广雅中学2015-2016学年度(上)高三期末监测试题

广雅中学2015-2016学年度（上）高三期末监测试题

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷

一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。）

1. 已知集合错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则=Q P ( ) A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引

用源。 D ．(0,1)

2. i 是虚数单位,复数错误！未找到引用源。的虚部为( ) A ．2i

B ．-2i

C ．2

D ．-2

3.将函数sin()()6

y x x R π

=+

∈的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的错误！未

找到引用源。倍，再把图象上各点向左平移4

π

个单位长度，则所得的图象的解析式为( ) A ．)6

52sin(π

+=x y 错误！未找到引用源。 B ．错误！未找到引用源。 )6

21sin(

π+=x y C ．错误！未找到引用源。)3

22sin(π

+=x y D ．错误！未找到引用源。

（第7题图）

4. 已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βα?⊥m m ,，则βα⊥； ②若α⊥⊥m n m ,，则α//n ；

③若βαα⊥,//m ，则β⊥m ； ④若m n m //,=βα ，且βα??n n ,， 则βα//,//n n ，其中真命题的个数是 （ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．设a ，b 是两个非零向量．下列命题正确的是（ ）

A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b

B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ使得a ＝λb

D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

6. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n

·1·3·…·（2n －1）”，从“n=k 到n=k+1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2(2k+1) B ．2k+1 C ．

112++k k D ．1

3

2++k k 7. 如果执行右边的程序框图，且输入6n =， 4m =，则输出的p = ( )

A ．240

B ．120

C ．720

D ．360

8.

） A 9.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教 (每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同 的选派方案共有( )种.

A.27

B.30

C.33

D.36

10. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤??

--≤??≥?时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围（ ）

A ．]2

3

,1[ B ．]2,1[- C ．)2,1[- D ．2

3,1[

11．已知函数2

2)1lg()(221---=x x x f ；()111)(2-+?-=x x x x f ；)1(log )(2

3++=x x x f a ，

A

B

C

D )1,0(≠>a a ；??

? ??+-?=21121

)(4x x x f ，()0≠x ，下面关于这四个函数奇偶性的判断正

确的是（ ）

A ．都是偶函数

B ．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数

C ．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数

D ． 一个奇函数，三个偶函数 12.若过点A (2，m )可作函数x x x f 3)(3-=对应曲线的三条切线，则实数m 的取值范围（ ） A ．]6,2[- B ．)1,6(- C ．)2,6(- D ．)2,4(-

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13. 在某项测量中，测量结果ξ～()

2,1σN ,若ξ在()2,0内取值的概率为,8.0则ξ在(]2,∞-内取值的概率为___________.

14．在5)1)(1(x x -+的展开式中4

x 的系数是 （用数字作答）. 15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且

.sin )2(sin )2(sin 2C b c B c b A a +++=则A 的大小是 ．

16. 如图，已知点A 、B 、C 、D 是球O 的球面上四点，DA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，

O 的体积等于___________.

三．解答题：（ 本大题8个小题 ，共70分,解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。） 17. （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项a a =1（0>a ）,该数 列的前n 项和为n S ，且

11a ，21a ，4

1

a 成等比数列, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ）设n n S

b 1

=

，1

21-=n a c n ，且n B 、n C 分别为数列{}n b ，{}n c 的前n 项和，当2n ≥时，试比较n B 与n C 的大小。

18. （本小题满分12分）如图，在Rt △ACD 中,CD=4，AD=32，

?=∠90CAD ，以CD 为轴，将△ACD 按逆时针方向旋转90°到 △BCD 位置，E 为AD 的中点： （Ⅰ）证明：AB ⊥CD

（Ⅱ）求二面角B-CE-D 的平面角的余弦值。

19. （本小题满分12分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

2

5

；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7

9

.（Ⅰ）

若袋中共有10个球，（i ）求白球的个数；（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望E ξ. （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于

7

10

.并指出袋中哪种颜色的球个数最少. 20．（本小题满分12分）如图在平面直角坐标系xOy 中，

已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2

＝4.

（Ⅰ）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23， 求直线l 的方程；（Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过 点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和 C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被C 2截得的弦 长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．

21. （本小题满分12分）已知函数x a x a ax x f ln )1(2

1)(22

++-=． （Ⅰ）若函数)(x f 在

e]上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当??

? ??∈53,0a 时，求)(x f 在[1，2]上的最大值和最小值．(注意:7.02ln <)

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1(几何证明选讲) 已知AD 为圆O 的直径，直线ＢＡ与圆Ｏ相切与点A ， 直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M

连接DC ，AB=10，AC=12。

（Ⅰ）求证：BA ·DC=GC ·AD ； （Ⅱ）求BM 。

23．（本小题满分10分）选修4－4（坐标系与参数方程） 已知曲线的极坐标方程是1=ρ，

C

A

以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为

???

???

?

+=+=t y t x 23221（t 为参数）.（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换?????==y

y x

x //

2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4－5（不等式选讲） 已知a ＋b ＝1，对a ?，b ∈（0，＋∞），1a

2x －1｜－｜x ＋1｜恒成立， （Ⅰ）求

1a ＋4

b

的最小值； （Ⅱ）求x 的取值范围。 参考答案

一、选择题：ABCCC ADDBA CC 6、试题分析：考点：数学归纳法

当k n =时，原式是()()()k k k k ++++......21，

当1+=k n 时，变为()()()()()2212......

32+++++k k k k k k ， 所以增乘的代数式是()()()

()12212212+=+++k k k k

二、填空题：13、 0.9 14、 -5 15、

,3

2π或 120 16、29π

三、解答题：

17.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论

思想。 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214

111

(

),a a a =?………………………1分 得2111()(3)a d a a d +=+，因为0d ≠，所以d a =………………………2分 所以na a n =………………………3分

1(1)

,.2

n n an n a na S +==

………………………4分 （II ）解：因为

1211()1

n S a n n =-+，所以 n B 123111121

(1)1

n A S S S S a n =

++++=-+ ………………………6分

因为1122n n a a --=，所以

n C 21122211()11111212(1).1212

n n

n

n

B a a a a a a --=++++=?=-- ………………………9分 当0122,21n n

n n n n n C C C C n ≥=++++>+ 时，………………………11分

即11

11,12

n n -

<-+ 所以，当0,n n

a A B ><时n B

⊥DC 平面ABH ,又因为?AB 平面ABH ………………………3分

所以CD AB ⊥………………………4分

(Ⅱ)分别以HD HB HA ,,为z y x ,,轴，建立如图所示的直角坐标系

由已知条件不难求得：1,3,3====HC HD HB AH ………………………5分 所以)0,0,3(A ,)0,3,0(B ,)1,0,0(-C ,)3,0,0(D ………………………6分

又因为点E 为中点，所以点)2

3,0,23(

E 所以)25,0,23(

=CE ,)2

3

,3,23(-=BE ，)0,3,0(=HB …………7分 设平面BCE 的一个法向量为),,(z y x =

所以???

???

?

=+-=?=+=?02

3

3230

25

23z y x z x 令3=x 解得：53=y ，53-=z 所以平面BCE 的一个法向量为)5

3

,53,

3(-=n …………9分 又⊥HB 平面DEC ,所以向量)0,3,0(=为平面DEC 的一个法向量……10分

设所求二面角是θ

，所以29

29

325

9253353cos =

?++

=

=

θ……12分 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力． 解：（Ⅰ）（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，

设袋中白球的个数为x ，则2102107

()19x C P A C -=-=，………………………2分

得到5x =．故白球有5个．………………………3分

（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是………………………4分

注解：（每算对2各给1分） ξ的数学期望 15513

0123121212122

E ξ=

?+?+?+?=．………………………8分 （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得2

5

y n =，

所以2y n <，21≤y n -，故

1

12

≤y n -．………9分 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则 23()551y P B n =

+?-231755210

≤+?=．………11分 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25

n ，红球的个数少于5n

．

故袋中红球个数最少．………12分

20. 解：(Ⅰ)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．………1分 设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，………2分

圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23， 所以d ＝22

－ 3 2

＝1. ………3分

由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－4 |

1＋k 2

，………4分 从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－7

24

，………5分

所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. ………6分

(Ⅱ)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，

则直线l 2的方程为y －b ＝－1

k

(x －a )．………7分

因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即

|1－k －3－a －b |1＋k

2

＝|5＋1

k 4－a －b |

1＋1k

2

，………9分 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，………10分

从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值有无穷多个，所以

????? a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或?

????

a －

b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，………11分 解得?????

a ＝52

，

b ＝－1

2

，或?????

a ＝－3

2

，

b ＝13

2

.

这样点P 只可能是点P 1? ????52，－12或点P 2? ??

??－32，132. 经检验点P

1和P 212分21.解（Ⅰ）)(x f 在e]上单调递减， 0)1(

)(2,≤+-+=∴a x a ax x f 在e]上恒成立………………………1分

方法一：)1(2+≤+

∴a x a

ax

x

x a a 1

11

2+≤+∴在e]上恒成立………2分 令),1(1

)(??

????∈+=e e x x

x x g ),1(11)(2

,??

?

???∈-=e e x x x g 令0)(,=x g 则1=x

0)(11

,<<≤x g x

时当; 0)(1,><≤x g e x 时当

1

1

111)(2+≥

+

∴

+≤+

=∴e e

x

x e

e x x x g ………4分 0))(1()1(1

12

22

2≥--=++-∴+≤+∴

e a ea e a e ea e e a a e a e

a ≥≤∴或1

……………6分

方法二：)1(2

+≤+∴a x a ax （可做如下分类讨论）

（1）当0≤a 时，结论显然成立………………………2分

（2）当0>a 时，可化为：a a x x 11+≤+对任意∈x e]上恒成立………3分 显然，当∈x ),0(+∞时，

对钩函数x

x x h 1

)(+

=在[]1,0上是减函数，在[]+∞,1上是增函数。…………4分

所以要使得)()(a h x h ≤在∈x e]上恒成立，只需e x 10≤<或e x ≥.………5分

综上：e a e

a ≥≤∴或1

（Ⅱ） x

a x ax x a x a ax a x a ax x f ))(1()1()1()(222

,

--=++-=+-+=

令0)(,=x f 则a x a

x ==或1

. ①0)(2

1

0,≤≤

1

)1(2

ln )1(22)2(2max 2min +-=

=++-==∴a a f y a a a f y ………………8分 ②时当

5

321≤

1,<<≤x f a x 时当

0)(21

,>≤

时当 a a a a a f y ln 21

)1(min ---==∴………………9分

2ln )1(2

3

)1()2(2a a a f f ++-=-

)5321(2ln )1(23)(2≤<++-=

x x x x x h 令 0)(53

212ln 223)(,,>∴≤<+-=∴x h x x x h

025

1

-2ln 532534109)53()(5321)(max <<+-==∴≤<=∴h x h x x h y 上单调递增在

)1(21

)1()2()1(2max +-==∴>∴a a f f f f ………………11分

综上所述: （1） 时当2

1

0≤

1

)1(2ln )1(22)2(2max 2min +-=

=++-==a a f y a a a f y （2） 时当

5321≤

a a f y ln 21

)1(min ---==

)1(2

1

)1(2ln )1(22)2(2max 2min +-=

=++-==a a f y a a a f y ……12分 选做题 22．（本小题满分10分）选修4-1(几何证明选讲) （Ⅰ）证明：因为AC OB ⊥，所以090AGB ∠=

又AD 是圆O 的直径，所以090DCA ∠=………………………1分

又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角）………………………2分

所以Rt AGB ?∽Rt DCA ?，所以BA AG

AD DC

=………………………3分 又因为OG AC ⊥，所以GC AG =………………………4分

所以BA GC

AD DC

=，即BA DC GC AD ?=?………………………5分 （Ⅱ）解：因为12AC =，所以6AG =，

因为10AB =，所以8BG =

=………………………6分

由（1）知：Rt AGB ?∽Rt DCA ?，所以

AB BG

AD AC

= 所以15AD =，即圆的直径215r =………………………8分

又因为()2

2AB BM BM r =?+，即2

151000BM BM +-=………………9分

解得5BM =．………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4－4（坐标系与参数方程）

解 ：（I ）直线l 的方程为：0323=-+-y x .……………………………2分

曲线C 的方程为：122=+y x ………………………………………4分

（II ）∵??

?='='y

y x x ,

2

∴将?????'

='=y y x x ,2代入C ，得C '：1)(4)(22='+'y x ，

即椭圆C '的方程为14

22

=+y x . ………………………………6分 设椭圆的C '参数方程为??

?==?

?sin ,

cos 2y x （?为参数），……………………………8分

)

6

sin(4sin 32cos 232π???+

=+=+y x ………………………………9分 ∴y x 32+的最小值为4-. ……………………………………10分 24. 解：（Ⅰ）∵0,0a b >>且1a b +=，

∴ 14144()()59b a

a b a b a b a b

+=++=++≥，…………………3分 当且仅当4b a

a b

=，即13a =，23b =时，14a b +取最小值9．……………4分

（Ⅱ）因为对,(0,)a b ∈+∞，使14

211x x a b

+≥--+恒成立，

所以

2119

x x --+≤， …………………6分

当1x ≤-时，不等式化为29x -≤， 解得71x -≤≤-；…………………7分

当112x -<<时，不等式化为39x -≤，解得1

12

x -<<；…………………8分 当1

2

x ≥时，不等式化为29x -≤， 解得1112x ≤≤；…………………9分

∴x 的取值范围为711x -≤≤． …………………10分