MATLAB经典数学建模教程

第 1 节Matlab 基本知识

一、Matlab 的主要功能

Matlab是一种功能非常强大的工程语言，诞生于20世纪70年代，1984年正式推向市场。2002年8月，Matlab6.5开始发布。是进行科学研究和产品开发必不可少的工具。

●数值和符号计算

矩阵(数组)的四则运算（Matrix＋Laboratory）、数值差分、导数、积分、求解微分方程、微分方程的优化等

●数字图像、数字信号处理

●工程和科学绘图

●控制系统设计

●财务工程

●建模、仿真功能

二、Matlab 的界面

1.命令窗口（Command Window）：

Matlab各种操作命令都是由命令窗口开始，用户可以在命令窗口中输入Matlab命令，实现其相应的功能。此命令窗口主要包括文本的编辑区域和菜单栏（如：四则运算；“;”禁止显示变量的值；↑↓遍历以前的命令）。在命令窗口空白区域单击鼠标右键，打开快捷菜单，各项命令功能如下：

Evaluate Selection :打开所选文本对应的表达式的值。

Open Selection :打开文本所对应的MatLab文件。

Cut :剪切编辑命令。

Paste :粘贴编辑命令。

2. M-文件编辑/调试（Editor/Debugger）窗口

Matlab Editor/Debugger窗口是一个集编辑与调试两种功能于一体的工具环境。

M-文件（函数文件）

●什么是M-文件：它是一种和Dos环境中的批处理文件相似的脚本文件，对于简单问题，

直接输入命令即可，但对于复杂的问题和需要反复使用的则需做成M－文件（Script File）。

●创建M-文件的方法：

Matlab命令窗的File/New/M-file。

在Matlab命令窗口运行edit。

●M－文件的扩展名：*.m

●执行M-文件：F5

●M文件的调试

选择Debug菜单，其各项命令功能如下：

Step :逐步执行程序。

Step in :进入子程序中逐步执行调试程序。

Step out :跳出子程序中逐步执行调试程序。

run:执行M-文件。

Go Until Cursor :执行到光标所在处。

Exit Debug Mode :跳出调试状态。

●函数文件的创建要求：文件名与函数名必须相同，如sin(x)必有sin.m函数文件存在。

要求实参和形参位置一一对应。形参在工作空间中不会存在。

可以编写递归函数，可以嵌套其他函数。

可以用return命令返回，也可以执行到终点返回

3.工作空间（Workspace）窗口：

显示目前保存在内存中的Matlab的数学结构、字节数、变量名以及类型窗口。

保存变量：File菜单\Save Workspace as 命令行：save 文件名

装入变量：File菜单\Import Data 命令行：Load 文件名

4.现在目录窗口（Current Directory）

5.命令历史窗口（Command History ）：提供先前使用过的函数，可以复制或者再次执行这些命令。

Matlab帮助系统

Matlab在命令窗口提供了可以获得帮助的命令，用户可以很方便的获得帮助信息。例如：在窗口中输入“help fft”就可以获得函数“fft”的信息。常用的帮助信息有help ,demo ,doc ,who ,whos ,what ,which ,lookfor ,helpbrowser ,helpdesk ,exit ,web 等。

三、关于变量

变量命名规则：

●变量名是不包含空格的单个词

●变量名区分大小写

●变量名必须以字母开头的字母、数字、下划线的组合，最多19个字符。

●Matlab提供的标准函数名均以小写字母开头

特殊变量名：

●ans 缺省变量名

●pi 圆周率

●i，j 虚数单位

●eps 无穷小

●inf ，Inf 无穷大

●realmax 最大正实数

●realmin 最小正实数

清除变量的值

●clear

●clear 变量名1 变量名2

显示驻留内存的变量名

●who

●whos

第 2 节Matlab编程

一、矩阵（数组）的输入

1、直接输入

直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；多维矩阵用多重方括弧。可建立复数矩阵

如：Null_M = [ ] %生成一个空矩阵

可建立复数矩阵

R=[1,2,3;4,5,6]

I=[7,8,9;10,11,12]

Z=R+I*j

2. 由M文件方式建立，今后使用键入M文件名即可建立相应矩阵

2、利用函数输入

“：”表达式，产生等差行向量start：step：end 或start：end（step＝1）如：t＝1：20

产生等距输入：linspace（a,b,n）将〔a,b〕区间分成n－1个等距小区间

产生随机排列：randperm(n) 产生1～n之间整数的随机排列

3、特殊矩阵输入

以下各函数同理具有该类型。

ones（a，b）元素全为1的a×b维矩阵

eye（a，b）对角线上的元素为1的a×b维矩阵

rand（a，b）产生a×b维均匀分布的随机矩阵，其元素在（0，1）内

rand 无变量输入时只产生一个随机数

randn（a，b）产生a×b维正态分布的随机矩阵

4.矩阵的转置和逆矩阵

?X的转置：X’( 图像顺时针旋转90°，并水平镜像)

如：a=imread('D:\2-1.bmp');

b=a';

subplot(1,2,1),subimage(a),subplot(1,2,2),subimage(b)

?X的逆矩阵inv(X)

二、矩阵元素的访问及其大小的确定

访问第n个元素：X（n）（n>=1）

访问多个元素：X ([n1，n2，n3……]) 或X（1:10）

确定元素的个数：numel(X)

确定矩阵的大小：[m,n,l]=size(X)

三、矩阵的算数运算

●数与矩阵的运算：m等价于m.

m＋A : m与A中各元素相加

m－A : m与A中各元素相减

m×A : m与A中各元素相乘

m. /A : m除以A中各元素（没有m/A）

m \ A : A中各元素除以m

矩阵与矩阵的运算

A＋B: A、B对应元素相加

A－B: A、B对应元素相减

A×B: A、B矩阵按线性代数中矩阵乘法运算进行相乘（注意维数匹配）

A.*B: A、B对应元素相乘（注意维数相同）

A / B: A除以B矩阵（?A×B－1）（注意维数匹配）

A./B: A除以B中各元素

A \ B: B除以A矩阵（?A－1×B）（注意维数匹配）

A.\B: B除以A中各元素

A^m：相当于矩阵A×矩阵A×矩阵A…….（m为小数即是矩阵的开方运算）（注意维数匹配）

A.^m：矩阵A中各元素的m次方

A.^B：矩阵A中各元素的进行B中对应元素次方（注意维数相同）

四、关系运算

<、<=、>、>=、= =、~ = 六种关系运算符。关系成立结果为1，否则为0。

五、逻辑运算

设矩阵A和B都是m×n矩阵或其中之一为标量，在MATLAB中定义了如下的逻辑运算：&、|、~、xor（真为1，假为0）

（1）矩阵的与运算

格式A&B或and(A, B)

说明A与B对应元素进行与运算，若两个数均非0，则结果元素的值为1，否则为0。

（2）或运算

格式A|B或or(A, B)

说明A与B对应元素进行或运算，若两个数均为0，则结果元素的值为0，否则为1。

（3）非运算

格式~A或not (A)

说明若A的元素为0，则结果元素为1，否则为0。

（4）异或运算

格式xor (A,B)

说明A与B对应元素进行异或运算，若相应的两个数中一个为0，一个非0，则结果为0，否则为1。

六、集合运算

1．两个集合的交集intersect

2．检测集合中的元素ismember

3．两集合的差setdiff

4．两个集合交集的非（异或）函数setxor

5．两集合的并集union

6．取集合的单值元素 unique

七、MatLab 的控制流

由各种语句构成 语句后面加“；”号，不显示运算结果 ％开头表示是注释语句 赋值语句 变量＝表达式

表达式 （相当于将值付给ans 变量）

演示（三）

for 循环结构

【例】一个简单的for 循环示例。

for i=1:10; %i 依次取1,2,…10,.

x(i)=i; %对每个i 值，重复执行由该指令构成的循环体， end;

x

%要求显示运行后数组x 的值。

x =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

while 循环结构

【例】Fibonacci 数组的元素满足Fibonacci 规则：12+++=k k k a a a ，),2,1( =k ；且

121==a a 。现要求计算出该数组中第一个大于10000的元素。

a(1)=1;a(2)=1;i=2; while a(i)<=10000 a(i+1)=a(i-1)+a(i); %当现有的元素仍小于10000时，求解下一个元素。

i=i+1;

end; i,a(i), i =

21 ans =

10946

if-else-end 分支结构

【例1】一个简单的分支结构。

cost=10;number=12; if number>8

sums=number*0.95*cost; end,sums sums = 114.0000

【例2】用for 循环指令来寻求Fibonacc 数组中第一个大于10000的元素。

n=100;a=ones(1,n);

for i=3:n

a(i)=a(i-1)+a(i-2);

if a(i)>=10000

a(i),

break; %跳出所在的一级循环。

end;

end,i

ans =

10946

i =

21

switch-case结构

【例】学生的成绩管理，演示switch结构的应用。

clear;

%划分区域：满分(100)，优秀(90-99)，良好(80-89)，及格(60-79)，不及格(<60)。

for i=1:10;a{i}=89+i;b{i}=79+i;c{i}=69+i;d{i}=59+i;end;c=[d,c];

Name={'Jack','Marry','Peter','Rose','Tom'}; %元胞数组

Mark={72,83,56,94,100};Rank=cell(1,5);

%创建一个含5个元素的构架数组S，它有三个域。

S=struct('Name',Name,'Marks',Mark,'Rank',Rank);

%根据学生的分数，求出相应的等级。

for i=1:5

switch S(i).Marks

case 100 %得分为100时

S(i).Rank='满分'; %列为'满分'等级

case a %得分在90和99之间

S(i).Rank=' 优秀'; %列为'优秀'等级

case b %得分在80和89之间

S(i).Rank=' 良好'; %列为'良好'等级

case c %得分在60和79之间

S(i).Rank=' 及格'; %列为'及格'等级

otherwise %得分低于60

S(i).Rank='不及格'; %列为'不及格'等级

end

end

%将学生姓名，得分，登记等信息打印出来。

disp(['学生姓名 ',' 得分 ',' 等级']);disp(' ')

for i=1:5;

disp([S(i).Name,blanks(6),num2str(S(i).Marks),blanks(6),S(i).Rank]); end;

学生姓名得分等级

Jack 72 及格

Marry 83 良好

Peter 56 不及格

Rose 94 优秀

Tom 100 满分

try-catch结构

【例】try-catch结构应用实例。

clear,N=4;A=magic(3); %设置3行3列矩阵A。

try

A_N=A(N,:), %取A的第N行元素

catch

A_end=A(end,:), %如果取A(N,:)出错，则改取A的最后一行。end

lasterr %显示出错原因

A_end =

4 9 2

ans =

Index exceeds matrix dimensions.

第二章 符号数学工具（Symbolic Math Toolbox ）

第 1 节 符号表达式

● 符号表达式是代表数字、函数、算子和变量的MATLAB 字符串，或字符串数组。不要求变量有预先确定的值，符号方程式是含有等号的符号表达式。如表2.1所列。

表2.1

符号表达式

在MATLAB 中的表示

12x n

' 1/(2*x^n) '

1

2y x

=

y= ' 1/sqrt(2*x) ' cos()sin()x x 22-

' cos(x^2)-sin(2*x) ' M a b c d =????

?

?

M=sym( ' [a ，b ；c ，d] ' )

x x

dx a

b

3

1-?

f=int( ' x^3/sqrt(1-x) ' ， ' a ' ， ' b ' )

注意：加单引号’’表示是一个符号表达式而不是数字表达式。

● 符号函数：让用户操作上述符号表达式的方法和函数，比如：

>> diff( 'cos(x)' ) % differentiate cos(x) with respect to x ans= -sin(x)

>> M=sym( '[a ，b ；c ，d] ') % create a symbolic matrix M M= [a ，b] [c ，d]

注意：1.建立符号数组时，最好用上函数sym

2.许多符号函数可以自动将字符转变为符号表达式。例如diff cos(x) 也可以， >> diff x^2+3*x+5 % the argument is equivalent to ' x^2+3*x+5 '

● 符号变量是符号表达式中的变量，如：’x+3*y+z ’中的x,y,z 。

● 独立变量是当符号表达式中含有多于一个的变量时，只有一个变量是独立变量。缺省的独立变量是x ，如果没有x ，则选择最靠近x 的作为独立变量。如表达式 ' 1/(5+cos(x)) ' 中

是' x ' ；在' 3*y+z ' 中是' y ' ；在' a+sin(t) ' 是' t ' ，而表达式' sin(pi/4)-cos(3/5) ' 是一个符号常数无符号变量。可利用函数symvar询问MATLAB在符号表达式中哪一个变量它认为是独立变量(系统找不到一个独立变量，便假定无独立变量并返回x)。

>> symvar( ' a*x+y*) % find the default symbolic variable

ans=

x

>> symvar( ' a*t+s/(u+3) ' ) % u is the closest to ' x '

ans=

u

>> symvar( ' sin(omega) ' ) % ' omega ' is not a singlee character。

ans=

x

>> symvar( ' 3*i+4*j ' ) % i and j are equel to sqrt(-1)

ans=

x

指定独立变量：

>> diff( ' x^n ' ) % differentiate with respect to the default variable ' x '

ans=

x^n*n/x

>> diff( ' x^n ' ，' n ' ) % differentiate x^n with respect to ' n '

ans=

x^n*log(x)

>> diff( ' sin(omega) ' ) % differentiate using the default variables (x)

ans=

>> diff( ' sin(omega) ' ，' omega ' ) % specify the independent variable

ans=

cos(omega)

第 2 节符号表达式运算（目的：更方便的构造符号表达式）

标准代数运算：

symadd、symsub、symlnul、symdiv：分别为加、减、乘、除两个表达式

sympow：将一个表达式上升为另一个表达式的幂次

例如：给定两个函数

2357

=+-=-+

f x x

g x x

22

>> f= ' 2*x^2+3*x-5 ' % define the symbolic expression

f=

2*x^2+3*x-5

>> g= ' x^2-x+7 '

g=

x^2-x+7

>> symadd(f，g) % find an expression for f+g

ans=

3*x^2+2*x+2

>> symsub(f，g) % find an expression for f-g

ans=

x^2+4*x-12

>> symmul(f，g) % find an expression for f*g

ans=

(2*x^2+3*x-5)*(x^2-x+7)

>> symdiv(f，g) % find an expression for f/g

ans=

(2*x^2+3*x-5)/(x^2-x+7)

>> sympow(f,'3*x') % find an expression for f3*

ans =

(2*x^2+3*x-5)^(3*x)

联接运算：

symop：取由逗号隔开的、多至16个参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子(' + '、' - '、'*'、' / '、' ^ '、' ( '或' ) ')，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式.

>> f= ' cos(x) ' % create an expression

f=

cos(x)

>> g= ' sin(2*x) ' % create another expression

g=

sin(2*x)

>> symop(f，'/ ＇，g，'+'，3) % combine them

ans=

cos(x)/sin(2*x)+3

高级运算：

compose:把f(x)和g(x)复合成f(g(x))；

finverse: 求函数的逆函数；

symsum：求表达式的序列和。

compose

给定表达式

f

x g x h

u

=

+==

+

1 1

1

1

22

sin()k=sin(v)

>> syms x y u v

f = 1/(1 + x^2);

g = sin(y);

h = 1/(1+u^2); k= sin(v);

% create the four expression

>> compose(f，g) % find an expression for f(g(x))

ans=

1/(1+sin(y)^2)

>> compose(g，f) % find an expression for g(f(x))

ans=

sin(1/(1+x^2))

用于含有不同独立变量的函数表达式:

>> compose(h，k，'u'，'v') % given h(u)，k(v)，find(k(v))

compose(h，k) % 结果一样

ans=

1/(1+sin(v)^2)

finverse

表达式譬如f(x)的函数逆g(x)，满足g(f(x))=x。例如，e x的函数逆是ln(x)，因为ln(e x)=x。

sin(x)的函数逆是arcsin(x)，函数

1

tan()x

的函数逆是arcsin()

1

x

。函数finverse返回表达式的

函数逆。如果解不是唯一就给出警告。

>> syms x a b c d z

>> finverse(1/x) % the inverse of 1/x is 1/x since ' 1/（1/x)=x '

ans=

1/x

>> finverse(x^2 ) % g(x^2)=x has more than one solution

Warning：finverse(x^2) is not unique

ans=

x^(1/2)

>> finverse(a*x+b ) % find the solution to ' g(f(x))=x '

ans=

-(b-x)/a

>> finverse( a*b+c*d-a*z ,' a ' ) % find the solution to ' g(f(a))=a '

ans=

-(c*d-a)/(b-z)

symsum

求表达式的序列和有四种形式： symsum(f)返回

f x x ()0

1-∑；

symsum(f ，' s ' )返回

f s s ()01

-∑，

symsun(f ，a ，b)返回

f x a

b

()∑；

symsun(f ， ' s ' ，a ，b)返回

f s a

b

()∑。

1. x x 2

1

-∑，它应返回： x x x

32326-+。

>> syms n x ％一定要定义符号变量，即使是x

>> symsum(x^2) ans= 1/3*x^3-1/2* x^2+1/6*x

2. ()2121

n n

-∑，它应返回

n n n ()()

21213

-+。

>> symsum((2*n-1)^2,1,n) ans= 11/3*n+8/3-4*(n+1)^2+4/3*(n+1)^3

3.1

212

1()

n -∞

∑，返回应是π28。

>> syms n

>> symsum( 1/(2*n-1)^2,1,inf) ans= 1/8*pi^2

变量替换：

subs 将某个符号变量用另一个符号变量来表示。

格式：subs （f ，old ，new ）如：

>> f= ' a*x^2+b*x+c ' % create a function f(x)

f=

a*x^2+b*x+c

>> subs(f,'x','s') % substitute ' s ' for ' x ' in the

expression f

ans=

a*s^2+b*s+c

>> subs(f,'a','alpha') % substitute ' alpha ' for ' a ' in f

ans=

alpha*x^2+b*x+c

求符号表达式的函数值

为了得到数字，需要使用函数eval 来转换字符串。

>> syms x

>> f=symsum(x^2)

>> x=2

>> eval（f）

第 3 节微积分（Calculus）函数

微分和积分广泛地用在许多工程学科，这部分的主要函数有：

diff（）：Differentiate.（微分）

Int（）：Integrate（积分）

Jacobian（）：Jacobian matrix（雅可比行列式）

Limit（）：Limit of an expression.（极限）

Symsum（）：Summation of series（序列和）

Taylor（）：Taylor series expansion（泰勒级数）

微分和差分:diff

>> f= ' a*x^3+x^2-b*x-c ' % define a symbolic expression

f=

a*x^3+x^2-b*x-c

>> diff(f) % differentiate with respect to the default variable x

ans=

3*a*x^2+2*x-b

>> diff(f，'a ') % differentiate with respect to a

ans=

x^3

>> diff(f，2) % differentiate twice with respect to x

ans=

6*a*x+2

>> diff(f，' a '，2) % differentiate twice with respect to a

ans=

>> m=[(1：8).^2)] % create a vector

M=

1 4 9 16 25 36 49 64

>> diff(M) % find the differences between elements

ans=

3 5 7 9 11 13 15

如果diff的表达式或可变参量是数值，MATLAB就非常巧妙地计算其数值差分；如果参量是符号字符串或变量，MATLAB就对其表达式进行微分。

积分int：

格式：int(f)，其中f是一符号表达式，它力图求出另一符号表达式F使diff(F)=f。

注意：积分或逆求导不一定是以封闭形式存在，或存在但软件也许找不到，或者软件可明显地求解，但超过内存或时间限制。当MATLAB不能找到逆导数时，它将返回未经计算的命令。

>> int( ' log(x)/exp(x^2) ' ) % attempt to integrate

ans=

log(x)/exp(x^2)

积分函数的多种形式：

int(f)：相对于缺省的独立变量x求逆导数

int(f，' s ')：相对于符号变量s积分

int(f，a，b)和int(f，' s '，a，b)：a，b是数值，求解符号表达式从a到b的定积分

int(f，' m ' ，' n ')和形式int(f，' s '，' m '，' n ')：其中m，n是符号变量，求解符号表达式从m到n的定积分。

>> f=' sin(s+2*x) ' % crate a symbolic function

f=

sin(s+2*x)

>> int(f) % integrate with respect to x

ans=

-1/2*cos(s+2*x)

>> int(f，' s ') % integrate with respect to s

ans=

-cos(s+2*x)

>> int(f，pi/2，pi) % integrate with respect to x from π/2 toπ

ans=

-cos(s)

>> int(f，' s '，pi/2，pi) % integrate with respect to s from π/2 to π

ans=

2*cos(x)^2-1-2*sin(x)*cos(x)

>> int(f，' m '，' n ') % integrate with respect to x from m to n

ans=

-1/2*cos(s+2*n)+1/2*cos(s+2*m)

diff 和int 均可以对符号数组的每一个元素进行运算。

>> F=sym( '[a*x,b*x^2;c*x^3,d*s] ' ) % create a symbolic array

F =

[ a*x, b*x^2]

[ c*x^3, d*s]

>> int(F) % ubtegrate the array elements with respect

to x

ans=

[1/2*a*x^2，1/3*b*x^3]

[1/4*c*x^4，d*s*x]

第 4 节数字信号处理常用Matlab函数简介

一、典型离散信号表示方法

1.单位冲击序列δ(n)

δ(n)可以用zero函数来实现：

x=zeros(1,N);

x(1)=1;

2.单位阶跃序列u(n)

可以用ones函数来实现

X=ones(1,N);

3.正弦序列

n=0:N-1;

x=A*sin(2*pi*f*n*Ts);

4.指数序列

N=1:N;

X=a.*^n;

5.复指数序列

n=0:N-1;

x=exp(j*w*n);

6.随机序列

Rand(1,N) :产生[0，1]上的均匀分布的随机序列；

Rand(1,N) :产生均值为0，方差为1的高斯随机序列，即白噪声序列。

二、滤波器分析与实现

滤波器分析与实现常用函数

abs 求绝对值

angle 求相角

conv 求卷积

conv2 求二维卷积

deconv 翻卷积

f1 filt 重叠相加法fft滤波器实现

filter 直接滤波器实现

filter2 二位数字滤波器

filtfilt 零相位数字滤波器

filtic Filter初始条件选择

freqs 模拟滤波器频率响应

freqspace 画出频率响应曲线

freqz 数字滤波器频率响应

freqzplot 画出频率响应曲线

gGrpdelay 平均滤波延迟

latcfilt 格型滤波实现

impz 数字滤波器中的单位冲击响应

medfilt1一维中值滤波

sosfilt 二次分式滤波器实现

zplane 离散系统零、极点图

upfirdn 上抽样

unwrap 去除相位

1.abs

y=abs(x) 计算x的绝对值，当x为复数时，其算其模值。当x为字符串时，计算各个字符的ASCII码。

2. angle

φ= angle(h) 计算复矢量或者复矩阵的相角（以弧度为单位），相角介于-л～л之间。３．conv

c=conv(a,b) 对序列a,b进行卷积运算。

４．filter

y=filter(b,a,x)计算输入信号x的滤波器输出，向量a,b分别是所采用的滤波器的分子系数向量和滤波器的分母向量。

[y,zf]=filter(b,a,x,zi) 参数zi指定滤波器的初始条件，其大小为

zi=max(length(a),length(b))-1

y=filter(b,a,x,zi,dim) dim指定滤波器的维数。＇zi＇＝［］或０表示空集。

5. impz

［h，t］=impz(b,a)

返回参数h是冲击相应的数值；返回t是冲击相应的抽样时间间隔。

［h，t］=impz(b,a，N)

N用来制定冲激信号长度。如果N是一个整数向量，只返回N元素所对应时刻的抽样数值的冲击结果。N为［］，表示不制定冲激信号的长度，其长度与滤波器结构保持一致。

［h，t］=impz(b,a,N,fs)

Fs用来指定冲击信号的抽样频率，默认值是１。

三、信号变换

常用变换函数

czt Chirp z变换

dct 离散余弦变换

dftmtx 离散傅里叶变换

fft 一维快速傅里叶变换

fft2 二维快速傅里叶变换

fftshift 重新排列fft输出

Hilbert Hilbert变换

idct 离散余弦反变换

ifft 一维快速傅里叶反变换

ifft2 二维快速傅里叶反变换

１．fft

Y=fft(X)

若X是向量，则采用傅里叶变换求解X离散傅里叶变换；若X是矩阵，则计算该矩阵每一列的离散傅里叶变换。

Y=fft(X,N)

N是进行离散傅里叶变换的X的数据长度，可以通过对X进行补或截取来实现。

Y=fft(X,［］,dim)

在参数dim指定的维上进行傅里叶变换。X是矩阵时，dim用来指变换的实施方向：dim＝１，表明变换按列进行；dim＝２，表明变换按行进行。

第 5 节方程求解

一、求解单个变量的代数方程：利用solve函数

1.没有＝号的表达式，用solve将其置成等于0。

>> solve( ' a*x^2+b*x+c ' ) % solve for the roots of the quadratic

eqution

ans=

[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^1/2)]

[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^1/2)]

注：方程有2个解。

2.对其他非缺省变量求解，在solve 中指定出该变量。

>> solve( ' a*x^2+b*x+c ' ，' b ' ) % solve for b

ans=

-(a*x^2+c)/x

3.对带有等号的方程求解。

>> f=solve( ' cos(x)=sin(x) ' ) % solve for x f= 1/4*pi

>> t=solve( ' tan(2*x)=sin(x) ' ) t =

[ 0] [ pi] [ atan(1/2*(-2*3^(1/2))^(1/2),1/2+1/2*3^(1/2))] [ atan(-1/2*(-2*3^(1/2))^(1/2),1/2+1/2*3^(1/2))] [ atan(1/2*2^(1/2)*3^(1/4)/(1/2-1/2*3^(1/2)))+pi] [ -atan(1/2*2^(1/2)*3^(1/4)/(1/2-1/2*3^(1/2)))-pi]

二、单个常微分方程求解：利用 dsovle 函数

dsovle 函数的句法：用字母D 来表示求微分，D2，D3等等表示二阶、三阶微分，并以此来设定方程。任何D 后所跟的字母为因变量。方程d y dx 22/=0用符号表达式D2y=0来表示。独立变量可以指定或由symvar 规则选定为缺省。

例1，求一阶方程dy/dx =1+y 2的解，其通解为：

>> dsolve( ' Dy=1+y^2 ' ) % find the general solution

ans= tan(t+C1) ％C1是积分常数

给定初值y(0)=1的方程的解：

>> dsolve('Dy=1+y^2 ',' y(0)=1 ') % add an initial condition y= tan(t+1/4*pi) 指定独立变量：

>> dsolve(' Dy=1+y^2 ',' y(0)=1 ',' v ') % find solution to dy/dv ans= tan(v+1/4*pi)

例2：求二阶微分方程的解，方程有两个初始条件：

d y

dx

22

=cos(2x)-y dy dx (0)=0 y(0)=1

>> y=dsolve('D2y=cos(2*x)-y ',' Dy(0)=0 ',' y(0)=1 ','x') y=

(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+4/3*cos(x)

>> y=simple(y) % y looks like it can be simplified

y= -1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x)

例3：求解下列形式的微分方程

d y dx 22

-dy

dx

-y=0 通解为： >> y=dsolve( 'D2y-2*Dy-3*y=0 ','x')

y =

C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)

加上初始条件：y(0)=0和y(1)=1可得到：

>> y=dsolve( 'D2y-2*Dy-3*y=0 ','y(0)=0','y(1)=1','x') y= 1/(exp(-1)-exp(3))*exp(-x)-1/(exp(-1)-exp(3))*exp(3*x)

>> y=simple(y) % this looks like a candidate for simplification y= (exp(-x)-exp(3*x))/(exp(-1)-exp(3)) >> pretty(y) % pretty it up exp(-x)-exp(3 x) - --------------------- exp(3) -exp(-1)

小结

下列各表综合了符号数学工具箱的特性：

符号表达式的运算

eval 符号到数值的转换 Pretty 显示悦目的符号输出 Subs 替代子表达式

Sym 建立符号矩阵或表达式 Symadd 符号加法 Symdiv 符号除法 Symmul 符号乘法 Symop 符号运算

Sympow 符号表达式的幂运算 Symrat 有理近似 Symsub 符号减法 Symvar

求符号变量

符号表达式的简化

Collect 合并同类项 Expand

展开

Factor 因式

Simple 求解最简形式

Simplify 简化

symsum 和级数

符号多项式

Charpoly 特征多项式

Horner 嵌套多项式表示

Numden 分子或分母的提取

poly2sym 多项式向量到符号的转换

sym2poly 符号到多项式向量的转换

符号微积分

Diff 微分

Int 积分

Jordan 约当标准形

Taylor 泰勒级数展开

符号可变精度算术

Digits 设置可变精度

Vpa 可变精度计算

求解符号方程

Compose 函数的复合

Dsolve 微分方程的求解

Finverse 函数逆

Linsolve 齐次线性方程组的求解

Solve 代数方程的求解

符号线性代数

Charploy 特征多项式

Determ 矩阵行列式的值

Eigensys 特征值和特征向量

Inverse 矩阵逆

Jordan 约当标准形

Linsolve 齐次线性方程组的解

Transpose 矩阵的转置

离散信号的表示法

第三章函数绘图

数据图形能使视觉感官直接感受到数据的许多内在本质，发现数据的内在联系。