高考小题专项练习10

12＋4满分练(10)

1.已知集合A ＝{x |1＜x 2＜4}， B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A.{x |1＜x ＜2} B.{x |1≤x ＜2} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |－1≤x ＜2}

答案 A

解析 由题意，得 A ＝(

)1，2∪()－2，－1，故A ∩B ＝()

1，2. 2.设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >||y ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C

解析 1>－2不能推出||1>||

－2，反过来，若x >||y ，则x >y 成立，故为必要不充分条件. 3.i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C

解析 ∵z i ＝－1＋i ， ∴－z ＝－i －1，z ＝1＋i ，

故复数z 的实部与虚部的和是2，故选C.

4.将函数f (x )＝cos 2x 图象上所有点向右平移π

4个单位长度后得到函数g (x )的图象，若g (x )在区

间[0，a ]上单调递增，则实数a 的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.π2 D.3π4 答案 B

解析 将函数f (x )＝cos 2x 图象上的所有点向右平移π

4个单位长度后，得到g (x )＝sin 2x 的图象，

因为g (x )＝sin 2x 的增区间为????0，π4，所以实数a 的最大值为π4

. 5.5支篮球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛)，任两支球队之间获胜率都是1

2.单

循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则

名次相同.有下列四个命题：

p 1：恰有四支球队并列第一名为不可能事件； p 2：有可能出现恰有两支球队并列第一名； p 3：每支球队都既有胜又有败的概率为17

32；

p 4：五支球队成绩并列第一名的概率为3

32.

其中真命题是( )

A.p 1，p 2，p 3

B.p 1，p 2，p 4

C.p 1，p 3，p 4

D.p 2，p 3，p 4 答案 A

解析 5支球队单循环，共举行C 2

5＝10(场)比赛，共有10次胜10次负.由于以获胜场次数作

为球队的成绩，就算四支球队都胜1场，则第五支球队也无法胜6场，若四支球队都胜2场，则第五支球队也胜2场，五支球队并列第一，除此不会再有四支球队胜场次数相同，故p 1是真命题；会出现两支球队胜3场，剩下三支球队中两支球队各胜1场，另一支球队胜2场的情况，此时两支球队并列第一名，故p 2为真命题；由题意可知球队成绩并列第一名，各胜一场的概率为小于3

32

，排除p 4.故选A.

6.(2017届巴蜀中学期末)如图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y 值为3，那么应输入x 等于( )

A.1

B.2

C.3

D.6 答案 B

解析 运行程序，若x ＞6，则输出y ＝x －3，求得x ＝6，不符合题意；若x ∈(]

2，6，则输出y ＝6，不符合题意；若x ≤2，则输出y ＝5－x ，求得x ＝2.

7.若O 为坐标原点，已知实数x ，y 满足条件????

?

x ＋y ≥1，x －y ≥－1，

2x －y ≤2，在可行域内任取一点P ()x ，y ，

则OP 的最小值为( ) A.1 B.3 C.22 D.3

2

答案 C

解析 OP 表示原点到可行域的距离，画出可行域如图所示，由图可知，原点到直线x ＋y －1＝0的距离最小，最小距离d ＝

12＝2

2

.

8.如图所示为某物体的三视图，则该物体的体积为( )

A.8－5π12

B.8－π3

C.8－π2

D.8－7π12

答案 A

解析 由三视图可知，该几何体是由一个正方体在左下角截去一个底面半径为1，高为1的圆柱的14，在右上角截去一个半径为1的球的18，故体积为23－14·π·12·1－43·π·13·18＝8－5π12.

9.(2017·泉州模拟)设函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ(A >0，ω>0)，若f ????π2＝f ????2π3＝－f ????π6，且f (x )在区间????π6，π2上单调，则f (x )的最小正周期是( ) A.π6 B.π3 C.π

2 D.π 答案 D

解析 由正弦函数中f ????π2＝－f ????π6且在????π6，π2上单调，得f ????π3＝0，所以π2－π6≤T 2?函数周期T ≥2π

3

，

又f ????π2＝f ????2π3，则函数关于x ＝7π12对称， 则函数最小正周期为T ＝4×????7π12－π3＝π.故选D.

10.已知双曲线x 24－y 2

2＝1上有不共线三点A ，B ，C ，且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，

若满足OD ，OE ，OF 的斜率之和为－1，则1k AB ＋1k BC ＋1

k AC 等于( )

A.2

B.－3

C.－2

D.3 答案 C

解析 设A (

)x 1，y 1，B ()x 2，y 2，C ()

x 3，y 3， 将A ，B 两点的坐标代入双曲线方程， 作差并化简得y 1＋y 2x 1＋x 2＝12·x 1－x 2y 1－y 2，即k OD ＝1

2k AB

，

同理可得k OE ＝12k BC ，k OF ＝1

2k AC ，

依题意有k OD ＋k OE ＋k OF ＝12k AB ＋12k BC ＋12k AC

＝－1， 即

1k AB ＋1k BC ＋1

k AC

＝－2.

11.如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行.点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →

＝xOA →＋yOB →

，则x ＋y 的取值范围是( )

A.[]－4，4

B.[]－21，21

C.[]－5，5

D.[]－6，6 答案 C

解析 如图建立平面直角坐标系：

令正三角形边长为3， 则OB →＝i ，OA →

＝－32i ＋32j ，

可得i ＝OB →，j ＝233

OA →＋3OB →

，

由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →

， 此时x ＋y 有最大值5，

同理在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →

， 此时x ＋y 有最小值－5.

12.已知实数a >0，函数f (x )＝??

?

e x －

1＋a 2

，x ＜0，

e

x －1

＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a 2

，x ≥0，若关于x 的方程f [－f (x )]

＝e －

a ＋a 2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )

A.????1，2＋2e

B.????2，2＋2e

C.????1，1＋1e

D.????2，2＋1e 答案 B

解析 当x ＜0时， f (x )为增函数，

当x ≥0时， f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1， f ′(x )为增函数， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，

故函数在()0，1上单调递减，在()

1，＋∞上单调递增，最小值为f ()1＝0. 由此画出函数图象如图所示：

令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，

则有???

f ()t ＝e －a ＋a

2

，

f ()t ＝e

t －1＋a 2

?－a ＝t －1，

所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1， 要有三个不同的实数根，

则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解得2＜a ＜2e

＋2.

13.在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，AB ＝2AC ＝2，tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，则BC ＝_____. 答案

3

解析 如图：

设∠CAD ＝α，∠BAD ＝β，则∠CAB ＝α＋β， 由正弦定理得CD sin α＝AC sin ∠ADC

，

DB sin β＝AB

sin ∠ADB

，又sin ∠ADC ＝sin ∠ADB ，AB ＝2AC ，∴sin α＝2sin β， 由题意知tan ∠CAD ＝sin ∠BAC ，即tan α＝sin(α＋β)，即sin α

cos α＝sin(α＋β)，

故sin α＝sin(α＋β)·cos α， 从而可得2sin β＝sin(α＋β)·cos α.

变形得2sin []

(α＋β)－α＝sin(α＋β)·cos α， 展开得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α，

又cos α≠0，两边同除以cos α， 得sin(α＋β)＝2cos(α＋β)·tan α， 又tan α＝sin(α＋β)，

∴2cos(α＋β)＝1，∴cos(α＋β)＝12，

即cos ∠BAC ＝1

2.

由余弦定理，得BC ＝

AC 2＋AB 2－2·AC ·AB ·cos ∠BAC ＝

1＋4－2＝ 3.

14.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ， P A ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________. 答案 12π

解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当P A ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时P A ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.

15.(2017·巴蜀中学三模)已知P 为函数y ＝4

x 的图象上任一点，过点P 作直线P A ，PB 分别与圆

x 2＋y 2＝1相切于A ，B 两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，则△OMN 的面积为________. 答案 18

解析 设P ????x 0，4x 0，则||PO 2＝x 20＋16x 20

， ||P A 2＝||PB 2＝||PO 2－12＝x 20＋16

x

20

－1， 故以P 为圆心， P A 为半径的圆的方程为()

x －x 02＋????y －4x 02＝x 20＋16

x 20

－1， 联立x 2＋y 2＝1，

两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x ＋4

x 0y －1＝0，

故M ????1x 0

，0，N ???

?0，x 0

4， 所以△OMN 的面积为12·1x 0·x 04＝1

8

.

16.椭圆x 2

4＋y

2

3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，

Q 两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________. 答案

9π16

解析 令直线l ：x ＝my ＋1，

与椭圆方程联立消去x ，得()

3m 2

＋4y 2＋6my －9＝0，

可设P ()x 1，y 1，Q ()

x 2，y 2，

则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4， y 1y 2＝－9

3m 2＋4.

可知1F PQ S △＝1

2

||F 1F 2||y 1－y 2＝

()y 1

＋y 22

－4y 1y 2

＝12

m 2＋1

(

)

3m 2＋4

2

，

又

m 2＋1

(

)

3m 2＋42＝

1

9()

m 2＋1＋

1m 2＋1

＋6≤116

，

故1F PQ S △≤3.

三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍， 则内切圆半径r ＝

128

F PQ

S △≤34，其面积的最大值为9π16

.