北大强军计划：北京大学2015年高等数学(科目代码693)考试大纲的说明
北大强军计划：北京大学2015年高等数学（科目代码693）考试大纲的说明
高等数学（科目代码693）是我校为理科院系统一命制的硕士初试数学类选考科目，同时，也为“强军计划”考生初试若选考“数学一”时使用。
高等数学上、下册李忠，周建莹编著北京大学出版社
高等数学(生化医农类)上、下册张锦炎周建莹编著北京大学出版社
北京大学研究生招生办公室
盛世清北-2016强军计划初试辅导班是国内唯一举办强军计划/单考/少数民族骨干计划考研辅导的权威机构，几年以来盛世清北为军队各总部，各大军区，各兵种，武警部队，国家部委局办及少数民族地区向国内定点高校输送多批学员。连续9年强军计划/单考/少数民族骨干计划学员升学率达到98%以上。每年初试辅导科目直接命中原题或者类似题多道，有力的支持了盛世清北学员。免费电话咨询:400-616-2188。
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北大版高等数学第4章习题集解答
习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列 解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.360docs.net/doc/36406990.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证
北大版高数答案
习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
1.1高数(北大版)
习题 1.1
证明 3为无理数. 1. 证 若 3不是无理数,则 3 = p p2 , p, q为互素自然数.3 = 2 , p 2 = 3q 2 .3除尽p 2 , q q
必除尽p, 否则p = 3k + 1或p = 3k + 2. p 2 = 9k 2 + 6k + 1, p 2 = 9k 2 + 12k + 4, 3除 p 2 将余1.故p = 3k , 9k 2 = 3q 2 , q 2 = 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 设 2. p是正的素数, 证明 p是无理数. 证 设 p= a a2 , a, b为互素自然数,则p = 2 , a 2 = pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a = pk . p k = pb , pk = b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.
解下列不等式 : 3. (1) | x | + | x ? 1|< 3.\; (2) | x 2 ? 3 |< 2. 解 (1)若x < 0, 则 ? x + 1 ? x < 3, 2 x > ?2, x > ?1, (?1, 0); 若0 < x < 1, 则x + 1 ? x < 3,1 < 3, (0,1); 若x > 1, 则x + x ? 1 < 3, x < 3 / 2, (1,3 / 2). X = (?1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1,3 / 2). (2) ? 2 < x 2 ? 3 < 2,1 < x 2 < 5,1 <| x |2 < 5,1 <| x |< 5, x = (1, 5) ∪ (? 5, ?1). 设 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a + b |≥| a | ? | b |;(2)设 | a ? b |< 1, 证明 | a |<| b | +1. 证(1) | a |=| a + b + (?b) |≤| a + b | + | ?b |=| a + b | + | b |,| a + b |≥| a | ? | b | . (2) | a |=| b + (a ? b) |≤| b | + | a ? b |<| b | +1. 解下列不等式 : 5. (1) | x + 6 |> 0.1;(2) | x ? a |> l. 解(1)x + 6 > 0.1或x + 6 < ?0.1.x > ?5.9或x < ?6.1. X = (?∞, ?6.1) ∪ (?5.9, +∞). (2)若l > 0, X = (a + l , +∞) ∪ (?∞, a ? l ); 若l = 0, x ≠ a; 若l < 0, X = (?∞, +∞). 若 6. a > 1, 证明0 < n a ? 1 < a ?1 , 其中n为自然数. n
n
证若a > 1, 显然 n a = b > 1.a ? 1 = n a ? 1 = ( n a ? 1)(b n ?1 + b n ? 2 + L + 1) > n( n a ? 1). 设 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑有理数集合 m A=An = { n | m ∈ Z}. 若An ∩ (a, b) = ?, 则A = B ∪ C , B = A ∩ {x | x ≥ b}, 10 C = A ∩ {x | x ≤ a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 ? 1) /10n ∈ C , b ? a ≤ m0 /10 n -(m0 ? 1) /10 n =1/10n ,此与n的选取矛盾. 设 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑无理数集合An = { 2 + m | m ∈ Z}. 以下仿8题. 10n
1
北大版高等数学课后习题答案完整版
习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
北京大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
实用标准文档 北京大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3．直线: 327 x y z L ==-和平面:3278 0x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
北大版高等数学第5章习题解答
习题5.1 1.,,,,,().11 ,,().22 ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=- =-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b () 2.,1 (). 2 11 22 1 ().2 M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 证 3.,,1 (). 3 221 () 332 1 (), 3 1(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+?+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1 (). 3 1 3,(). 3 CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1 ,(). 4 1 (), 2 11 (),(), 221 (). 2 4ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1 ,(). 4 OM OA OB OC OD =+++
2222225.?(1)()();(2)();(3)()(). (1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==?=?======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,1122 11 ().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+= +=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证 2227.: (1),;(2).(1)()()()()||||0. ()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2, ||()cos cos . ||||||||||| ,. a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD AB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故 22 2 2 2 (2)||()()||||2||||. AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+ 2222222222222222228.()()||||. ()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα?+=?+=+=+=?=?证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11 的面积= 的面积22 证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2222222 2 2210.,,,()()2(). ()()()()()()222(). =++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题
第一章总练习题 221.:581 2. 3|58|1422.|58|6,586586,. 3552 (2)33,5 2 333,015. 5 (3)|1||2| 1 (1)(2),2144,. 2 2|2|,. 2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2. 解22231231 2,4,(2). 3 2,41 (2), 4.3 1 3.1. 2 2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222 121 1,.22 123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则 解证1231111 12 1 2 112 22 11231222222 2124(1)(1)3222,2222 1..1(1)(2)123(1). (1)1(11)1(1)1,(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1 21 2 .1(1)123(1)(1)(1) n n n n n n n x nx x x nx n x n x x +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则
北大版高等数学第一章-函数及极限答案-习题1.2
习题 1.2 2 22 2 22 ln(4);(2) 40,||4,||2,(,2)(2,). 1010 1 (2)0..11,(1,1). 1010 1 5 (3)1,540.540,( 4 y x y y y x x x D x x x x D x x x x x x x x x x =-=== ->>>=-∞-?+∞ ->-< ?? + >-<<=- ?? +>+< -?? - >--<-+= 求下列函数的定义域 或 1.: (1) 解(1) 12 2 12 2 1)(4)0,1, 4. (1,4). (4)2530.(21)(3)0,3,1/2.(,3)(1/2,). (), ()1,(0,3).()(1,10). (2)()ln(1sin),(/2,],()(,ln2]. (3)( x x x D x x x x x x D f X X f x x X f X f x x X f X f x ππ --=== = +->-+==-==-∞-?+∞ =+== =+=-=-∞ 求下列函数的值域其中为题中指定的定义域 2.. (1) 22 12 2 )[1,3],320,230,(1)(3)0, 1,3,()[0,(1)][0,4]. (4)()sin cos,(,). ()cos(/4)cos sin(/3))/4),()[ ln (1)(),(1) ln10 X x x x x x x x x f X f f x x x X f x x x x f X x f x f πππ ==-+-=--=+-= =-=== =+=-∞+∞ =+=+= =- 求函数值： 设求 3. 2 ,(0.001),(100); (2)()arcsin,(0),(1),(1); 1 ln(1),0, (3)()(3),(0),(5). , 0, cos,01, (4)()1/2,1,(0),(1),(3/2),(2). 2, 13 (1)()l x f f x f x f f f x x x f x f f f x x x x f x x f f f f x f x - =- + --∞<≤ ? =- ? -<<+∞ ? ?≤< ? == ? ?<≤ ? = 设求 设求 设求 解264 og,(1)log10,(0.001)log(10)6,(100)log10 (2)(0)0,(1)arcsin(1/2)/6,(1)arcsin(1/2)/6. (3)(3)ln4,(0)0,(5) 5. (4)(0)cos01,(1)1/2,(3/2)(2) 4. 2 4.(), 2 x f f f f f f f f f f f f f x f x x x ππ - -==-==-= ===-=-=- -===- ===== + =≠ - =4.设函数 11 2,(),(1),()1,,. () 2213 (),2;(1),1,3, 2211 f x f x f x f x f x x x x f x x f x x x x x x ?? ±-++ ? ?? -+++ -=≠±+==≠≠- +--- 求 解
高等数学( 北大版)答案一习题1.3
习题1.3 1.(1,2,),lim 1,0,,2 |-1|,: n n n n n x n x N n n N x εε→∞= ==>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得 当时有 并填下表 220,1,|-1|| 1|,2,2222,,|-1|. 2.lim 0,lim ||||. 3.{}(1)n n n n n n n n x n n n N n N x a N a l a εεεε εεε→∞ →∞ ?><=-=<>-++?? =->?=不妨设要使只需取则当时就有设设证证(2){}(1) ||||| 1. (2) -31(1)lim 23n n n a l l l M N n n εε→∞-+<+=+-对于令4.用证23/23/2(3)lim 1(5)lim 1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)3 1311(1),2322(23)n n n n n q n n n n n n n n εεε→∞→∞→∞?+ ?-????++= ?+?? +?-=<-- 不妨设要使只需证>0,<1,311 3, 2113133133,,,lim . 22322321 (2),,, n n n N n N n n n εεεεεεε →∞>+++?? =+>-<=??--?? ?<≤<>取当时故>0,
32222333331,. 1 (3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)126 6242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4) ,,. n n n n N n N q n n n n q n n n n n n n n N n n n n n N εεαααααααεααεαεαε?? =>>+==---++++++?? <<<>=??--???? ≤<>=?? 取当 5. n =2222226.4.(1)(1)(1)12 7.: (1)l n n n n n n n εεεεεεεε? ??-+-?? ++故而 求下列各极限的值证证32232244 432 220. 310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞ →∞==+-+-==-+-+++==++?? ????+=+=?? ? ??? ??????
北大版高等数学课后习题答案完整版
习题1.1 2 222 2 2222 22222 2 22 2 . ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,3 1.3,93,3,3., ,. ,,,, p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b === =+=+=++=++ === === 为互素自然数除尽 必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾. 设是正的素数 为互素自然数,则素 证 2. 证 1. 2 22222 2 ,, .,.., : (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0); 01,13,13,(0,1); 1,13,3/2,(1,3/2). (1,0)(0,1) p a p a a pk p k p b pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X === +-<-< <-+-<>->-- <<+-<< >+-<< =-? 数除尽故除尽 类似得除尽此与为互素自然数矛盾. 解下列不等式 若则 若则 若则 3. 解 (1) 222 (1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1). ,(1)||||||;(2)||1,|||| 1. (1)|||()|||||||||,||||||. (2)|||()|||||| x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ? -<-<<<<<<<=?- +≥--<<+ =++-≤++-=+++≥- =+-≤+-< 设为任意实数证明设证明 证 4. , | 1. (1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,). (2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11 x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a + +>-> +>+<->-<-=-∞-?-+∞ >=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞ - ><< >=>-=-= 解下列不等式 或或 若若若 若证明其中为自然数 若 解(1) 证 5.: 6. 12 00 00 1)(1)1). (,),(,). 1/10. {|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10, /10(1)/101/10 n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m -- +++> <- =∈?=?=?=?≥ =?≤-∈ -≤- Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数 取自然数 满足考虑有理数集合 =若则 中有最小数 -= 证 7. (,),(,). 1/10.|}. 10 n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数 取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题. 8. 证 习题1.2
最新北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题
北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总 练习题
第四章总练习题 000000001..()()[()()]. ()(),[0,].()()(),(0)0. Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得 证00000 ()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞ ''+--=++-≥= ≤≤=== = =+=++=+即证明当时中的满足且 00). 11()(12), 441 11()(12)(1(1)2). 442 11 lim ()lim (12).44 1 lim ()lim (12)4 1 lim 4x x x x x x x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得 2 2 111lim lim .442 3,012 3.()()[0,2]1, 1,01 (2)(0)1().12 0, 1x x x x f x f x x x x x f f f x x x = ===?-≤≤??=??<<+∞??-≤≤?-? '==?--<<+∞??设求在闭区间上的微分中值定理的中间值. 解2/23/21. 221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1 在闭区间上的微分中值定理的中间值为2
北大版高等数学第八章总结
第一型曲线积分的概念与性质 意义：在考虑物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题的时候，需要用第一型曲线积分的概念。再一次强调，积分是由极限推来的，极限不存在积分就不存在。 第一型曲线积分有下列形式： f(x,y)L ds 存在条件为极限存在 ds 为弧长 其性质有： 此时ds= 1+y ′(x)2dx 若有则有。 其实参数方程的特殊方式是y=y(x),x=x 。 在空间上 考法：计算函数y=f(x)从A 点到B 点的积分。方法，1.我们用x 代y ，然后对x 做积分。反过来对y 做积分也一样。 然后记得乘上一个 1+y ′2！ 第二型曲线积分 假如一个物体受力为F(x,y)=F(P(x,y),Q(x,y)).我们计算力对物体做功，有dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.由此推出第二型曲线积分W= Pdx +Qdy AB 假如x=φ(t),y=Ψ(t),利用微分中值定理可得， P x,y dx +Q x,y dy =AB P(φ(t),Ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),Ψ(t))Ψ′(t) dt AB * 这里利用参数方程的意义就是与定积分建立关系。 如果我们用以直代曲的思想来做积分的话，那么我们可以选定一小段曲线上的任何一点来 做切线，设τi 在t i ?1与t i 之间 P(ξi,ηi )?n i=1x i = P(x i,y i )?n i=1x i 。设ξi,=φ(τi )，ηi =Ψ(τi ) 因此有 P(x i,y i )?n i=1x i = P(ξi,ηi )?n i=1x i = P φ τi ，Ψ τi φ‘ τi ?n i=1t i ，因此可以推出 式子*。推广到空间上是一样的道理。
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.2
习题3.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2111.ln ln ln ln 2 2 2 111 ln ln ln .2 2 222 4 1 1112 2.1212212 a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x xd x xd x x x d x x x x x x x d x x xd x x C x x e d x x d e x e e d x x e xe d x a a a a a x x e xd e x e e e d x a a a a a x e a == - =- =-= -+==- = - =-=-+=- ??? ???????? 求下列不定积分 ：2 2 2 3 2232 122 122.1 11 3.sin 2co s 2co s 2co s 22 2 2 11co s 2sin 2. 2 4 4.arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin 2 a x a x a x a x a x x xd e x e e e C a a a a x e x C a a a x xd x xd x x x xd x x x x C xd x x x xd x x x x x x = - + +??=-++ ? ??=-=- + =- + +=-=- =+ =? ????? ? ? arcsin . x C + 2 2 2 2 222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln (1).2 12 1116.co s 3co s 3co s 3co s 32 2 2 1313co s 3sin 3co s 3sin 3222 4 1x x x x x x x x xd x xd x x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xd x xd e e x e d x e x e xd x e x xd e =-=- ++=-=- +++== =- =+= + =?? ?? ?????() ()22222223 co s 3sin 33co s 324 139co s 3sin 3, 24 44131co s 3sin 32co s 33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33co s 3sin 33co s 3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xd x e x e x I I x x e C x x e C x I d x xd e e x e xd x e e x xd e e x e -------+-=+ - ??= ++=++ ? ?? ==-=-+=--=--?? ???( )co s 33sin 3x x e xd x -+?
北大版高等数学答案
2012-2013学年第一学期 《C程序设计基础》期中考试2012.11 所有答案全部写在答卷纸上！ 一、填空题（共20分，每空2分） [1]若有定义语句：int a=4;，则表达式：(a--)+(--a)的值是__6__。 [2]若有语句double x=21;int y;，当执行y=(int)(x/5)%2;之后y的值为 ________1________。 [3]若变量x、y已定义为int类型且x的值为99，y的值为9，请将输出语句 printf("x/y=%d\n", x/y);补充完整，使其输出的计算结果形式为：x/y=11。[4]在printf格式字符中，以小数形式输出实数，并保留小数点后三位数字的输 出格式是__%0.3f____。 [5]以下程序的输出结果是__9.70__。 #include
北京大学2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷
北京大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
最新高等数学( 北大版)答案一习题1.4
习题1.4 22 1.- 0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos. 1)0,|, ,||.,||,|, (2)0 x a x a x a x a x a x a a x a e e x a x a x a εδ εε εδδεε →→→→ →=>=== ?>=<< <-<=-<<=?> 直接用说法证明下列各极限等式: 要使 取则当时故 证( 22 2222 ,|| 1.||||||, |||||2|1|2|, 1|2|)||,||.min{,1},||, 1|2|1|2| ||,lim (3)0,.||(1),01),1 x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e e ε εε εδδε ε εε → -- -<-=+-< +≤-+<+ +-<-<=-< ++ -<= ?>>-=-<<-<< 不妨设要使由于 只需(取则当时故 设要使即( . 1, 0ln1,min{,1},0,||, 1|2| lim lim lim 0,|cos cos|2sin sin2sin sin||, 2222 ,|,|cos cos x a a x a a x a x a x a x a x a x a e e x a x a e e e a e e e e e e x a x a x a x a x a x a x a x a ε εε δδε ε δεδ -→+→-→ <+ ?? <-<+=<-<-< ?+ ?? === +-+-?>-==≤- =-<- 取则当时 故类似证故 要使 取则当|时 ... (4) 2 |,lim cos cos. 2.lim(),(,)(,),() . 1,0,0|-|,|()|1, |()||()||()|||1||. (1)1 (1)lim lim 2 x a x a x x x a f x l a a a a a u f x x a f x l f x f x l l f x l l l M x x ε δδ εδδ → → →→ <= =-?+= =><<-< =-+≤-+<+= +- = 故 设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数 对于存在使得当 时从而 求下列极限 证 3. : 2 00 2 2 2 22 000 00 2 2 1 2 2 2 lim(1) 1. 22 2sin sin 1cos111 22 (2)lim lim lim1. 222 2 0). 22 (4)lim. 2233 2 (5)lim 22 x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x x x → →→→ →→ → → + =+= ?? ???? ? ? ? -???? ? ==== ? ? ?? ==> --- = --- -- -- 2 . 33 - = -