专题一 三角恒等变换(辅优讲义)

专题一三角恒等变换

一、【知识梳理】：

1．两角和与差的三角函数公式

2．二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α；tan 2α＝2tan α

1－tan 2α

.

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；

3．公式的变形与应用

(1)两角和与差的正切公式的变形

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

(2)升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α

2.

(3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2

α＝1＋cos 2α2

.

(4)其他常用变形

sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α

1＋tan 2α

；

1±sin α＝? ????sin α

2

±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.

4．辅助角公式

a sin α＋

b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b

a 2＋

b 2

.

5．角的拆分与组合

(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，

α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝????π4＋α－π4＝?

???α－π

3＋π3.

(2)互余与互补关系：例如，????π4＋α＋????3π4－α＝π，????π3＋α＋???

?π

6－α＝π2.

(3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.

三、方法归纳总结：

1.三角函数式的化简遵循的三个原则

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．

2．三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 备注：在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．

四、典例剖析：

题型一、【公式顺用、逆用、变用】

例1、(2015·课标Ⅰ2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )

A ．－

32 B.32C ．－12 D.1

2

2．(2013·四13)设sin 2α＝－sin α，α∈????π

2，π，则tan 2α的值是________．

3、【2016年全国课标】若3tan 4

α=

，则2

cos 2sin 2αα+=（） (A)

6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

4、(2013·浙江，6)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10

2

，则tan 2α＝________

5．(2012·四川4)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )

A.31010

B.1010

C.510

D.5

15

专题二、【三角恒等变换】

例2、1．（1）、2cos10°－sin20°sin70°=________．（2）、：00000080cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin -+=________

（3）、(tan5°－cot5°)·cos70°

1＋sin70°＝________.（4）、cos 40°cos 25°1－sin 40°

＝________.

变式：（1）、(2013·重庆9)4cos 50°－tan 40°＝( )

A. 2

B.2＋3

2 C.3D ．22－1

（2)、3tan 12°－3

（4cos 212°－2）sin 12°＝________.

专题三：【凑角应用】 例3、已知0<β<π

4<α<3

4π，13

5

)43sin(,53)4cos(

=+=-βπαπ

，求)sin(βα+的值．

知识小结：解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝1

2

[(α＋β)＋(α－β)]；

β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－????π

4－α. 变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2

，cos ????π4＋α＝1

3，cos ????π4－β2＝45，则cos ????α＋β2＝________.

变式2、【2015江苏高考】已知tan 2α=-，()1

tan 7

αβ+=，则tan β的值为_______.

变式3、已知0＜α＜π4，0＜β＜π

4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2

，求α＋β的值．

分析：由α

2

的关系可求出α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求

出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β.

评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α

2

的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，

据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．

题型四、【三角恒等变换的综合运用】

1、【2005全国1理】当20π

<

x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）

C A ．2 B ．32 C ．4

D ．34

2．(13课标Ⅰ15)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．

3、【2015高考天津理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??

=--

??

?

，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34

ππ

-上的最大值和最小值.

4、【2014·广东16】已知函数f (x )＝A sin ????x ＋π4，x ∈R ，且f ????5π12＝3

2

.

①求A 的值；②若f (θ)＋f (－θ)＝3

2，θ∈????0，π2，求f ???

?3π4－θ.

【点拨】 解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用

诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f ???

?5π

12的值直接求出A 的值；

②化简f (θ)＋f (－θ)＝3

2

可得cos θ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin

θ，再化简f ???

?3π

4－θ可得答案．

5、【2015高考广东，文16】已知tan 2α=． （1）求tan 4πα??

+ ??

?

的值；

（2）求2

sin 2sin sin cos cos 21

α

αααα+--的值．