3.1.3 概率的基本性质

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3.1.3 概率的基本性质[来源:学科网Z|X|X|K]

（共 1 课时）

修改与创新

教学目标1、正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.

2、概率的几个基本性质：①必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1；②当事件A与B互斥时,满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

③若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).

3、正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.

教学重、难点教学重点：

概率的加法公式及其应用. 教学难点：

事件的关系与运算.

教学

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程导入新课

[来源学科网ZXXK]

（1）集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4} {2,3,4,5}等；

（2）在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数}…….

师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.

推进新课

新知探究

提出问题

在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},……

类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.

(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？

(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？

(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？

(4)事件D3与事件F能同时发生吗？

(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？

活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.

讨论结果：

(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.

(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.

(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.

(4)事件D3与事件F不能同时发生.

(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.

由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:

①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为B?A（或A?B）,不可能事件记为?,任何事件都包含不可能事件.

②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若B?A同时A?B）,

我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.

③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为A∪B或A+B.

④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为A∩B或AB.

⑤如果A∩B为不可能事件（A∩B= ）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.

⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.

继续依次提出以下问题:

（1）概率的取值范围是多少?

（2）必然事件的概率是多少?

（3）不可能事件的概率是多少?

（4）互斥事件的概率应怎样计算?

（5）对立事件的概率应怎样计算?

活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1之间.（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.

（3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.

（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.

（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由（4）可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.

讨论结果：

（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.

（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.

（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.

（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.

（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).

上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它的应用.

应用示例

例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.

活动：教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.

解：A与C互斥（不可能同时发生）,B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件（至少一个发生）.

点评：判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.

变式训练

从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件

数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是

不是对立事件.

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品.

解：依据互斥事件的定义,即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生

知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是

互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以

判断：（2）中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的2个

事件既不是互斥事件也不是对立事件.（4）中的2个事件既互斥又对立.

例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心

（事件A ）的概率是41,取到方块（事件B ）的概率是4

1,问：（1）取到红色牌（事件C ）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D ）的概率是多少？

活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C 是事件A 与事件B

的并,且A 与B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C 与事件

D 是对立事件,因此P(D)=1-P(C).

解：（1）因为C=A ∪B,且A 与B 不会同时发生,所以事件A 与事件B 互

斥,根据概率的加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=2

1. （2）事件C 与事件D 互斥,且C ∪D 为必然事件,因此事件C 与事件D 是

对立事件,P(D)=1-P(C)=2

1. 点评：利用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意.

变式训练

某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别

为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率.

解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9

环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7环的概率恰为射中

10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射

中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7

环的概率为1-0.97=0.03.

知能训练

1.下列说法中正确的是（）

A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概

率大

B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小

C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件

D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

答案：D

2.课本练习1—5.

拓展提升

1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当

选机会.如果选得同性委员的概率等于21,求男女生相差几名?[来源学科网]

解：设男生有x 名,则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为

36)1(?-x x . 选得2名委员都是女性的概率为35

36)35)(36(?--x x . 以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于

21,得3536)1(?-x x +3536)35)(36(?--x x =2

1.解得x=15或x=21. 即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.

总之,男女生相差6名.

2.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

血型

A B AB O 该血型的人所占28 29 8 35[来源学*科*网]

比/%

已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何

人的血都可以输给AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是

B 型血,若小明因病需要输血,问：

(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？

解：（1）对任一人,其血型为A,B,AB,O 型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,

它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.

因为B,O 型血可以输给B 型血的人,故“可以输给B 型血的人”为事件

B′+D′.根据互斥事件的

加法公式,有P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.[来源学科网ZXXK]

（2）由于A,AB 型血不能输给B 型血的人,故“不能输给B 型血的人”为事

件A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.

即任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概

率为0.36.

注：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事

件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有

P(''D B )=1-P(B′+D′)=1-0.64=0.36.

课堂小结

1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率

为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A 与事件B 互斥时,A ∪B

发生的概率等于A 发生的概率与B 发生的概率的和,从而有公式P （A ∪B ）

=P （A ）+P （B ）；对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生.

2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互

斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种

不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事

件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生,而对立事件是指事件A 与

事件B 有且仅有一个发生,其包括两种情形:①事件A 发生B 不发生；②

事件B 发生事件A 不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.

作业

习题3.1A组5,B组1、2.

板书设

计

教学反

思本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件,并根据集合的运算定义了事件的运算,给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式,在运用时要切实注意它们的使用条件,不可模棱两可,搞清互斥事件和对立事件的关系,思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强,同学们要反复训练,安排的题目既有层次性,又有趣味性,适合不同基础的学生,因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅.