2015年北京市丰台区高三二模数学(理科)

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5

数学 （理科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A

B =

(A){0x x <或1}x ≥

(B) {12}x x <<

(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >

2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为

(A)

22

3

(B)

283

(C)

323

(D)

343

4．

函数1,0,

()2cos 1,20x f x x x ≥=--π≤

的所有零点的和等于

(A) 1-2π (B) 312π

-

(C) 1-π

(D) 12

π

-

5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为

(A) 6 (B)

29 (C) 3

(D) 2

3

6．平面向量a 与b 的夹角是3π

，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC

的中点，那么AD =

(A)

(B) (C) 3 (D) 6

7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种

15 则每周最高产值是

俯视图

正视图

(A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5

8．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是 (A) 4

(B)

(C) (D) 8

第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ． 10．直线l 的斜率是1-，且过曲线22cos ,

32sin x y θθ=+??=+?

（θ为参数）的对称中心，则直线l 的方程是 ．

11

．已知函数21

()sin 22

f x x x =

，则()f x 的最小正周期是 ；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6

f π'= ．

12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．

13．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，PA 是⊙O 的切线，PB PA ⊥，24BE PE PD ===，则PA =_____，

AC = ．

14. 已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：

①{1,2,3,4,5,6,7}A B =；②A B =?；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．

（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么A =______； （ⅱ）有序集合对（A ，B ）的个数是______．

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

在△ABC 中，30A ?

=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．

（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长．

16.（本小题共13分）

长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．

（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时

长的平均值；

（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据

为“过度用网”的概率；

（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．

17.（本小题共14分）

如图所示，在四棱柱1111D C B A A B C D

-中，⊥1AA 底面A B C D ，BD AC ⊥于O ,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．

（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ； （Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M --的平面角为θ

，当

cos θ=CM 的长．

O

M

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

A 班

B 班 0 1 2 3

9 1 0 7

3 4

1 1 6

2 5

7

18.（本小题共13分）

已知数列{}n a 满足110a =，1212,2,

1log ,21

n a n n n k a a n k --?==?-+=+?*(N )k ∈，其前n 项和为n S ．

（Ⅰ）写出3a ，4a ；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求n S 的最大值．

19.（本小题共14分）

已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个

顶点．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．

20.（本小题共13分）

已知函数ln 1

()ax f x x

+=

(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；

（Ⅲ）证明：当*

N k ∈且2k ≥时，1111

ln

ln 2234k k k

<+++???+<．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（二）

数 学（理科）参考答案

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9． 10．50x y +-= 11．π；1-

12．

21

22

13．4； 14．{6}；32 注：第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 二、解答题：

15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1

sin 42

BCD S BC CD BCD ?=

??∠=， 所以5

5

2sin =

∠BCD ． 因为BCD ∠为锐角，

所以cos BCD ∠==

……………………6分 （Ⅱ）在BCD ?中，因为BCD BC CD BC CD DB ∠??-+=cos 22

2

2

，

所以4=DB ． 因为2

22BC CD DB =+，

所以?=∠90CDB ．

所以ACD ?为直角三角形．

因为30A ?

=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为

1

(91113202437)196

+++++=， 由此估计A 班学生每周平均上网时间19小时； B 班样本数据的平均值为

1

(111221252736)226

+++++=， 由此估计B 班学生每周平均上网时间22小时． ……………………2分 （Ⅱ）因为从A 班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是

13

， 所以从A 班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为

12124()()339

P C =?=． ……………………5分 （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．

252

)0(26262324===C C C C P ξ， 7526)1(2

6261

31324231214=+==C C C C C C C C P ξ， 75

31

)2(2

6261313121423242322=++==C C C C C C C C C C P ξ， 75

11)3(2626231214131322=+==C C C C C C C C P ξ， 751

)4(2

6262

322===C C C C P ξ． ξ的分布列是：

2263111150123425757575753

E ξ=?

+?+?+?+?=． ……………………13分

17.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BA B A 11是平行四边形．

所以AB B A //11．

因为?11B A 平面ABCD ，?AB 平面ABCD ，

所以//11B A 平面ABCD ．

因为平面 O B A 11平面ABCD l =，

所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分 （Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．

因为41=AA ，且24OC AO ==，

所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，

1(2,0,4)A -．

因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．

B

设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =-． 所以08081=++-=?．

所以1

AO DM ⊥． ……………………8分 （Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，

又因为1(2,,4)AD b =-，1(2,,4)AB c =-，

所以110240240

0m A D x by z x cy z m A B ??=+-=?????

+-=?=???． 因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =． 设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--，(4,,)MB c h =--． 设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，

所以 11111140

0400x by hz n MD x cy hz n MB ?-+-=?=?????-+-=?=?

??．

因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14

h x =-，所以(,0,1)4h

n =-．

又因为cos 25

θ=

， 所以2cos ,25m n

<>=，即125m n

n m

?==

解得3h =或7

6

h =

． 所以点(4,0,3)M 或7

(4,0,)6M ．

所以3CM =或7

6

CM =． ……………………14分

18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为110a =，

所以110222a a ==，

1032221log 1log 29a a =-+=-+=，

942512a ==． ……………………3分

（Ⅱ）当n 为奇数时，2

21221log 1log 2

1n a n n n a a a ---=-+=-+=-，

即21n n a a --=-．

所以{}n a 的奇数项成首项为110a =，公差为1-的等差数列． 所以当n 为奇数时，1121(

)(1)22

n n n

a a --=+?-=． 当n 为偶数时，121(1)112

2

22

2

n n n n a a ----

===，

所以 112

*2,2,

(N )21,2 1.2

n

n n k a k n n k -?=?=∈?

-?=-? ……………………10分 （Ⅲ）因为偶数项112

2

0n n a -

=>，奇数项212

n n

a -=

为递减数列， 所以n S 取最大值时n 为偶数． 令2210k k a a -+≥(*

N k ∈)， 即112121

202

k

k --++

≥． 所以11211k k -≥-．

得11k ≤．

所以n S 的最大值为1091022(2222)(1090)2102S =++++++++=．

……………………13分

19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距22c =，

所以1c =． 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，

所以b =

2a ．

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）假设存在点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点．

设00(,)P x y ，(,0)T t ，PM 的中点为S ．

因为PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），且PTN ∠的平分线过S ，

所以PTS STN PST ∠=∠=∠． 又因为S 为PM 的中点，

所以1

2

PT PS PM ==

．

0142

x =-．

因为点P 在椭圆C 上，所以220

3(1)4

x y =-，

代入上式可得 2

02(1)(1)0x t t -+-=．

因为对于任意的动点P ，PTN ∠的平分线都过S ， 所以此式对任意0(2,2)x ∈-都成立． 所以2

1010

t t -=??

-=?，

解得1t =． 所以存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，

此时定点T 的坐标为(1,0)． ……………………14分

20.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}x x >．

因为ln 1

()ax f x x +=， 所以2

ln ()ax

f x x -'=．

因为0a >，所以当()0f x '=时，1

x a

=．

当1(0,)x a

∈时，()0f x '>，()f x 在1

(0,)a 上单调递增；

当 1(,)x a

∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1

(,)a +∞上单调递减．

所以当1x a

=时，1

()()f x f a a ==最大值． ……………………6分

（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）得

ln 11x x +≤，变形得1

1ln x x

-≤，当1x =等号成立．所以 1

1ln 22-<，

231ln 32

-<，

……

11ln 1

k k

k k --

<-， 所以得到 当*

N k ∈且2k ≥时，

1111

ln 234k k

+++??????+<． ……………………10分 由（Ⅰ）得

ln 1

1x x

+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33

ln

122<-， 44

ln 133<-， 55

ln 144

<-，

……

11

ln

1k k k k

++<-， 所以得到 当*

N k ∈且2k ≥时，11111

ln

2234k k

+<+++??????+． 又因为1ln

ln 22

k k +<， 所以当*

N k ∈且2k ≥时，1111

ln

ln 2234k k k

<+++??????+<． ……………………13分

（若用其他方法解题，请酌情给分）