九年级下册二次函数26.1-26.2综合练习题精选(含答案

第二十六章二次函数26.1-26.2练习题精选

一、填空题

1.函数y=-x 2

的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________,顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值,它与函数y=x 2

的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.它的图像,在y 轴的右边,y 随x 的增大而________. （抛物线 下 y 轴 原点 高 大 相反 相同 相同 ） 2.函数y =6

22--a a ax

是二次函数，当a =___时，其图象开口向上；当a =____时，其图象开口向下.（ 4 －2 ）

3.函数y =k

k

kx -2

，当k =______时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x ______时，y 随x 的增大而减

小. （ －1 >0 ）

4.已知二次函数y 甲=mx 2和y 乙=nx 2

，对任意给定一个x 值都有y 甲≥y 乙，关于m ，n 的关系正确的是_____(填序号). ①m 0，n <0 ③m <0，n >0 ④m >n >0 ②④ 5.已知函数y=(k+2)2

4

k

k x +-是关于x 的二次函数,则k=________ .

6.已知正方形的周长是ccm,面积为Scm 2

,则S 与c 之间的函数关系式为_____ .

7.抛物线y=-3x 2

+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.（ 下 y 轴 (0,5) 高 大 5 ）

8．抛物线y=-3（x-2）2

是由抛物线y=-3x 2

向_______向平移______个单位得到的，其开口向________，对称轴是______，顶点坐标是________，在对称轴的左边，?即x____时，?曲线自左向右_______，?y?随x?的增大而_______，??函数有最_______?值，??即x________时，有最_______值，y=__________． （ 右 2．下 直线x=2 （2，0） <2 上升 增大 减小 大 =2 大 0 ）

9．把函数x=-3（x-3）2

的图象关于x 轴对称，得到的图象的函数关系式是_______．．y=3（x-3）2

10.在同一坐标系中，二次函数y=－

2

1x 2，y=x 2，y=－3x 2

的开口由大到小的顺序是______. y=－

2

1x 2，y=x 2，y=－3x 2

11.已知抛物线y=－2(x+1)2

－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______.x ≥－1 12.如图1所示的抛物线：当x=_____时，y=0；当x<－2或x>0时， y_____0；当x 在_____范围内时，y>0；

当x=_____时，y 有最大值_____.（ －2，0 < －2

13、当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=－5t 2

+150t+10表示.

经过________秒，火箭到达它的最高点？最高点的高度是__________？

解．h=－5t 2

+150t+10,化为h=－5(t －15)2

+1135.经过15 s ，火箭达到最大高度，最大高度为1135米. 14.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价

不得高于每千克70元也不得低于30元,市场调查发现;单价定为70元时,日均销售60kg.单价每降低1元,日均多售出2kg,在销售过程中, 每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算).设销售单价为x 元, 日均获利为y 元,则y 关于x 的二次函数关系式为__________. .y=-2x 2

+260x-6500

二、选择题

1.下列结论正确的是( )

A.二次函数中两个变量的值是非零实数;

B.二次函数中变量x 的值是所有实数;

C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;

D.二次函数y=ax 2

+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 2.下列函数中,不是二次函数的是( )

x 2 B.y=2(x-1)2

+4; C.y=12

(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2

3.若y=(2-m)2

2

m

x 是二次函数,则m 等于( )

A.±2

B.2

C.-2

D.不能确定

4.在图中，函数y =－ax 2

与y =ax +b 的图象可能是( D )

5.下列函数中，具有过原点，且当x >0时，y 随x 增大而减小，这两个特征的有( B )

①y =－ax 2

(a >0) ②y =(a －1)x 2

(a <1) ③y =－2x +a 2

(a ≠0) ④y =

5

1

x －a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列说法错误的是( C )

A.二次函数y =3x 2

中，当x >0时，y 随x 的增大而增大; B.二次函数y =－6x 2中，当x =0时，y 有最大值0; C.a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大;

D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2

(a ≠0)的顶点一定是坐标原点. 7.若对任意实数x ，二次函数y =(a +1)x 2

的值总是非负数，则a 的取值范围是( C )

A.a ≥－1

B.a ≤－1

C.a >－1

D.a <－1

8.如图，函数y =－a (x +a )与y =－ax 2

(a ≠0)在同一坐标系上的图象是( A )

9.已知a <－1，点(a －1，y 1)，(a ，y 2)(a +1，y 3)都在函数y =x 2

的图象上，则( C )

A.y 1

B.y 1

C.y 3

D.y 2

10.函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2

+k 的形式是（ D ） A.y=21(x －1)2+2; B .y=21(x －1)2+21; C.y=21(x －1)2－3 ; D.y=2

1(x+2)2

－1

11.抛物线y=21x 2

向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( A )

A.y=21(x+3)2－2;

B.y=21(x －3)2

+2 C.y=21(x －3)2－2 ; D.y=21(x+3)2

+2

12.二次函数y=(3－m)x 2

－2mx －m 的图象如图3所示，则m 的取值范围是( D )

A.m>0;

B.m<0 ;

C.m<3;

D.0

13.不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2

+m(a ≠0)的顶点都( B )

A.在y=x 直线上;

B.在直线y=－x 上;

C.在x 轴上;

D.在y 轴上

14.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y=2x 2

+n ，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是( D ) A.1个; B.2个; C.3个; D.4个

三、解答题

1.已知函数y=(m+2)2

4

m

m x +-是关于x 的二次函数.求: (1)满足条件的m 的值; (2)m 为何值时,抛物线有最

低点?求出这个最低点,这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?

解.(1)m=2或-3,(2)m=2.最低点是原点(0,0).x>0时,y 随x 的增大而增大.

(3)m=-3,最大值为0.当x>0时,y 随x 的增大而减小.

2.已知点A(1,a)在抛物线y=x 2

上. (1)求A 点的坐标.(2)在x 轴上是否存在点P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,说明理由.

(1)A(1,1);(2)存在.这样的点P 有四个,即P 1

2

3(2,0), P 4(1,0),

3.试分别说明将抛物线：(1)y=(x+1)2

；(2)y=(x －1)2

；(3)y=x 2

+1；(4)y=x 2

－1的图象通过怎样的平移得到

y=x 2

的图象. 解.将抛物线(1)

y=x

2

.

将抛物线(2)向左平移一个单位，可得到y=x 2的图象. 将抛物线(3)向下平移一个单位，可得到y=x 2

的图象. 将抛物线(4)向上平移一个单位，可得到y=x 2的图象.

4.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB 位置时,水面宽

,水位上升3米达到警戒线MN 位置时 ,水面

宽

,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

解.以AB 为x 轴,对称轴为y 轴建立直角坐标系, 设抛物线的代数表达式为y=ax 2

+ c.

则B 点坐标为

点坐标为

故0=24a+c,3=12a+c,解得a=-1

4

,c=6, 即y= -14

x 2

+6. 其顶点为(0,6),(6-3)÷0.25=12小时. 5.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米,要在铁皮下截下一矩形ABCD,使矩形顶点B,C 落在边MN 上,A,D 落在抛物线上, 像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN 所在的直线为x 轴建立适当的直角坐标系)

解.以MN 为x 轴、对称轴为y 轴,建立直角坐标系,则N 点坐标为(2,0), 顶点坐标为(0,4). 设y=ax 2

+c,则c=4,0=4a+4,a=-1,故y=-x 2

+4.

B

N

D

M

B

C

A

设B点坐标为(x,0),c点坐标为( -x,0),则A点坐标为(x,-x2+4), D点坐标为(-x,-x2+4). 故BC=AD=2x,AB=CD=-x2+4. 周长为4x+2(-x2+4). 从而有-2x2+8+4x=8,-x2+2x=0,

得x1=0,x2=2. 当x=0时,BC=0; 当x=2时,AB=-x2+4=0.故铁皮的周长不可能等于8分米.

6．已知二次函数y=-1

2

x2+x+

3

2

，解答下列问题：

（1）将这个二次函数化为y=a（x-h）2+k的形式；（2）写出这个二次函数的顶点坐标和对称轴；（3）画出该二次函数的图象；（4）根据图象回答，x取何值时，y>0？x取何值时，y<0？

（5）x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？

（6）当x为何值时，函数有最大或最小值，其值是多少？

解：（1）y=-1

2

x2+x+

3

2

=-

1

2

（x2-2x-3）=-

1

2

（x-1）2+2；（2）顶点坐标为（1，2），对称轴直线x=1；

（3）略；（4）-10；x>3或x<-1时，y<0；（5）x<1时，y随x的增大而增大；

x>1时，y随x的增大而减小；（6）当x=1时，y有最大值2．

7、图(1)是棱长为a的小正方体,图(2)、图(3)这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,自上

而下分别叫第一层、第二层……第n层,第n层的小正方体的个数记为s,解答下列问题:

(1)按要求填表:

(2)写出n=10时,s=________.

(3)根据上表中的数据,把s作为点的纵坐标,n作为点的横坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.

(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上, 求s与n间的关系.

(1)(2)(3)

(1)6 10 (2)55 (3)略 (4)S=1

2

n2+

1

2

n.

8、如图所示，?将一些围棋子按照①②③④的方法摆放下去，将第n个图形中的围棋子的总数目为S，解

答下列问题：

...

④

③

②

①

（1）按要求填表：

（2）写出n=10时，S=_________．

（3）根据上表中的数据把S作为点的纵坐标，n作为点的横坐标，?在平面直角坐标中描出相应的点；

（4）请你猜一猜上述各点会在某函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，?请你求出S与n之间的关系．

解：（1）6，10，15；（2）55；（3）略；（4）在，S=1

2

n（n+1）．

9.观察图中正六边形“蜘蛛网”的变化规律：

……

(1)完成下表：

(2)如果用n表示六边形边上的小点数，m表示这个正多边形中小点的总数，那么m和n的关系是什么？解.(1)表中第2行：1，7，19，37，61.(2)m=3n2－3n+1.

10.有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽

度为10米;(1)在如图的坐标系中，求抛物线的表达式.(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上升)

解(1)设拱桥顶到警戒线的距离为m.∵抛物线顶点在(0，0)上，对称轴为y轴,

∴设此抛物线的表达式为y=ax2(a≠0).依题意：C(－5，－m)，A(－10，－m－3).

∴???-=---=-.)10(3,)5(22

a m a m ??

???-=-=∴.1,

251m a ∴抛物线表达式为y =－251x 2. (2)∵洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，|m |=1,

∴从警戒线开始再持续

2

.01

=5(小时)到拱桥顶. 11、公司生产的A 种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告为x （万元）时，产品的年销售量是原来的y 倍，且y 是x?的二次函数，公司作了预测，知x 与y 之间的对应关系如下表：

（1）根据上表，求y 关于x 的函数关系式；（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S （万元）?与广告费x （万元）的函数关系式；（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？

解：（1）设所求函数关系式为y=ax 2

+bx+c ，把（0，1）、（1，1．5）、（2，1．8）?分别代入上式，得1,

1.5,1.84

2.c a b c a b c =??=++??=++?

解得1,103,51.a b c ?=-??

?

=??

=???

∴y=-110x 2+35x+1．

（2）S=（3-2）×10y-x =（-

110x 2+35x+1）×10-x =-x 2

+5x+10． （3）∵S=-x 2

+5x+10=-（x-52）2+654

，∴当0≤x ≤2.5时，S 随x 的增大而增大，

因此当广告费在0～2.5万元之间时，公司的年利润随广告费的增大而增大．

12、当抛物线的关系式中含有字母系数时，?随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线y=x 2

-2mx+m 2

+2m-1，①得y=（x-m ）2

+2m-1，②

即,2 1.x m y m =??

=-?

m ，2m-1）．

当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化．因而y 值也随x 的变化而变化．

将③代入④，得y=2x-1．⑤ 可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=2x-1． 解答问题：

（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_______公式，由③、④得到⑤

所用的数学方法是______．

（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2

-2mx+2m 2

-3m+1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式．

解：（1）配方法，完全平方，消元法；

（2）∵y=x 2

-2mx+2m 2

-3m+1 =x 2

-2mx+m 2

+m 2

-3m+1=（x-m ）2

+m 2

-3m+1． ∴抛物线的顶点坐标为（m ，m 2

-3m+1），

即2,3 1.

x m y m m =??=-+?

将①代入②，得y=x 2-3x+1． ∴所给抛物线顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式为y=x 2

-3x+1．

13.已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =

3

1x 2

的图象经过A 、B 两点.(1)请求出一次函数的表达式;(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积. 解.(1)设A 点坐标为(3，m )；B 点坐标为(－1，n ).

∵A 、B 两点在y =

31x 2的图象上,∴m =31×9=3,n =31×1=31.∴A (3，3),B (－1，3

1). ∵A 、B 两点又在y =ax +b 的图象上,

∴?????+-=+=.31,

33b a b a 解得??

?

??==.1,32b a ∴一次函数的表达式是y =32x +1.

(2)如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为(－

2

3

，0). ∴|DC |=

23.S △ABC =S △ADC －S △BDC =21×23×3－21×23×31=49－4

1

=2.

14.如图，直线AB 过x 轴上的点A (2，0)，且与抛物线y =ax 2

相交于B 、C 两点，B 点坐标为(1，1). (1)求直线和抛物线所表示的函数表达式;(2)在抛物线上是否存在一点D ，使得S △OAD =S △OBC ，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D 的坐标，与同伴交流.

解(1)设直线表达式为y =ax +b .∵A (2，0)，B (1，1)都在y =ax +b 的图象上,

∴???+=+=.1,20b a b a ∴?

??=-=.2,1b a ∴直线AB 的表达式y =－x +2.

∵点B (1，1)在y =ax 2

的图象上,∴a =1，其表达式为y =x 2

. (2)存在点C 坐标为(－2，4)，设D (x ，x 2

).∴S △OAD =21|OA |·|y D |=2

1×2·x 2=x 2

. ∴S △BOC =S △AOC －S △OAB =

21×2×4－2

1×2×1=3.∵S △BOC =S △OAD ,∴x 2

=3,即x =±3. ∴D 点坐标为(－3，3)或(3，3).