圆锥曲线大题训练(文科)

卓越个性化教案GFJW0901

的取值范围；（Ⅲ）试用表示△

解析几何大题参考答案： 1．（共13分）

（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1

(0,)4F 的距离与动点P 到直线1

4

y =-

的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4

为焦点，直线1

4

y =-

为准线的抛物线．

所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分

（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．

由2,1,

y x y kx ?=?=+?得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02

k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为

2

k ． 由2y x =，可得'2y x = 所以当2

k

x =

时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠．

设直线l 的垂线为'l ：1

y x b k

=-

+． 代入2

y x =，可得2

1

0x x b k

+

-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，

则

34122x x k +=-，3

421

22y y b k +=+ 又3434

(

,)22

x x y y ++在l 上， 所以

211()122b k k k +=-+， 2

1122b k =-． 由方程（*）有两个不等实根

所以2

1()40b k

?=+>，即

221220k k

+-> 所以

212k <

，解得k <

或k >． ………………13分 2.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，

所以24622+=+c a ， ……………1分

又椭圆的离心率为

3

，即3c a =

，所以3

c =， ………………2分 所以3a =

，c =………………4分

所以1b =，椭圆M 的方程为19

22

=+y x . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1

--

=x n

y . 由22

(3),

1

9

y n x x y =-???+=??得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，

因为222819391n x n -=+，所以193

272

22+-=n n x ， ………………7分 同理可得2

2

19327n n x +-=， ………………8分

所以196

1||22

++=n n BC ，2

2

2961||n n n n AC ++=， ………………10分

9

64)1()

1

(2||||2

12+

++=

=?n n n n AC BC S ABC ， ………………12分 设21

≥+=n n t ，

则2223

899t S t t t ==≤++

， ………………13分

当且仅当3

8

=t 时取等号，

所以ABC ?面积的最大值为

8

3

. ………………14分 方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.

由22

,1,9

x ky m x y =+???+=?? 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，

则有12229km y y k +=-+，21229

9

m y y k -=+. ① ………………7分

因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ?=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，

得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，

得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.

将 ① 代入上式，解得 12

5

m =

或3m =（舍）. ………………10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12

(,0)5D ，与椭圆有两个交点），

所以121

||||2

ABC S DC y y ?=-

12==……………12分 设2

11,099

t t k =

<≤+，

则ABC S ?=所以当251

(0,]2889

t =

∈时，ABC S ?取得最大值83. ……………14分

3.（共13分）

解：（Ⅰ）依题意可得，

2

2

=a c ，c b =， 又2

2

2

c b a +=，

可得1,b a ==

所以椭圆方程为2

212

y x +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，

由22

1,1,2

y kx y x =+???+=??可得22(2)210k x kx ++-=． 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12222k x x k -+=

+，122

1

2

x x k =-+． 可得121224

()22

y y k x x k +=++=

+． 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为222

(,)22

k k k -++， 由题意有1-=?k k MN ，

可得

222

212

m k k k k -

+?=-+． 可得2

1

2m k =

+， 又0k ≠， 所以102

m <<

． （Ⅲ）设椭圆上焦点为F ，

则121

2

MPQ S FM x x ?=

??-

. 12x x -==

由2

12m k =

+，可得2

12k m

+=．

所以12x x -=

=

又1FM m =-，

所以MPQ S ?=

所以△MPQ 的面积为3

)1(2m m -（2

10<

可知)(m f 在区间)41,0(单调递增，在区间)2

1,41(单调递减． 所以，当41=

m 时，)(m f 有最大值6427)41(=f ． 所以，当41=

m 时，△MPQ 的面积有最大值8

63． 4. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知(

,0)2p

F ,设11(,)A x y ，则2112y px =， 圆心坐标为112(,)42

x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p

+， …………………2分

圆的半径为

1

121()2224

FA

x p p

x +=?--=， …………………4分 所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分 （Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ=,2BF FA λ=,得

111101(,)(,)2p x y x y y λ-

=--，22211(,)(,)22

p p

x y x y λ--=-， …………………6分 所以1111101,()2p

x x y y y λλ-=-=-，

221221(),22

p p

x x y y λλ-=-=-， …………………8分 由221y y λ=-，得2

22221y y λ=. 又2112y px =，2222y px =，

所以 2

221x x λ=. …………………10分 代入

221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2

p

x λλλ+=+， 整理得12

2p x λ=

， …………………12分

代入1112p x x λ-

=-，得122

222p p p λλλ-=-， 所以

1

2

2

1

1λλλ=-

， …………………13分 因为

1211

[,]42

λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分

解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2

p

AB x my =+

， 将2

p

x my =+

代入22y px =，得2220y pmy p --=， 所以212y y p =-（*）， …………………6分 由1FA AP λ=，2BF FA λ=，得

111101(,)(,)2p x y x y y λ-

=--，22211(,)(,)22

p p

x y x y λ--=-， …………………7分 所以，1111101,()2p

x x y y y λλ-=-=-，

221221(),22

p p

x x y y λλ-=-=-， …………………8分 将122y y λ-=代入（*）式，得2

2

1

2

p y λ=

， …………………10分

所以2

12

2p px λ=

，12

2p x λ=

. …………………12分

代入1112p x x λ-

=-，得122

1

1λλλ=-. …………………13分 因为1211

[,]42

λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分

6.解：（Ⅰ）由已知可得222

2

14

a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3

(1,)2M 在椭圆C 上，所以

221914a b

+= ② ……………2分 由①②解之，得2

2

4,3a b ==.

故椭圆C 的方程为22

143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 由22

,

1.4

3y kx m x y

=+???+=?

? 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，

222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ?=-+-=+-> ③ ……………8分

设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则

0120121222

86,()23434km m

x x x y y y k x x m k k

=+=-

=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 22

00

143

x y +=. ……………10分 从而2222222

16121(34)(34)

k m m k k +=++，化简得22

434m k =+，经检验满足③式. ………11分

又||OP ==

=

= ………………………12分

因为12k ≤

，得23434k <+≤，有233

1443

k ≤

<+，

2

OP ≤≤

. 即所求OP

的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，

由,A B 在椭圆上，可得221122

2234123412x y x y ?+=?+=?①②

………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分

由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=??

+=?④

⑤

……………………8分

由已知当12

12

y y k x x -=

- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分

把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分

与22003412x y +=联立消0x 整理得2

029

43

y k =+ ……………………11分

由22003412x y +=得2

2

00443

x y =-， 所以2

2

2

222000002413||4443343

OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤

，得23434k ≤+≤，有233

1443

k ≤

≤+，

OP ≤≤

. ………………………13分 所求OP

的取值范围是. ………………………14分 5.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B

为焦点，长轴长为

∴1c =

，a =2

2b =． ∴W 的方程是22132

x y +=． ………………4分

（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．

当0k =时，显然0m =； 当0k ≠时，

由221

13

2y kx x y =+???+=?? 得 22(32)630k x kx ++-=．

所以122632k x x k +=-

+， ∴1202

3232

x x k

x k +==-+， 从而002

2

132

y kx k =+=

+．

∴MN 斜率2002232332

MN

y k k k x m m

k +==

---+． 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥， ∴222

132332k k k m k +=---+ 即 212323k m k k k

=-=-

+

+6[(0,]∈．

故所求m

的取范围是[． ……………… 6.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意得22222411,,2a b a b c c a

?+=???

=+??

?

=??

解得a =b =

故椭圆C 的方程为22

163

x y +=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-，

由22(3),

1,6

3y k x x y =-??

?+=??得2222(12)121860k x k x k +-+-=. …………………5分

因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，

所以4222

1444(12)(186)24(1)0k k k k ?=-+-=->，解得11k -<<. ……6分

设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，

则21221212k x x k +=+，2122

186

12k x x k -=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．… 7分

所以1212(3)(3)BM BN x x y y ?=--+ ……………………………………8分 21212(1)[3()9]k x x x x =+-++

2

2

3312k k +=+

23322(12)

k =

++． ……………………………………9分

因为11k -<<，所以2332322(12)

k <

++≤． 故BM BN ?的取值范围为(2, 3]． ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得AM AN k k +121211

22

y y x x --=

+

-- ……………………………………11分 122112(31)(2)(31)(2)

(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=

--

121212122(51)()124

2()4

kx x k x x k x x x x -++++=

-++

222222

2(186)(51)12(124)(12)

186244(12)

k k k k k k k k k --+?+++=--++ 2244

222

k k -+=

=--． 所以AM AN k k +为定值2-． ……………………………………14分

7.石景山一模