【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮开卷速查：5-5简单的三角恒等变换

开卷速查 规范特训

课时作业 实效精炼

开卷速查(24) 简单的三角恒等变换

一、选择题

1．若tan θ＋1

tan θ＝4，则sin2θ等于( ) A.15 B.14 C.13 D.12

解析：由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝1

4，则sin2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.

答案：D

2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3

3，则cos2α等于( ) A ．－5

3 B ．－5

9 C.59

D.53

解析：方法一：∵sin α＋cos α＝3

3， ∴(sin α＋cos α)2

＝1

3，

∴2sin αcos α＝－23，即sin2α＝－2

3.

又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝3

3>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3

4π(k ∈Z )， ∴4k π＋π<2α<4k π＋3

2π(k ∈Z )，

∴2α为第三象限角，

∴cos2α＝－1－sin 2

2α＝－5

3.

方法二：由sin α＋cos α＝3

3， 两边平方得1＋2sin αcos α＝1

3， ∴2sin αcos α＝－2

3.

∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝

(sin α－cos α)2

＝1－2sin αcos α＝15

3.

由??

?

sin α＋cos α＝3

3，

sin α－cos α＝

153，

得???

sin α＝3＋15

6

，cos α＝

3－15

6

.

∴cos2α＝2cos 2α－1＝－5

3. 答案：A

3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝10

10， 则α＋β等于( ) A.π4 B.3π4

C.π4和3π4

D ．－π4和－3π4

解析：由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2

α＝25

5， cos β＝1－sin 2β＝310

10.

所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝2

2， 所以α＋β＝π4. 答案：A

4．若α∈? ????0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.2

2 B.3

3 C. 2

D. 3

解析：∵α∈? ????0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝1

4， ∴cos α＝12或－1

2(舍去)， ∴α＝π

3，∴tan α＝ 3. 答案：D

5．若θ∈????

??π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ等于( ) A.3

5 B.45 C.74

D.34

解析：∵θ∈??????π4，π2，∴2θ∈????

??π2，π. ∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1

8， ∴sin θ＝

1－cos2θ2

＝3

4.

答案：D

6．已知tan(α＋β)＝2

5，tan ? ????β－π4＝14，那么tan ? ????α＋π4等于( )

A.13

18 B.13

22 C.322

D.16

解析：∵α＋π4＋β－π

4＝α＋β， ∴α＋π

4＝(α＋β)－? ????β－π4，

∴tan ? ????α＋π4＝tan ??????(α＋β)－? ?

???β－π4

＝tan (α＋β)－tan ?

?

???β－π41＋tan (α＋β)tan ? ?

??

?β－π4 ＝3

22. 答案：C

7．当－π2≤x ≤π

2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( ) A ．最大值是1，最小值是－1 B ．最大值是1，最小值是－1

2 C ．最大值是2，最小值是－2 D ．最大值是2，最小值是－1 解析：f (x )＝sin x ＋3cos x

＝2? ??

??12sin x ＋32cos x

＝2sin ? ?

?

??x ＋π3，

由－π2≤x ≤π2，得－π6≤x ＋π3≤5π6. 所以当x ＋π3＝π

2时，f (x )有最大值2， 当x ＋π3＝－π

6时，f (x )有最小值－1. 答案：D

8．已知f (x )＝sin 2? ?

???x ＋π4.若a ＝f (lg5)，b ＝f ? ??

??lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1

D ．a －b ＝1

解析：f (x )＝sin 2? ?

?

??

x ＋π4＝

1－cos ? ??

??

π2＋2x 2

＝1＋sin2x

2

， a ＝f (lg5)＝12＋1

2sin(2lg5)，

b ＝f ? ??

??

lg 15＝f (－lg5)

＝12＋1

2sin(－2lg5) ＝12－1

2sin(2lg5)， ∴a ＋b ＝1.选C 项． 答案：C

9.3－sin70°2－cos 210°等于( ) A.12 B.22 C ．2

D.32

解析：3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°

2－cos 210°

＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°

＝2(2－cos 210°)2－cos 10°＝2.故选C.

答案：C

10．函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在?

??

?

??0，π2上有零点，则实数m

的取值范围是( )

A ．[－1,1]

B ．[1，2]

C ．[－1，2]

D ．[－2，1]

解析：f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解， x ∈??????0，π2，即sin2x －cos2x ＝m 有解， 2sin ?

????2x －π4＝m 有解， ∵x ∈?

???

??0，π2，2x －π4∈?

???

??－π4，34π，

∴2sin ?

?

?

??2x －π4∈[－1，2]．

答案：C 二、填空题

11．已知cos ? ????α＋π4＝13，α∈? ????0，π2，则cos α＝__________. 解析：∵α∈? ????0，π2，cos ? ????α＋π4＝13＞0， ∴α∈? ????0，π4，α＋π4∈? ??

??

π4，π2，

∴sin ?

?

?

??α＋π4＝223，

cos α＝cos ? ?

?

??α＋π4－π4

＝cos ?

??

??α＋π4cos π4＋sin ?

?

?

??α＋π4·sin π4

＝2＋46. 答案：2＋4

6

12．设α为锐角，若cos ?

??

??α＋π3＝15，则cos ?

?

?

??α－π6＝__________.

解析：∵α为锐角，即0＜α＜π

2， ∴π3＜α＋π3＜5π6， ∵cos ? ?

???α＋π3＝15，

∴sin ? ??

??α＋π3＝1－cos 2? ?

?

??α＋π3＝26

5， ∴cos ? ?

???α－π6＝sin ??????π2＋? ????α－π6 ＝sin ?

?

?

??α＋π3＝265.

答案：265

13．已知sin α＝12＋cos α，且α∈? ??

??0，π2，则cos2αsin ?

??

?

?α－π4的值为__________． 解析：由题意知sin α－cos α＝1

2，

两边平方得sin2α＝3

4， ∴(sin α＋cos α)2

＝1＋sin2α＝7

4.

又α∈? ????0，π2， ∴sin α＋cos α＝72， cos2α

sin ? ?

???α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案：－14

2

14．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1

3，则sin A 的值为________． 解析：由题意知，C －A ＝π

2，且C ＋A ＝π－B ， ∴A ＝π4－B 2，

∴sin A ＝sin ? ????π4－B 2＝22? ????cos B

2－sin B 2，

∴sin 2

A ＝12(1－sin

B )＝1

3，

又sin A ＞0，∴sin A ＝3

3. 答案：3

3 三、解答题

15．已知函数f (x )＝sin2x －23·sin 2x ＋3＋1. (1)求f (x )的最小正周期及其单调递增区间；

(2)当x ∈????

??

－π6，π6时，求f (x )的值域．

解析：f (x )＝sin2x ＋3(1－2sin 2

x )＋1＝sin2x ＋3cos2x ＋1＝2sin ? ?

?

??2x ＋π3＋1.

(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π

2＝π.

由正弦函数的性质知，当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π

12≤x ≤k π＋π

12(k ∈Z )时，函数y ＝sin ? ????2x ＋π3为单调递增函数，∴函数f (x )的单调递增区间为?

??

???k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)∵x ∈?

???

??－π6，π6，

∴2x ＋π3∈?

??

?

??0，2π3，

∴sin ?

?

?

??2x ＋π3∈[0,1]，

∴f (x )＝2sin ? ?

???2x ＋π3＋1∈[1,3]．

∴f (x )的值域为[1,3]．

答案：(1)最小正周期为π，递增区间为???

?

??k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )；(2)[1,3]．

16．已知函数f (x )＝cos ? ????π3＋x ·cos ? ??

??π3－x ，g (x )＝12sin2x －1

4.

(1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．

解析：(1)∵f (x )＝cos ? ????π3＋x cos ? ????π3－x ＝? ????12cos x －32sin x ? ??

??12cos x ＋3

2sin x

＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8 ＝12cos2x －14，

∴f (x )的最小正周期为2π

2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x ) ＝12cos2x －1

2sin2x ＝22cos ? ??

??2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )取得最大值2

2. h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为 {x |x ＝k π－π

8，k ∈Z }．

答案：(1)π；(2)h (x )的最大值为22，此时x 的集合为{x |x ＝k π－π

8，k ∈Z }．

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1．[2014·大连模拟]2＋2cos8＋21－sin8化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4

D ．－2sin4

解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4，故选D.

答案：D

2．[2014·太原模拟]若sin ? ????π4＋α＝13，则cos ? ??

??

π2－2α等于( )

A.429 B ．－429 C.79 D ．－7

9 解析：据已知可得

cos ? ????π2－2α＝cos ??????π－2? ????π4＋α ＝－cos2? ????

π4＋α ＝－????

??1－2sin 2? ????π4＋α ＝－7

9，故选D. 答案：D

3．若1＋tan θ1－tan θ

＝2 013，则1cos2θ＋tan2θ＝__________.

解析：1cos2θ＋tan2θ＝1

cos 2θ－sin 2θ＋tan2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ－sin 2θ＋tan2θ＝

tan 2θ＋11－tan 2θ＋2tan θ

1－tan 2θ＝(tan θ＋1)2(1＋tan θ)(1－tan θ)＝1＋tan θ1－tan θ

＝2013.

答案：2013

4．[2014·湘潭模拟]已知tan(α－β)＝12，tan β＝1

3，且α∈(0，π)，则α＝__________.

解析：∵α＝(α－β)＋β，

∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β

，

∵tan(α－β)＝12，tan β＝1

3，tan α＝12＋131－12×13＝1，

又∵α∈(0，π)，∴α＝π

4. 答案：π4

5．[2014·东北三校联考]已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－5

13，求sin α. 解析：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∵|a －b |＝25

5， ∴

(cos α－cos β)2

＋(sin α－sin β)2

＝25

5，

即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝3

5. (2)∵0<α<π2，－π

2<β<0， ∴0<α－β<π，

∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝4

5， ∵sin β＝－513，∴cos β＝12

13， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β

＝45×1213＋35×? ??

??－513＝3365.