用实例的介绍，分层培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力. 【教学重点】 对数函数的图像及性质. 【教学难点】 对数函数的应用中实际问题的题意分析． 【教学设计】 ⑴ 实例引入知识，提升学生的求知欲； ⑵ “描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质； ⑶ 知识的巩固与练习，培养学生的思维能力； ⑷ 实际问题的解决，分层培养学生分析与解决问题能力； ⑸ 分小组的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神. 【教学备品】 教学课件． 【教学过程】 一般地，形如log a y x =的函数叫以a 为底的对数函数，其中a >0且a ≠1．对数函数的定义域为(0,)+∞+R ，值域为R ． 例如3log y x =、lg y x =、12 log y x =都是对数函数． 利用“描点法”作函数2log y x =和12 log y x =的图像． 函数的定义域为(0,)+∞，取x 的一些值,列表如下： 函数2log y x =以表中x 的值与对应的值y 为坐 标，描出点 (,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到函数2log y x =的图像；以表4-6中x 的值与函数 12 log y x =对应的值y 为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到函数12 log y x =的图像， 如下图所示： 观察函数图像发现： 1．函数2log y x =和12 log y x =的图像都在x 轴的右边； 2．图像都经过点()1,0； 3．函数2log y x =的图像自左至右呈上升趋势；函数12 log y x =的图像自左至右呈下降趋势． *动脑思考 探索新知 一般地，对数函数log a y x =( a >0且a ≠1)具有下列性质： （1）函数的定义域是(0,)+∞，值域为R ； （2）当1x =时，函数值0y =； （3）当a >1时，函数在(0,)+∞内是增函数；当0对数函数图像及其性质
指数函数对数函数幂函数的图像与性质 (2)
对数和对数函数的图像和性质
对数函数的图像与性质说课稿
对数函数的图像与性质知识点与习题
对数及对数函数的图像与性质(教师版)
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对数函数图象及其性质知识点及例题解析
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指数对数函数图像与性质(含答案)
对数函数的图像及性质
《对数函数图像与性质》说课稿
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对数函数的图象与性质
对数函数的图像和性质