八年级数学上册竟赛辅导资料奇数 偶数1 北师大版
初中数学竞赛辅导资料（17）奇数 偶数
内容提要
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数
是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n 是偶数，2n －1或2n+1是奇数。如果n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
整数?
??偶数奇数
或 整数集合 就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 例题
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数 证明：设k 为整数，那么2k －1是任意奇数， （2k －1）2－1＝4k 2－4k ＋1－1＝4k(k －1)
∵k(k －1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k －1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2 已知：有n 个整数它们的积等于n ，和等于0
求证：n 是4的倍数
证明：设n 个整数为x 1,x 2,x 3,…x n 根据题意得
????
?=++++=②①
0321
321n n x x x x n x x x x 如果n 为正奇数，由方程（1）可知x 1,x 2,x 3,…x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适
合方程（2）右边的0，所以n 一定是偶数；
当n 为正偶数时，方程（1）左边的x 1,x 2,x 3,…x n 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n 是4的倍数。
例3己知：a,b,c 都是奇数
求证：方程ax 2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x ，若它是奇数，这时方程左边的ax 2，bx ，c 都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x 是偶数，那么ax 2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。 既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax 2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x 2－y 2＝60的正整数解 解：(x+y)(x －y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x －y)至少有一个是偶数
因此x, y 必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组
??
?=-=+230y x y x ?
??=-=+610
y x y x 解得??
?==1416y x ???==2
8
y x
∴方程x 2
－y 2
＝60的正整数解是???==1416y x ?
??==28y x
练习17 1． 选择题
①设n 是正整数，那么n 2+n-1的值是（ ）
（A ）偶数（B ）奇数（C ）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x －324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ） （A ）??
?==15y x （B ）???==86329y x （C ）???==171
653
y x （D ）???==256978y x
2． 填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿
③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿ ④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤
位
n 01100能被11整除，那么n 是正奇数或正偶数？答＿＿ 3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？ 4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由 5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除 6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7． 求方程（2x －y －2）2＋（x+y+2）2=5的整数解 8． 方程19x+78y=8637的解是( )
(A)???==9178y x (B)???==9284y x (C)???==9388y x (D)?
??==9181y x
9. 十进制中，六位数8719ab 能被33整除，求a,b 的值
初中数学竞赛辅导资料（18）
整式的整除
内容提要
1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一
个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为：
若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,
∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。 显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0， 3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。 4． 在二次三项式中
若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 例题
例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。 x －3 解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m 由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x 解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+6 22－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6 解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)
那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a 根据左右两边同类项的系数相等，得
???=--=-m a a 252 解得?
?
?=-=63
m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除 求：m 、n 的值及商式
解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）
∴商式可设为x 2+ax+b
得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）
＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b
根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得
???????==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得???????=-==-=4
113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4
例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除? 解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式 令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0 即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0 把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立
∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，
当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
例4分解因式x3－x+6
分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）
解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）
练习18
1．若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___
2．x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿
3．己知x3+mx+4能被x+1整除，求m
4．己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值
5．己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式
6．己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.
7．分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3
8.选择题
①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（）
(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)
(c) (x-y)(y-z)(x+z)(D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（）
（A）p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.
初中数学竞赛辅导资料（19）
因式分解
内容提要和例题
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x 4+x 2+1 ②a 3+b 3+c 3－3abc ①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式
解：x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1－x 2=(x 2+1)2－x 2=(x 2+1+x)(x 2+1－x) ②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2
解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2 ＝（a+b ）3+c 3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c 2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc) 例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1
① 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平
方数）
② 解：x 3－11x+20＝x 3－16x+5x+20＝x （x 2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5)
③ 分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a 5+a+1＝a 5－a 2+a 2+a+1=a 2(a 3－1)+ a 2+a+1
=a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1)
2． 运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除
法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x 3－5x 2+9x －6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x 3－5x 2+9x －6＝（x －2）（x 2－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，±21，±2
3
，再分别以这些商代入原式求值， 可知只有当x=2
1
时，原式值为0。故可知有因式2x-1 解：∵x=
2
1
时，2x 3－13x 2+3＝0，∴原式有一次因式2x －1， 设2x 3－13x 2+3＝（2x －1）（x 2+ax －3）， （a 是待定系数） 比较右边和左边x 2的系数得 2a －1＝－13， a=－6 ∴2x 3－13x+3＝（2x －1）（x 2－6x －3）。
例4因式分解2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20
解：∵2x 2+3xy －9y 2＝（2x －3y ）(x+3y), 用待定系数法，可设 2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y ＋a ）（x+3y ＋b ），a,b 是待定的系数， 比较右边和左边的x 和y 两项 的系数，得
?
??-=-=+33314
2b a b a 解得54==b a
∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20) 这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－（3y －4）（3y+5）,用待定系数法，可设 2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20)＝［mx －（3y －4）］［nx+（3y+5）］ 比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1 ∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)
练习19
1．
分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 4 2. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30
③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －70
3. 分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3
②x 3－3x 2+3x+7
③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3
④x 3+6x 2+11x+6 ⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x 3－7x+10 ②x 3－11x 2+31x －21
③x 4－4x+3 ④2x 3－5x 2+1
5. 分解因式：①2x 2－xy －3y 2－6x+14y －8 ②（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－91
6．分解因式： ①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ②x 2－y 2+2x －4y －3
③x 4+x 2－2ax －a+1 ④（x+y ）4+x 4+y 4
⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3）
7. 己知：n 是大于1的自然数 求证：4n 2+1是合数
8．己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x 2+25, p(x)=3x 4+4x 2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值
初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。 2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边， 例题
例1求证：3 n+2－2 n ＋
2＋2×5 n+2＋3 n －2 n ＝10（5 n+1+3 n －2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n ）＋（－2 n+2
－2 n ） ＝10×5 n+1＋3 n (32+1)－2 n-1(23＋2) ＝10（5 n+1+3 n －2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n （32＋1）－2 n (22+1) ＝2×5 n+2＋10×3 n －5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n －10×2 n-1
＝2×5 n+2＋10×3 n －5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a 3+b 3+c 3=3abc 证明：∵a 3+b 3+c 3－3abc ＝（a+b+c ）（a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc ）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a 3+b 3+c 3－3abc ＝0 即a 3+b 3+c 3=3abc 又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c ） 两边立方 a 3=－（b 3+3b 2c+3bc 2+c 3） 移项 a 3＋b 3+c 3＝－3bc(b+c)＝3abc 再证：由己知 a=－b －c 代入左边,得
（－b －c ）3+ b 3+c 3＝－（b 3+3b 2c+3bc 2+c 3）+b 3+c 3 ＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
例3 己知a+
a
c c b b 1
11+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c -=-11 ∴bc=b
a c
b --
b-c=ca a c c a -=-11 ∴ca=c b a c -- 同理ab=a
c b a --
∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c
b a
c --＝1 即a 2b 2c 2=1
例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数
那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2
根据恒等式的性质 得??
?
??===222n c m n b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0
练习20
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1) 2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b 3.己知：a+b+c=0
求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2 4.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+3
5.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz
6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c) 8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c
b b a 1
111-=- 9．己知：
a
c z
c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3+bx 2+cx+
d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc
初中数学竞赛辅导资料（21）
比较大小
内容提要
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：
当a －b ＞0时，a ＞b ； 当a －b ＝0时，a=b ； 当a －b ＜0时a ＜b 。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。 3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a 是实数，则a 2≥0，
由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a －b)2≥0， a 2+1＞0， a 2+a+1=(a+
21)2+4
3
＞0 －a 2≤0， －（a 2+a+2）＜0 当a ≠b 时，－（a －b ）2＜0
例题
例1 试比较a 3与a 的大小 解：a 3－a=a(a+1)(a －1) a 3－a=0,即a 3=a
以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号： 当a ＜－1时，a+1＜0,a ＜0,a －1＜0（3个负因数）∴a 3－a ＜0 即a 3＜a 当－1＜a ＜0时 a ＜0,a －1＜0（2个负因数） ∴a 3－a ＞0 即a 3＞a 当0＜a ＜1时， a －1＜0（1个负因数） ∴a 3－a ＜0 即a 3＜a 当a ＞1时，没有负因数， ∴a 3－a ＞0 即a 3＞a 综上所述当a=0,－1，1时， a 3=a
当a ＜－1或0＜a ＜1时，a 3＜a
当－1＜a ＜0或a ＞1时，a 3＞a 。 （试总结符号规律）
例2 什么数比它的倒数大？ 解：设这个数为x ，则当并且只当x －
x
1
＞0时，x 比它的倒数大， x －x 1＝x
x x x x )
1)(1(12-+=-
－1 0 1
以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知
当x ＞1或－1＜x ＜0时，x 比它的倒数大。
例3 己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A 去B ，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？
解：设从A 到B 有x 千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t 甲＝y
x
y x
y x 85242=+，
t 乙＝
y
x 4 t 甲－t 乙＝
y
x y x y x 83485=- ∵x ＞0，y ＞0 ∴t 甲－t 乙＞0 答：乙先到达B 地
例4己知a ≠b ≠c ，求证：a 2+b 2+c 2＞ab+bc+ca 证明：a 2+b 2+c 2－ab+bc+ca ＝
21×2（a 2+b 2+c 2－ab+bc+ca ）＝21
（2a 2+2b 2+2c 2－2ab+2bc+2ca ） ＝2
1［（a-b ）2+(b-c)2+(c-a)2］ ∵a ≠b ≠c ，（a-b ）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0 ∴a 2+b 2+c 2＞ab+bc+ca
又证：∵a ≠b ，∴（a-b ）2＞0 a 2+b 2＞2ab(1) 同理b 2+c 2＞2bc(2) c 2+a 2>2ca(3)
(1)+(2)+( 3)得2a 2+2b 2+2c 2＞2ab+2bc+2ca 即a 2+b 2+c 2＞ab+bc+ca 例5 比较 3（1＋a 2+a 4）与(1+a+a 2)2的大小 解：3（1＋a 2+a 4）－(1+a+a 2)2＝3［（1＋a+a 2）2-2a-2a 2-2a 3］－(1+a+a 2)2
＝2(1+a+a 2)2－6a(1＋a+a 2) =2(1＋a+a 2)( 1＋a+a 2-3a)=2(1＋a+a 2)(1-a)2 ∵1＋a+a 2＝（
4
3
)212++a ＞0， (1-a)2≥0 ∴当a=1时，3（1＋a 2+a 4）＝(1+a+a 2)2 当a ≠1时，3（1＋a 2+a 4）＞(1+a+a 2)2
例6 解方程 4212=-++x x 解：以－0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得x=－1 当－0.5≤x<2时，（2x+1）－（x-2）=4, 解得x=1 当x ≥2时，（2x+1）+(x －2)＝4 解得x=
3
5
, ∴在x ≥2范围无解 综上所述原方程有两个解x=－1, x=1 练习21
1． 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。并用“＜”号把它们连接。 2． 比较下列各组中的两个数值的大小：
①a 4与a 2 ②
1+a a 与2
1+-a a 3． 什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？
4． 甲乙两人同时从A 去B ，甲一半路程用时速a 千米，另一半路程用时速b 千米；乙占总时间的一半用
时速a 千米,另一半时间用时速b 千米,问两人誰先到达？ 5． 己知 a>b>c>d>0且a ∶b=c ∶d ， 试比较a+c 与b+d 的大小 6． 己知a
7． 己知a
(提示：可应用第6题的结论)
8． 己知a ① b a 11> ②ab<1 ③1 a ④a －2b<0 9.若a,b,c 都是大于－1的负数，（即－1＜a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。 ①a+b －c>0 ②(abc)2>1 ③a 2-b 2-c 2<0 ④abc>-1 10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下 问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿ （1989年全国初中数学联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（22） 分式 内容提要 1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。 (1)分式 B A 中，当B ≠0时有意义；当A 、B 同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。 (2)若A 、B 及 B A 都是整数，那么A 是B 的倍数，B 是A 的约数。 (3)一切有理数可用B A 来表示，其中A 是整数，B 是正整数，且A 、B 互质。 2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。 例题 例1．x 取什么值时，分式x x x x 23 22 2+--的值是零？是正数？是负数？ 解： x x x x 2322 2+--＝)2()3)(1+-+x x x x （ 以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零； 当x<－2, －1 例2．m 取什么值时，分式 1 7 2-+m m 的值是正整数？ 解：1 72-+m m ＝19 22-+-m m ＝2＋19-m 当例3．计算14++x x ＋32--x x －12-+x x －3 4 ++x x 1 9 -m ＞－2且m －1是9的约数时，分式的值是正整数 即m －1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋ 13+x ＋1＋3 1-x －1－13-x －1－31 +x ＝ )1)(1()1(3)1(3-++--x x x x ＋)3)(3() 3()3(+---+x x x x ＝ 162-x －＋962-x ＝) 9)(1(48 2 2--x x 4．已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a ∶b ∶c ②bc c ab a +-22 解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 3 得2（a+b+c ）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k ∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3 ②bc c ab a +-22＝k k k k k k 3)3(2)2(2 2??-＋＝61 例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值 呢？ 解：设这个两位数为10x+y ，那么0＜x ≤9, 0≤y ≤9 y x y x ++10＝1＋y x x +9 当x 取最小值1，y 取最大值9时，分式 y x x +9的值最小；当x 取最大值9，y 取最小值0时，分式y x x +9的值最大。 答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 练习22 1． a=___时，分式 6 22-+-a a a 的值是0 2． 已知? ??=++=--02022z y x z y x 则分式2 222 22z y x z y x ++--＝＿＿＿＿ 3． 若x 和分式 1 2 3-+x x 都是整数，那么x=_______________ 4． 直接写出结果: ① x 2 12 x ＋ =(x+ x 1)2-______ ②(x 2+21 x +2)÷（x+)1x =____ ③ （x 2- 2 1x ）÷（x+x 1）=__＿＿ ④（1＋)1x （1－)1 12x x +＝＿＿＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 ＋＋＋x 111 11 6．x 取什么值时分式9 2 22---x x x 的值是零？是正数？是负数？ 7．计算：① 14++x x ＋321432++------x x x x x x ②4 214 121111x x x x ++++++- ③4 10 2124832 762222 2 -++--++-++++x x x x x x x x x x 8．解方程： 675691089++-++=++-++x x x x x x x x 124 29 12232 3-=++-++-+x x x x x x x ⑶ 3=--+--+--b a c x a c b x c b a x （其中)01 11≠++c b a 9．已知xy ∶yz ∶z x=3∶2∶1, 求①x ∶y ∶z ② yz x ∶zx y 10．已知a ≠b ≠c 且 z b a y a c x c b -= -=- 求证：ax+by+cz=0 11.已知： y x z x z y z y x += +=+ 求：（x+y ）∶z 的值 12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式5 3 ++bx ax 中的x 不论取什么值分式的值都不变，问a 和b 之间的关糸应满足什么条件？ 14. 已知p c n b m a == 求证： （a 2+b 2+c 2）(m 2+n 2+p 2)=(am+bn+cp)2 初中数学竞赛辅导资料(23) 递推公式 内容提要 1． 先看一例：a 1=b,a 2= 1 2a ,a 3=22a …… a n+1= n a 2 这里a 1,a 2,a 3……a n ,a n+1是对应于正整数1，2，3…… n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。 例如: 若 a 1=10, 则a 2= 102=5 1 ,a 3=10,a 4=51,a 5=10…… 2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a 1和n 表示a n 的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式 a n+1=a n +5改为用a 1 和n 来表示 ∵a 2=a 1+5, ∴a 3=a 2+5=(a 1+5)+5=a 1+2×5， a 4=a 3+5=(a 1+2×5)+5=a 1+3×5 …… ∴a n =a 1+(n-1)5 如果 已知a 1=10, 求a 20,显然代入这一公式方便。A 20=10+19×5=105 3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。 例题 例1.已知：a 1=2, a n =a n-1+2(n-1) (n ≥2) 求：a 100的值 解：a 100=a 99+2×99 =a 98+2×98+2×99 =…… =a 1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2× 2 99 )991(?+=9902 又解：a 2=a 1+2×1 a 3=a 2+2 ×2=(a 1+2×1)+2×2 a 4=a 3+2×3=(a 1+2×1+2×2)+2×3 …… a 100=a 1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902 例2.已知：x 1=97, 对于自然数n>1, x n = 1 -n x n 求：x 1x 2x 3·……·x 8的值 解：由递推公式x n = 1 -n x n 可知 x 1x 2=x 1 1 2x =2 x 3x 4=x 334x =4 x 5x 6=x 5 56x =6 x 7x 8=x 77 8x =8 ∴x 1x 2x 3· ……·x 8=2×4×6 ×8=384 例3.已知：100个自然数a 1,a 2,a 3……a 100满足等式 (n-2)a n －（n －1）a n-1+1=0 (2≤n ≤100)并且a 100=199 求：a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 100 分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：a n-1=1 1 )2(-+-n a n n 可由a 100求a 99,a 98…… 解：a 99= 99 1)2100(100+-a =991 19998+?=197 a 98= 98 1)299(99+-a =981 19797+?=195 用同样方法求得a 97=193, a 96=191,……a 1=1 ∴a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199 ＝ 2 100 )1991(?+＝104 练习23 1. 已知 a 1=1, a 2=1, 且a n+2=a n+1+a n 那么 a 3=___,a 4=____,a 5=_____,a 6=_____,a 7=_____ 2. 若a 1=2m, a n = 1 2-n a 则a 2=__,a 3=__,a 4=__,a 5=__,a 1989×a 1990=___ 3. n 为正整数，有递推公式a n+1=a n －3，试用a 1,n 表示第n 项a n 4. 已知 a 1=10, a n+1=2a n 求a 10 5. 已知 f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10) 6. 设x+y=a 1, x 2+y 2=a 2, …… x n +y n =a n, xy=6, 则a 2=a 12－2b, 有递推公式a n+1=a 1a n －ba n-1, 试按本公式求出：用a,b 表示a 3, a 4, a 5, a 6 根据下列数据的特点，写出递推公式： ① a 1=1, a 2=4, a 3=7, a 4=10……a n =＿＿＿＿,a n+1＿＿＿＿＿＿＿＿ ② a 1=1, a 2=3, a 3=6, a 4=10……a n =＿＿＿＿＿＿,a n+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7. n 名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。 8. 平面内n 条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。 初中数学竞赛辅导资料（24） 连续正整数的性质 内容提要 一.两个连续正整数 1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个） 1. n 位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n 为正整数，100＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100）， 二位数从10到99共90个 （9×101） 三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3. 从13到49的连续奇数的个数是213 49－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是2 14 48－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是315 48－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是3 13 49－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和 1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ） 2 n （n 是正整数） 连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)2 1 +-a b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下： 2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×2 23＝759 （∵从11到55有奇数211 55－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）× 215＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共3 11 53－＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝45 2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98）， （2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1 ∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901 五. 连续正整数的积 从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘 1. n 个连续正整数的积能被n ！整除， 如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除； a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。 2.n！含某因质数的个数。举例如下： ①1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个 其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个 其中4＝22含两个质因数2增加了1个 其中8＝23含三个质因数2再增加2个 ②1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法 5，10，15，…125，130均含质因数5暂各计1个，共26个 其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个 其中125＝53含三个5再增加2个 ∴积中含质因数5的个数是32 例题 例1. 写出和等于100的连续正整数 解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10 其中2个50和10个10都不能写成连续正整数 而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16 得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。 5个20可由20，19＋21，18＋22 得第二组连续正整数18，19，20，21，22。 例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？ 解：页数编码中，一位数1到9共9个 两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个 三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个 四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个 ∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853 例3.用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数： 1234……99100。问： ①它是一个几位数？ ②它的各位上的数字和是多少？ ③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192 ②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点) ③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9： 包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5， 剩下的数的前十位是9999978596。 例4.算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？ 解：∵121＝11，144＝12 ∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122 ;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。 例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍，求这两个连续正整数。 解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a 根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1） 把222分解质因数得x(x+1)=2×3×37a（2） ∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0＜a≤9 由（1）可知a 可能是1，3，5，6，8 分别代入（2）只有6适合 x(x+1)=36×37 答所求的连续正整数是36和37 练习24 1. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n 位数有____个。 2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。 3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。 4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止， 位 198123 那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____ 这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题) 5. 已知a= 1 199011111个, b= 9 199099999个 那么①ab=______________ ②ab 的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法) 6. 计算连续正整数的平方和的个位数： ① 12+22+32+……+92和的个位数是_______ ② 12+22+32+……+192和的个位数是______ ③ 12+22+32+……+292和的个位数是______ ④ 12+22+32+……+392和的个位数是______ ⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿ （1990全国初中数学联赛题) 7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组： ____________，_________________，_____________________。 8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100 这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。 9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？ (1990 年全国初中数学联赛题) 10. .设a,b,c 是三个连续正整数且a 2=14884,c 2=15376,那么b 2是( ) (A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376 11. 计算：① 2+4+6+ (100) ②1+4+7+10+...+100= ③ +10+15+ (100) 12. 有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？ 如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n ，那么必有两个是互质数，试说明理由。 13. 一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数 加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题) 提 示：先求积中含质因数5的个数 初中数学竞赛辅导资料(25) 十进制的记数法 内容提要 1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂， 恰好是十进制数的各个位数： 100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)， 102=100(百位上的数---第3位)，…10n (第n+1位上的数) 例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100 2. 十进制的n 位数(n 为正整数)，n n a a a a 321 记作： 10n-1a 1+10n-2a 2+10n-3+…+102a n-2+10a n-1+a n