一类不定方程的解集判别17091642
一类不定方程的解集判别17091642
张祖华
平阴县职业教育中心济南平阴 250400
摘要：本文对一类不定方程的正整数解作出判断。
关键词：自然数不定方程正整数解
定理1：当自然数m,n>3时，关于x的不定方程
X82+1-10409n×m(m+1)(2m+1)=0不存在正整数解.
参考文献：
[1]张祖华等.解无约束优化的一种新的xx，数学进展，已录用。
[2]张祖华.一元高次方程根的若干xx(W2017060347599), 数学进展，已录用。
[3]张祖华.第四类超越方程解的可计数性(W2017052145671), 数学进展，已录用。
[4]张祖华.第五类高次不定方程的无穷解(W2017041439231), 数学进展，已录用。
线性方程组有解的判别定理
非齐次线性方程组同解的讨论 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解. 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。 下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出 11121121222212n n m m mn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? ，b= 12m b b b ???????????? 。 即非齐次线性方程组可写成Ax b =。 一 、线性方程组同解的性质 引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1 r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为 2 12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 引理[1]2 设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程 ———研究其解法 方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许 多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。 一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法 根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。 如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？ 解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。 当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。 …… 当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。 ∵ 98﹢97﹢96﹢ (1) 2 99 98?= 4851 ∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。 2、表格记数法 如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。 解： ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有 x = 5 x = 12 y = 5 y = 1 3、分离系数法 如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y = 2 738X -=19-3x-21 x
令 t= 2 1 x x =2 t 则 y= 2 2738t ?-=19-7t 2t ＞0 19-7t ＞0 （t 为整）→ 2 7 5 ＞t ＞0 t=2，1 当 t=2时， x =2×2=4 x =4 y=19-7×2=5 y =5 当 t=1时， x =2×1=2 x =2 y=19-7×1=12 y=12 第四十周 不定方程 专题简析： 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x －3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x －3y ＝9的解有： x ＝2.4 x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6 ……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3 如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 例1． 求3x+4y ＝23的自然数解。 先将原方程变形，y ＝23－3x 4 。可列表试验求解： X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、 求3x+2y ＝25的自然数解。 2、 求4x+5y ＝37的自然数解。 3、 求5x －3y ＝16的最小自然数解。
不定方程解应用题
不定方程解应用题 六年级 2009年10月31日 基础篇 例1．不定方程的自然数解。 （1）2x+5y=12 解：x=6,y=0或x=1,y=2 （2）12x+17y=75 解：x=2,y=3 例2．用不定方程（组）解应用题。 1.采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打 开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 解：设买了x大盒，y小盒。 23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26. 答：略。 2.新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共 14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。 问：搬书的老师，男生，女生各有多少人？ 解：设老师x人，男生y人，女生z人。 x+y+z=14 12x+8y+5z=100 解得：x=3,y=3,z=8 答：略。 3.一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装 完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少 解：设大盒x个，小盒y个。 12x+5y=99且x+y>10 解得：x=2,y=15. 答：略。 4.有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的各位数字 所组成的没有重复数字的两位数的和。那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？ 解：设这个三位数为abc（a、b、c各不相同） =+++++ 则abc ab ba ac ca bc cb 100a+10b+c = 22(a+b+c) 解得a=1,b=3,c=2或a=2,b=6,c=4或a=3,b=9,c=6 和为：132+264+396=792
线性方程组解的判定
1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b
2018年国考数量-巧解不定方程问题
巧解不定方程问题 哈尔滨华图房曼 不定方程，顾名思义，一个方程中有多个未知数，无法通过正常的解方程来得出答案，也是省考国考考察的热点、重点。2017年的国家公务员考试副省级的64题，2017年山东省考的51题，都考察了不定方程的应用。 对于不定方程，我们有很多种方法来解决，包括用数字特性法、代入排除法等方法，其中代入排除法可以解决绝大多数不定方程问题，但是四个选项挨个代入比较耗费时间，相当于战争中的核武器，可以解决问题，但是代价比较大；对于一些不定方程题目，我们也可以首先考虑用数字特性来排除几个不靠谱的选项，再用代入法来做，可以大大缩短做题时间，相当于战争中的冲锋枪，可以轻快的解决问题，使用方便。下面列举两道真题来应用一下。 2017年的国家公务员考试副省级64题： 例1、某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？ A．3B．8C．10D．15 解析：设200毫升的最少有a箱，400毫升的有b箱，可以得到一个等式：20*14a=12*25b，为不定方程，求得是a，可以将四个选项从最小的选项挨个代入，求出b，根据题意，b为正整数，符合这个条件的选项即为答案，这是用代入排除法直接做，比较耗费时间。如果先把等式化简一下的话可以得到：14a=15b。可知a需要为15的倍数，直接选出D选项。 2017年山东省考51题： 例2、小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24.所得的两个乘积加起来刚好等于900，问孩子出生在哪一个季度？ A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 解析：设出生的月份为a，出生的日期为b，得到等式：29a+24b=900，为不定方程。观察等式，900为3的倍数，24b同样为3的倍数，所以要求29a为3的倍数，即要求a为3的倍数，可以为3,6,9,12，分别代入，可以解出b，b需要为小于32的正整数，只有当a为12时，解出b=23，符合条件，12月属于第四季度，故选D选项。 对于不定方程，是公务员考试中的一座小高地近来来考察越来越多我们攻克它有数字特性法和代入排除法等武器在平时的练习和考试中要熟练运用各种方法，才能迅速的解得答案。
不定方程常用解题方法
整除法 【例题1】：某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部 分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000 美元的部分按Y%税率征收（X,Y为整数）。假设该国居民月收入为6500美元，支付了120 美元所得税，则Y为多少？ A.6 B.3 C.5 D.4 【参考答案】：A. 【解析】：整除法。列方程可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120,化简可得 6X+Y=18,观察发现，18以及X的系数6都是6的倍数，根据整除可以确定Y一定是6的倍数，所以结合选项答案选择A选项。 【小结】：当列出的方程中未知数的系数以及结果是同一个数的倍数的时候，可以考 虑用整除法结合选项选择答案。 奇偶法 【例题2】：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ A.3,7 B.4,6 C.5,4 D.6,3 【参考答案】：A. 【解析】：奇偶法。设需要大、小盒子分别为x、y个，则有11x+8y=89,由此式89为 奇数，8y一定为偶数，所以11x一定为奇数，所以x一定为奇数，结合选项，排除B和D,剩余两个代入排除，可以选择A选项。 【小结】：列出的方程未知数系数和结果奇偶性可确定时，可以考虑用奇偶性结合选 项破解题目。 尾数法 【例题3】：有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小 客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：
A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 【参考答案】：B. 【解析】：尾数法。大客车需要x辆，小客车需要y辆，可列37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,结合选项x只能是3,所以选择B选项。 【小结】：列出方程的未知数的系数出现5或10的倍数时，尾数可以确定，可以考虑用尾数法结合选项来选择答案。
个例独解：“不定方程”解题思路
个例独解：“不定方程”解题思路 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的一个(或几个)方程组成的方程(组)。 不定方程的解一般有无数个，而在这无数个解中要找出一个适合题意的解，则是行测出题 的思路。根据不定方程的这一特点可知，由题干条件推出结论的推理方式比较费时费力， 采用代入法则是不定方程的一般解法。代入法也分为选项代入法、特殊值代入法两种。 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都 是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )(2012年国家 考试行测第68题) A. 36 B.37 C.39 D.41 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，而也没有其他较简单的做法，则考虑 列方程组，设每名钢琴教师带领x名学员，每名拉丁舞教师带领y名学员; 该方程组有三个未知数，只有两个方程，属于不定方程，用代入法较好。采用特殊值代入 法较好。用第一个方程：5x+6y=76，用奇偶性分析可得x应该为偶数，根据“每位老师所 带的学生数量都是质数”可得x只能为2，又可求的Y=11.再把X=2，Y=11代入方程二可 得4x+3y=41。 该题先列出方程组，再根据题干给出的特殊信息--奇偶性和质数特性，采用特殊值代入的 方式解题。 三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。 如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的 作品列为C等，则下列说法正确的是( )(2012年 考试 第72题) A、A等和B等共6幅 B、B等和C等共7幅 C、A等最多有5幅 D、A等比C等少5幅 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，即画的张数是10，投票数总共为50. 则考虑列方程组，设A等、B等、C等作品的幅数分别为x、y、z张。可得方程组为： 化简得：2x+y=5，可得x=2，y=1，z=7，答案选D。或者得答案x=1，y=3，z=6，无答案，答案选D。
数理方程总结完整终极版
00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条
波动方程的边界条件:
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ
非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…
线性方程组数值解法
. 计算法实验 题目：
班级：学号：：
目录 计算法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (3) 3.1主程序部分 (3) 3.2多项式程部分 (3) 3.3核心算法部分 (3) 3.4数据结构部分 (3) 4运行结果 (3) 4.1列主元高斯消去法运行结果 (3) 4.2LU三角分解法运行结果 (3) 4.3雅克比迭代法运行结果 (3) 边界情况调试 (3) 5总结 (3) 输入输出 (3) 列主元高斯消元法 (3) 雅克比迭代法 (3) 6参考资料 (3)
1 实验目的 1.通过编程加深对列主元高斯消去法、LU三角分解法和雅克比迭代法等求解多 项式程法的理解 2.观察上述三种法的计算稳定性和求解精度并比较各种法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" #include
解线性方程组基思想
解线性方程组基思想
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠 密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件： 在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。 方程A*X=b 变成所以 在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形 式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b)
线性方程组数值解法总结
好久没来论坛，刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰，谢谢大家支持！ 今天趁着不想做其他事情，把线性方程组的数值解法总结下，有不足的地方希望大神指教！数学建模中也会用到线性方程组的解法，你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死，而且不一定有结果，直接用matlab的函数，可以，关键是你不理解用着你安心吗？你怎么知道解得对不对？ 我打算开个长久帖子，直到讲完为止！这是第一讲，如有纰漏请多多直接，大家一起交流！线性方程组解法有两大类：直接法和迭代法 直接法是解精确解，这里主要讲一下Gauss消去法，目前求解中小型线性方程组（阶数不超过1000），它是常用的方法，一般用于系数矩阵稠密，而有没有特殊结构的线性方程组。 首先，有三角形方程组的解法引入Gauss消去法，下三角方程组用前代法求解， 这个很简单，就是通过第一个解第二个，然后一直这样直到解出最后一个未知数，代码如下：前代法： function [b]= qiandai_method(L,b) n=size(L,1); %n 矩阵L的行数 for j=1:n-1 %前代法求解结果存放在b中 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n); 上三角方程组用回代法，和前面一样就是从下面开始解x，代码： 后代法： function [y]=houdai_method(U,y) n=size(U,1); %n 矩阵L的行数 for j=n:-1:2 %后代法求解结果存放在y中 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1); Gauss消去的前提就是这两个算法： 具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A，分解为一个上三角和一个下三角的乘积，即A=LU，其中L为下三角，U为上三角。 那么具体怎么做呢？ 有高斯变换，什么是高斯变换？由于时间有限我不可能去输入公式，所以我用最平白的话把它描述出来。 你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0？ 高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把A的第i列对角线元素以下的都变为0，最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L’=L(n-1)L(n-2)…L2L1，而L’A=U, 那么L=L’的转置，这样就得到了A得分解。 我们要求Ax=b A=LU
线性方程组解的判定
第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b
不定方程的解法
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，
公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 4.1一次不定方程 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 S（?2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 第三章线性方程组地数值解法 范数 (1> 常用范数 ① 向量 1- 范数: ② 向量 2- 范数: ③ 向量∞- 范数: ④ 向量 p- 范数: 向量1- 范数,向量2- 范数,向量∞- 范数实际上为任意 p- 范数地特例. (2> 矩阵范数 设,则 (1>,A地行范数 (2>,A地列范数 (3>,A地 2- 范数,也称谱范数 (4>, F- 范数 其中指矩阵地最大特征值 (3>谱半径(用于判断迭代法地收敛值> 设为矩阵A地特征值,则 称为A地谱半径 谱半径小于任何半径,若,则 (4>设A为非奇异矩阵,称 为A地条件数 矩阵地条件数与范数选取有关,通常有 显然当A对称时 直接法 Gauss消去法 ①Gauss顺序消去法 对线性方程组Ax=b,设,按顺序消元法,写出增广矩阵(A┆b>第一步,写出,将2～n行中地变为0 第k步,写出,将k+1～n行中地变为0 具体步骤可参照下面地例题 例5:用Gauss消去法解方程组 解: Guass列主元消去法 消去过程与Guass消元法基本相同,不同地是每一步消元时,都要将所选到地绝对值最大元素作为主元. 具体分析参见习题详解1 ②矩阵三角(LU>分解法 基本思想:将Ax=b化为LUx=b,令Ux=y 可得Ly=b,Ux=y,相当于先求出y,再求出x 其中,L,U分别为下三角矩阵和上三角矩阵 若L为单位下三角矩阵,则称为Doolittle分解。若U为单位上三角矩阵,则称为Crout分解. ③矩阵Doolittle分解法 计算公式 具体解题见习题详解2 注意计算顺序,先行再列,用简图表示为 虚线上地元素为对角元,划为行元. ④ 分解法 计算公式 探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数） 摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。 关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩 Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank 2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题知识框架 数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。 公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。 核心点拨 1、题型简介 未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。 在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。 2、核心知识 形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究： a.不定方程是否有解？ b.不定方程有多少个解？ c.求不定方程的整数解或正整数解。 （1）二元一次不定方程 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1： 二元一次不定方程， A.若其中，则原方程无整数解； B.若，则原方程有整数解； C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。 如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。 定理2： 若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。 方程的所有解（即通解）为（k为整数）。 （2）多元一次不定方程（组） 多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。 例： ②－①消去x得y+2z=11 ③ ③的通解为，k为整数。 所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。 （3）其他不定方程 3、核心知识使用详解 解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 （6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。 夯实基础 构建不定方程模型解决计数问题 许多组合问题看似与方程无关，若能去伪存真，转换思维角度，转化为不定方程整数解的模型，则往往能化繁为简、柳暗花明.1不定方程整数解的有关结论 定理1不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非负整数解的个数为Cnn+k-1. 证法1将不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk）对应于一个由n个圆圈“○”和k-1 个“+”组成的如图○...○x1个+○...○x2个+...+○ (x) 个所示的排列，每段圆圈“○”的个数即为原方程的一组非负整数解，易证对应关系是一对一的. 所以不定方程x1+x2+…+xk=n的非负整数解的个数就是n个圆圈“○”和k-1个“+”组成的直线排列数，即在n+k-1个位置中选k-1放置“+”（或选n个位置放置圆圈“○”），因此共有不同的排法种数为Ck-1n+k-1=Cnn+k-1. 证法2对不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk），令y1=x1+1，y2=x1+x2+2，…，yk=x1+x2+…+xk+k，则1≤y1 y2，…，yk）对应关系是一对一的，因此不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非负整数解的个数便是从n+k-1个数中取出的k-1个数的组合数，即Ck-1n+k-1=Cnn+k-1. 定理2不定方程x1+x2+…+xk=n（k≥2，n≥2，k≤n）的正整数解的个数为Ck-1n-1. 证法1设想将n个1排成一排，这n个1之间有n-1个空档，从n-1个空档中选k-1个放入k-1个“+”，共有Ck-1n-1种放法，这k-1个“+”把n个1分成k段，各段1的个数即为原方程的一组正整数解，这样“+”的每一种放法就对应着原不定方程的一组正整数解，所以原不定方程共有Ck-1n-1组解. 证法2令yi=xi-1，其中xi≥1，不定方程x1+x2+…+xk=n 的正整数解与不定方程y1+y2+…+yk=n-k非负整数解之间建立了一一对应关系，所以不定方程x1+x2+…+xk=n的正整数解组（x1，x2，…，xk）的组数与不定方程y1+y2+…+yk=n-k 非负整数解组（y1，y2，…，yk）的组数相等，由定理1知，方程y1+y2+…+yk=n-k有Cn-k（n-k）+k-1=Cn-kn-1=Ck-1n-1个非负整数解，所以方程x1+x2+…+xk=n有Ck-1n-1个正整数解.2利用不定方程整数解的结论解有限制条件的不定方程或不定方程组的整数解的个数问题 例1求方程2x1+x2+x3+…+x10=3的非负整数解的个数. 解析由题意，x1=0，1，故分情况讨论如下： 非齐次线性方程组同解的判定和同解类 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题. 预备知识 定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。 定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ，使得 PA B = 证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出， 于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无 关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =，12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵，且线性方程组的数值解法
二元一次不定方程的解法总结与例题
线性方程组解的情况及其判别准则
2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题
构建不定方程模型解决计数问题
非齐次线性方程组同解的判定和同解类