2015年北京海淀区中考二模数学试题答案

1 海淀区九年级第二学期期末练习

数学试卷答案及评分参考

2015．6

一、 选择题（本题共30分，每小题3分）

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

B D B

C A A A C B

D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）

题号 11

12 13 14

15

16 答案

2(1)2y x =-+

（1,10）

注:答案不唯一

40o

202

43

π （5,1）； (1分) （3,7）或（7,3） (2分)答对1个给1分

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.(本小题满分5分)

解：原式2213=-+-……………………..……………………………………………………...4分

24=-．……………………………………………………………………………………...5分

18. (本小题满分5分) 解法一：去括号,得

22

133x x -+≤．…………………………………………………………………..1分 移项， 得

22

133

x x -+≤．…………………………………………………………………..2分 合并，得 1533

x -≤． ……………………………………………………………………3分

系数化为1，得 5x -≥． …………………………………………………………...……4分

不等式的解集在数轴上表示如下：

-1-2-3-4-5-66

543210．

…………………………………………………………5分

解法二：去分母，得 2233x x -+≤． …………………………………………………………………1分

移项， 得 2332x x -+≤．……………………………………………………………………2分

合并， 得 5x -≤． ………………………………………………………………..3分 系数化为1，得 5x -≥． …………………………………………………………………..4分

不等式的解集在数轴上表示如下：

-1-2-3-4-5-66

543210． …………………………………………………………5分

19．(本小题满分5分) 证明：在△ABC 中 ∵∠BAC =∠BCA ，

∴AB =CB ． ……………………………………………1分 ∵∠BAE =∠BCD =90°， 在Rt △EAB 和Rt △DCB 中，

D

A

C

B

E

2 ,

,AB CB BE BD =??

=?

∴Rt △EAB ≌Rt △DCB ． ……………………………………4分 ∴∠E =∠D ． …………………………………………5分

20.(本小题满分5分) 解：原式()()

()

34

44x x x x x x x --=

-

--……………………………………………………………………….1分

()

2344x x x x x --+=-……………………………………………..………………………………2分

22

44

4x x x x -+=-．………………………………………………………………………………3分 ∵2

410x x --=，

∴2

41x x -=．………………………………………………………………………………………4分 ∴原式14

51

+=

=．………………………………………………………………………………..5分 21. (本小题满分5分)

解：设小明家到学校的距离为x 米．……………………………………………………………………..1分

由题意，得

403025x x +=．………………………………………………………………………..3分

解得 6000x =． ……………………………………………………………………..4分

答：小明家到学校的距离为6000米． ………………………………………………………………….5分

22. (本小题满分5分)

解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，

∴2(4)4(31)0a ?=---≥．……………………………………………………………………..1分 解得 5

3a ≤．……………………………………………………………………………………2分

∴a 的取值范围为5

3a ≤．

（2）∵5

3

a ≤，且a 为正整数，

∴1a =．…………………………………………………………………………………………3分

∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=．

∴此方程的根为1222,22x x =+=-．………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明： ∵ED ⊥AD ，

∴∠ADE =90°．

在Rt △ADE 中，∠DAE=30°，AE =4，

B

E

A

C

D

3 ∴60DEA =∠o ，1

22

DE AE =

=．………………………………………………………………1分 ∵2EC =， ∴DE EC =．

∴EDC C =∠∠．

又60,EDC C DEA +=∠=∠∠o Q

∴30C DAE =∠=∠o

．

∴AD=DC ． ………………….…………………………………………………………………2分

（2）解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图．

∴∠AFC =∠AFB =90°．

∵AE =4，EC =2， ∴AC =6．

在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，∠C=30°， ∴1

32

AF AC ==

…………………………………………………………………………3分

在Rt △AFB 中，∠AFB =90°，tan B=3，

∴1tan AF

BF B

=

=．……….………………………………………………………………………4分 ∴2210AB AF FB =+=．……….……………………………………………………………5分

24. (本小题满分5分)

（1）8m =；5n =；………………………………………………………………………………...2分 （2）

………………………………………………………………...4分

（3）适中． ………………………………………………………………………………….5分 25．(本小题满分5分) 证明：连接OE ，OC ．

在△OEC 与△OAC 中，

D

B

A

O

C

F B E

A C D

4 ,,,OE OA OC OC CE CA =??

=??=?

∴△OEC ≌△OAC ．………………………………………………………………………………..1分 ∴∠OEC =∠OAC ． ∵∠OAC =90°， ∴∠OEC =90°． ∴OE ⊥CF 于E ．

∴CF 与⊙O 相切．………………………………………………………………………………...2分

（2）解：连接AD ．

∵∠OEC =90°，

∴∠OEF =90°．

∵⊙O 的半径为3，

∴OE =OA=3．

在Rt △OEF 中，∠OEF =90°，OE = 3，EF = 4，

∴225OF OE EF =+=，………………………………………………………………………3分

3tan 4

OE F EF ==． 在Rt △F AC 中，∠F AC =90°，8AF AO OF =+=，

∴tan 6AC AF F =?=．…………………………………………………………………………4分 ∵AB 为直径，

∴AB =6=AC ，∠ADB =90°．

∴BD =2

BC

．

在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，

∴2262BC AB AC =+=．

∴BD =32．…………………………………………………………………………………….5分

26. (本小题满分5分) 解：（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为 1 ；…………………………………….………1分 （2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为 2 ；…………………………………………2分

（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为 1 ．…..…………………………………………3分

解决问题：将不等式240 ()x a a x +-<＞0转化为2

4 ()x a a x

+<＞0， 研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x

=的图象的交点.

∵函数4y x

=的图象经过点A (1,4)，B (2,2)， 函数2y x =的图象经过点C (1,1)，D (2,4)， 若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1,4)，则3a =， ……………………………………………………4分

结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24

(0)x a a x

+<>只有一个整数解． 也就是当03a <<时，关于x 的不等式24

0 ()x a a x

+-<＞0只有一个整数解. ……………………5分

D

F B

E A O C x y ()()()

()

–5–4–3–2–112345

–5–4

–3

–2

–1

1

2345

C D B A o

5 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分) 解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），

∴43m +=． ∴1m =-．

∴抛物线的表达式为232y x x =-++．…………………………………………………………………1分

∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ，

∴令0y =，即 2320x x +-=+． 解得 11x =-，23x =． 又∵点B 在点C 左侧，

∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)．…………………………………………………...……3分

（2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，

∴抛物线的对称轴为直线1x =． ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，

∴点D 的坐标为(1,0)．…………………………………………………………………………...………4分 ∵直线y kx b =+经过点D (1,0)和点E (1,2)--，

∴0,2.k b k b +=??-+=-? 解得1,

1.k b =??=-?

∴直线DE 的表达式为1y x =-. ………………………………………………………………………5分 （3）1t <或3t > ……………………………………………………………………………………………7分

28．(本小题满分7分)

（1）∠ADE =90α?-．…………………………………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．

∴EDC ABC α∠=∠=． …………………………….……2分

由（1）知，∠ADE =90α?-，

∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=?． …………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．……………………………………………………………………………………..……………4分

②证明：

∵AB =AC ，∠ABC =α，

∴C B α∠=∠=．

∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF , AE =BF ．

F E

B

C

A

D

F

E B

C

A

D

6 ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………………………………………5分 由（1）知，2DAE α∠=，

∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．

∴BD =CF ．………………………………………………………………………………………………………7分

29. (本小题满分8分)

（1） ②，③ 是12T T -联络点．…………………………………………………………………………2分 （2）所有12T T -联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．

………………………………………………………………………4分

（3）① ∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，阴影部分关于y 轴对称，

∴⊙M 与直线AC 相切于(0，0)，

或与直线BD 相切于(0，1)，如图所示． 又∵⊙M 的半径1r =，

∴点M 的坐标为(0，1-)或(0，2)．………………6分

经检验：此时⊙M 与直线AD ，BC 无交点，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，符合题意．

∴点M 的坐标为(0，1-)或(0，2)．∴点M 的纵坐标为1-或2．

② 阴影部分关于直线1

2

y =

对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方． ∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点， 阴影部分关于y 轴对称，

∴⊙M 与直线AC 相切于O (0，0)，且⊙M 与直线AD 相离． 作ME ⊥AD 于E ，设AD 与BC 的交点为F ，

∴MO = r ，ME > r ，F (0，1

2

)．

在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，AO =1，1

2

OF =，

∴2252AF AO OF =+=，25

sin 5AO AFO AF ∠==．

在Rt △FEM 中，∠FEM =90°，FM = FO + OM = r +1

2

，25sin sin 5EFM AFO ∠=∠=，

∴5(21)

sin 5

r ME FM EFM +=?∠=

． x

y

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–3–2–1

1

2

3B A

C D O

x

y –4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–3

–2–11

2

3B A

C D O

x

y

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

–2

–11

2

3E

F B

A

C

D O

M

∴5(21)

5

r

r

+

>．又∵0

r>，

∴052

r

<<+．……………………………………………………………………………………8分

7

相信孩子可以战胜中考，北达新高一预科班抢报中！

中考过后，进入高中竞争变得异常激烈，暑假可不能彻底的放松，作为家长，您是怎么样安排孩子的暑假呢？

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