2015-2016学年湖南省长沙市南雅中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2015-2016学年湖南省长沙市南雅中学九年级（上）月考数学试

卷（10月份）

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）（2015春?新泰市期末）在实数：3.14159，，1.010010001…（每相隔1个就多1个0），，π，中，无理数的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（3分）（2012?益阳）下列计算正确的是（）

A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6D．（﹣1）0=1

3．（3分）（2015?荆门）某市2014年的国民生产总值为2073亿元，这个数用科学记数法表示为（）

A．2.073×1010元B．2.073×1011元C．2.073×1012元D．2.073×1013元

4．（3分）（2012?巴中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线 B．角平分线 C．高D．中位线

A．13岁，14岁B．14岁，14岁C．14岁，13岁D．14岁，15岁

6．（3分）（2015?潍坊）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是（）

A．B．C．D．

7．（3分）（2012?西宁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（）

A．45°B．120°C．60°D．90°

8．（3分）（2012?八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）

A．10 B．8 C．6 D．4

9．（3分）（2012秋?大兴区期末）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线y=x2﹣2x+d与x轴有两个不同的交点，则点P（）

A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．无法确定

10．（3分）（2015?玉林二模）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）

A．80°B．70°C．60°D．50°

11．（3分）（2014?丹东）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB 的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．

12．（3分）（2010?烟台）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A 出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）

A．B．C．D．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2014春?邗江区期末）如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|=．14．（3分）（2005?马尾区）分解因式：3x2﹣12y2=．

15．（3分）（2015秋?长沙校级月考）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个相等的实数根，则m的值是．

16．（3分）（2015秋?长沙校级月考）抛物线y=x2﹣2x的顶点坐标是．

17．（3分）（2015?百色）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B．若∠ABP=33°，则∠P=°．

18．（3分）（2015?常州模拟）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是cm．

三、解答题（本题共8小题，共66分）

19．（6分）（2015秋?长沙校级月考）计算：|2﹣|﹣（2015﹣π）0+（）﹣1+．20．（6分）（2015秋?长沙校级月考）先化简，再求值：+（2+），其中x=．

21．（8分）（2014?天水模拟）重庆一中综合实践活动艺体课程组为了解学生最喜欢的球类运动，对足球、乒乓球、篮球、排球四个项目进行了调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己最喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求这次接受调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中喜欢排球的圆心角度数；

（3）若调查到爱好“乒乓球”的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求出刚好抽到一男一女的概率．

22．（8分）（2015秋?长沙校级月考）已知如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD=10，BD交AC于点E，连接DC．

（1）求∠AEB的度数；

（2）求弦AC的长度．

23．（9分）（2015秋?长沙校级月考）2011年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．

（1）求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2014年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2014年报废的汽车数量是2013年底汽车拥有量的10%，求2013年底至2014年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．

24．（9分）（2015秋?长沙校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，OA=8，以OA为直径作⊙M，点C在⊙M上，∠AOC=45°，四边形ABCO为平行四边形．

（1）求证：BC为⊙M的切线．

（2）求点B的坐标．

（3）若D点坐标为（3，﹣3），求∠OCD的度数．

25．（10分）（2015秋?长沙校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．

（1）求m的值及点B的坐标；

（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（6，2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求k的取值范围．

26．（10分）（2015?河南）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC 于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

2015-2016学年湖南省长沙市南雅中学九年级（上）月考

数学试卷（10月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）（2015春?新泰市期末）在实数：3.14159，，1.010010001…（每相隔1个就多1个0），，π，中，无理数的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】无理数．

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

【解答】解：1.010010001…（每相隔1个就多1个0），π是无理数，

故选：B．

【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．

2．（3分）（2012?益阳）下列计算正确的是（）

A．2a+3b=5ab B．（x+2）2=x2+4 C．（ab3）2=ab6D．（﹣1）0=1

【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．

【分析】A、不是同类项，不能合并；

B、按完全平方公式展开错误，掉了两数积的两倍；

C、按积的乘方运算展开错误；

D、任何不为0的数的0次幂都等于1．

【解答】解：A、不是同类项，不能合并．故错误；

B、（x+2）2=x2+4x+4．故错误；

C、（ab3）2=a2b6．故错误；

D、（﹣1）0=1．故正确．

故选D．

【点评】此题考查了整式的有关运算公式和性质，属基础题．

3．（3分）（2015?荆门）某市2014年的国民生产总值为2073亿元，这个数用科学记数法表示为（）

A．2.073×1010元B．2.073×1011元C．2.073×1012元D．2.073×1013元

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将2073亿用科学记数法表示为2.073×1011．

故选B

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2012?巴中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线 B．角平分线 C．高D．中位线

【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．

【专题】应用题．

【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．

【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，

∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．

故选A．

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用．

A．13岁，14岁B．14岁，14岁C．14岁，13岁D．14岁，15岁

【考点】众数；中位数．

【分析】首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这18名队员年龄的众数；然后根据这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，判断出这18名队员年龄的中位数是多少即可．

【解答】解：∵济南某中学足球队的18名队员中，14岁的最多，有6人，

∴这18名队员年龄的众数是14岁；

∵18÷2=9，第9名和第10名的成绩是中间两个数，

∵这组数据的中间两个数分别是14岁、14岁，

∴这18名队员年龄的中位数是：

（14+14）÷2

=28÷2

=14（岁）

综上，可得

这18名队员年龄的众数是14岁，中位数是14岁．

故选：B．

【点评】（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

6．（3分）（2015?潍坊）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是（）

A．B．C．D．

【考点】一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．

【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0=1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．

【解答】解：∵式子+（k﹣1）0有意义，

∴

解得k＞1，

∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，

∴一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：

．

故选：A．

【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．

（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；

②00≠1．

（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．

A．45°B．120°C．60°D．90°

【考点】旋转的性质；正方形的性质．

【分析】根据旋转性质得出旋转后A到B，只要根据正方形的性质和三角形的内角和定理求出∠AOB即可．

【解答】

解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，

即∠AOB是旋转角，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAO=∠ABO=45°，

∴∠AOB=180°﹣45°﹣45°=90°，

即旋转角是90°，

故选D．

【点评】本题考查了旋转的性质和正方形性质，主要考查学生的理解能力和推理能力，题型较好，难度适中．

8．（3分）（2012?八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）

A．10 B．8 C．6 D．4

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD 的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD 的长，利用勾股定理即可求出OE的长．

【解答】解：如图所示，连接OD．

∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，

∴E为CD的中点，

又∵CD=16，

∴CE=DE=CD=8，

又∵OD=AB=10，

∵CD⊥AB，

∴∠OED=90°，

在Rt△ODE中，DE=8，OD=10，

根据勾股定理得：OE2+DE2=OD2，

∴OE==6，

则OE的长度为6，

故选C．

【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理是解答此题的关键．

9．（3分）（2012秋?大兴区期末）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线y=x2﹣2x+d与x轴有两个不同的交点，则点P（）

A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．无法确定

【考点】点与圆的位置关系；抛物线与x轴的交点．

【分析】根据△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，可求出d的取值范围，再根据点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外?d＞r ②点P在圆上?d=r ③点P在圆内?d＜r即可判断点P的位置．

【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+d与x轴有两个不同的交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，

即d＜1，

∵⊙O的半径为1，

∴d＜r，

∴点P在圆内．

故选A．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及抛物线与x轴的交点，是中考中常见题目．

10．（3分）（2015?玉林二模）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）

A．80°B．70°C．60°D．50°

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．

【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周

角减去所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：如图，连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=20°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．

根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，

∴∠ADC+∠B=180°，

∴∠B=∠CDB=70°，

故选B．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．

A．B．C．D．

【考点】扇形面积的计算．

【专题】转化思想．

【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．

【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=．

则扇形FDE的面积是：=．

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD平分∠BCA，

又∵DM⊥BC，DN⊥AC，

∴DM=DN，

∵∠GDH=∠MDN=90°，

∴∠GDM=∠HDN，

则在△DMG和△DNH中，

，

∴△DMG≌△DNH（AAS），

∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=．

则阴影部分的面积是：﹣．

【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明

△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．

A．B．C．D．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】按等量关系“阴影面积=以AB为直径的半圆面积﹣以AP为直径的半圆面积﹣以PB 为直径的半圆面积”列出函数关系式，然后再判断函数图象．

【解答】解：设P点运动速度为v（常量），AB=a（常量），则AP=vt，PB=a﹣vt；

则阴影面积

S===﹣

由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查的是面积随动点匀速运动时变化的关系，关键是列出函数关系式，再与函数图象对照．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2014春?邗江区期末）如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|=1．

【考点】非负数的性质：绝对值．

【分析】先判断绝对值里的数为正数还是负数，再去绝对值符号进行化简．

【解答】解：∵1＜x＜2，

∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，

∴|x﹣1|+|x﹣2|=x﹣1+2﹣x=1．

故答案为：1．

【点评】化简有理数，注意去绝对值号，若绝对值里本身是正数，绝对值后等于本身，若绝对值里本身是负数的，绝对值之后等于本身的相反数．

14．（3分）（2005?马尾区）分解因式：3x2﹣12y2=3（x﹣2y）（x+2y）．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：3x2﹣12y2，

=3（x2﹣4y2），

=3（x+2y）（x﹣2y）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后，可以利用平方差公式进行二次分解．

15．（3分）（2015秋?长沙校级月考）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个相等

的实数根，则m的值是．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程x2+（1﹣m）x+=0有两个相等的实数根，则△=（1﹣m）2﹣4×=0，求出m的值即可．

【解答】解：∵方程x2+（1﹣m）x+=0有两个相等的实数根，

∴△=（1﹣m）2﹣4×=0，

∴1﹣2m=0，

∴m=，

故答案为．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

16．（3分）（2015秋?长沙校级月考）抛物线y=x2﹣2x的顶点坐标是（1，﹣1）．

【考点】二次函数的性质．

【分析】利用配方法把二次函数化成顶点式的形式，即可解答．

【解答】解：y=x2﹣2x=（x2﹣2x+1）﹣1=（x﹣1）2﹣1，

则顶点坐标是（1，﹣1）．

故答案是（1，﹣1）．

【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，正确理解配方法是关键．

17．（3分）（2015?百色）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B．若∠ABP=33°，则∠P=24°．

【考点】切线的性质．

【分析】连接OA，根据切线的性质得出OA⊥AP，利用圆心角和圆周角的关系解答即可．【解答】解：连接OA，如图：

∵PA是⊙O的切线，切点为A，

∴OA⊥AP，

∴∠OAP=90°，

∵∠ABP=33°，

∴∠AOP=66°，

∴∠P=90°﹣66°=24°．

故答案为：24．

【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质得出OA⊥AP，再利用圆心角和圆周角的关系解答．

18．（3分）（2015?常州模拟）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是4cm．

【考点】圆锥的计算．

【专题】计算题．

【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．

【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长==4π，

∴圆锥的底面圆的周长为4π，

∴圆锥的底面圆的半径为2，

∴这个纸帽的高==4（cm）．

故答案为4．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．

三、解答题（本题共8小题，共66分）

19．（6分）（2015秋?长沙校级月考）计算：|2﹣|﹣（2015﹣π）0+（）﹣1+．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数．，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=2﹣﹣1+3+

=4．

【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键．

20．（6分）（2015秋?长沙校级月考）先化简，再求值：+（2+），其中x=．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=+

=x+3，

当x=﹣1时，原式=﹣1+3=+2．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

（1）求这次接受调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中喜欢排球的圆心角度数；

【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

【分析】（1）读图可知喜欢足球的有40人，占20%，所以一共调查了40÷20%=200人，（2）先求出喜欢乒乓球的人数所占的百分比，即可求出喜欢排球的百分比，进而求出其所占圆心角的度数；

（3）用列表法或画树状图的求出总的事件所发生的数目，根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率．

【解答】解：（1）∵喜欢足球的有40人，占20%，

∴一共调查了：40÷20%=200（人），

∵喜欢乒乓球人数为60（人），

∴所占百分比为：×%=30%，

∴喜欢排球的人数为：200×（1﹣20%﹣30%﹣40%）=20（人），

由以上信息补全条形统计图得：

（2）由（1）可知喜欢排球所占的百分比为：×100%=10%，

∴占的圆心角为：10%×360°=36°；

（3）画图得：

由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，所以抽到一男一女的概率为

P（一男一女）=．

【点评】本题考查学生的读图能力和求随机事件的概率，解题的关键是必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，难度适中．

22．（8分）（2015秋?长沙校级月考）已知如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD=10，BD交AC于点E，连接DC．

（1）求∠AEB的度数；

（2）求弦AC的长度．

【考点】圆周角定理．

【分析】（1）因为∠A=50°，∠ABC=60°，所以利用三角形的内角和可得∠ACB=70°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D=50°，又因为∠BCD是直径所对的圆周角，所以等于90°，因此可得∠ECD=20°，利用内角和与对顶角相等可得∠AEB等于110°；

（2）连接AO．CO，过O作OH⊥AC于H，根据圆周角定理得到∠AOH=60°，根据三角函数的定义得到AH=AO?=，根据等腰三角形的性质即可得到结论．AC=2AH=5．

【解答】解：（1）如图1，连接AE，

∵∠A=50°，∠ABC=60°，

∴∠ACB=70°，

∵BD是圆O的直径，

∴∠BCD=90°，

∴∠ACD=20°，

∴∠ABD=∠ACD=20°，

∴∠AEB=180°﹣（∠BAE+∠ABE）=180°﹣（50°+20°）=110°；

（2）如图2，连接AO．CO，过O作OH⊥AC于H，

∵∠ABC=60°，

∴∠AOH=60°，

∵BD=10，

∴AO=5，

∴AH=AO?=，

∵OA=OC，

∴AC=2AH=5．

【点评】本题重点考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．

23．（9分）（2015秋?长沙校级月考）2011年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．

（1）求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】（1）设2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2011年底该市汽车拥有量为100万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达144万辆可列方程求解．

（2）设2013年底到2014年底该市汽车拥有量的年平均增长率为y，则2014年底全市的汽车拥有量为144（1+y）×90%万辆，根据要求到2014年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆可列不等式求解．

【解答】解：（1）设2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据题意，得

100（1+x）2=144，

1+x=±1.2，

则x1=0.2=20% x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．