第三章 导数与微分
第三章导数与微分
学习目的和要求
学习本章，要求读者掌握导数和微分的基本概念，学会运用求导法则熟练计算导数、微分，并了解导数和微分在边际分析中的应用．
第一节导数概念
1．导数概念的引进
由平均速度求瞬时速度．
由割线的斜率求切线的斜率．
2.定义
设函数
在点x的某一邻域内有定义．给x以增量设函数取得
对应的增量
时，增量之比的极限
如果当
在点x的导数，记为，
存在，就称这个极限值为函数
等．
3．导数的几何意义
函数
处的导数值，恰是曲线在对应点处切线
的斜率．
4．可导与连续的关系
若函数处可导，则处连续。
5．利用定义求导数
例如
第二节求导法则及基本求导公式
1．导数的四则运算
均为可导函数，则有
若
2．复合函数求导法则
设函数
,而函数在对应点
有导数
导数
的乘积，即
3．反函数求导法则
设函数
在某一区间单调、连续，又在该区间内一点y处导数
存在且不为零，则反函数
在对应点x处存在导数，且有
4．隐函数求导法则
设函数的某一邻域内具有连续偏导数
则存在着唯一一个函数
且
，即
的某一邻域内单值连续，恒能满足方程
，在该邻域内具有连续导数
并且满足条件
5．基本求导公式
第三节高阶导数
在生产实践中，我们不仅要了解物体运动的速度，而且往往要了解物体运动速度变化的快慢，即速度关于时间的变化率，在物理上称为加速度．由于加速度可以表示为速度的一阶导数，而速度又可表示为路径关于时间的一阶导数，这样加速度就可视为路径关于时间的二阶导数，记为
阶导数的导数为阶导数，
类似地，称二阶导数的导数为三阶导数，
分别记为
[例1] 求指数函数
的阶导数。
解
[例2] 求正弦函数
的阶导数。
的阶导数。
[例3] 求指数函数
解
四节微分
1．定义
由导数定义若则为时亦趋向零的无穷小量，从而有
这就是说，当
存在时，函数增量可分成两个部分，一部分为
，另一部分为
可以作为的主要部分．又
更高阶的无穷小量．因而
由于它关于
记为
．
自变量χ的微分定义为
(1)导数是微分之商对一般函数
，按微分定义有
从而
故导数又可视为因变量的微分和自变量微分的商．这样，导数符号就有了更
实在的意义，它不仅是一个整体的导数记号，而且也确实表示了的商．
(2)微分运算完全类似于导数运算，求一阶微分实际上只用到相应的求导数运算．微分法则如下：
(3)一阶微分形式不变性所谓一阶微分形式不变性是指对于函数
是自变量还是中间变量，其一阶微分都具有形式：
，无论
其实，当是中间变量即得
[例] 利用微分形式不变性，求函数的微分，
解令故
第五节导数在边际分析中的应用
1．在经济分析中，经常采用边际分析方法，所谓边际分析就是利用导数来分析经济现象．
例如：在成本分析中引入成本函数，这里为固定成本，
．而边际成本就是成本函数关于产量的导数：
Q为产量，则平均成本
附近作微小变化时成本的增加率或减少率(即每增加1单
它刻画了当产量在
位产量引起的成本增加量或减少量)．
为价格，为产量，则总收益函数为
又如：记
其边际收益为
2．弹性
经济学上的弹性表示一个经济变量(因变量)的相对增长与另个经济变量(自变量)的相对增长之比，用数学式可表示为
如果我们稍作一点变换,则弹性又可表示为
因而弹性又可理解为边际函数和平均函数之比．
例如：已知需求函数为，则需求的弹性为
弹性的图解法设有函数
，在A点的弹性可以利用 OA和过A点的
切线与轴的交角或有关线段比来表示(如图3．1所示) ：
第三章导数和微分
例1：讨论函数
例2：
例3：分段函数处是否连续？是否可导？为什么？
例4：
例5：
例6：
例7：
例8：
例9：
例10：
例11：证明曲线xy=1 (x>0，y>0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一个常数.
例12：
例13：
第三章导数与微分
单元测试
一、选择题
在点处可导，则（）
1、设函数
在点处可导，则（）
2、设函数
，若存在，且，则
3、设函数
（）
A、A
B、2A
C、-A
D、
4、设
处可导，则等于（）
A、 B、
C、 D、
5、函数的导数是函数改变量与自变量改变量之比当________趋于0时的极限（）
A、自变量
B、函数
C、函数改变量
D、自变量改变量
6、一物体按规律作直线运动，当其速度为零时，（）
7、设曲线在点的切线的斜率为（）
8、曲线上点M处的切线斜率是15，则点M的坐标是（）
9、已知三次抛物线在点处的切线斜率都等于3，则点
分别为（）
10、曲线
在点处的切线斜率为
且曲线过点（2，5），则该
曲线方程为（）
11、函数在某点不可导，函数所表示的曲线在相应点的切线（）
A、一定不存在
B、不一定不存在
C、一定存在
D、一定平行于y轴
12、设曲线
在某点的切线的点斜式方程为
，则该切
线的斜率 k=（）
A、
B、2
C、
D、4
13、过曲线
上一点（2，3）的切线的斜率是（）
A、-2
B、2
C、-1
D、1
14、设函数
，则
在
处（）
A、左导数不存在
B、右导数不存在
C、导数
D、不可导
15、
（）
A、
B、
C、
D、
16、下列函数在点
处可导的是（）
17、若函数f(x)在点
处有不等于0的导数，并且其反函数g(x)在点
处连续，则
(
)
18、下列函数中，哪个是在
处没有导数的连续函数()
19、函数
在点
处（）
A、不可导
B、连续
C、可导且
D、无法判断是否可导
20、已知函数
，则
处（）
A、导数
B、间断
C、导数
D、连续但不可导
21、设函数
，则
在点
处（）
A、不连续
B、连续但左、右导数不存在
C、连续但不可导
D、可导
22、根据函数在一点的连续与可导的关系，判断函数
在下列哪一点处不可导？（）
A、
B、
C、
D、
23、设函数
，则
处（）
A、可导
B、连续但不可导
C、不连续
D、无定义
24、下列函数中在点
处连续且可导的是（）
A、
B、
C、
D、
25、设
，则方程
有（）
A、一个实根
B、二个实根
C、三个实根
D、无实根
26、设
是偶函数且可导，则必有（）
27、设
的导函数，则
（）
28、已知函数
，则（）
，则（）
29、设
30、已知函数，则= （）
，则( )
31、设
，则（）
32、设
A、 B、
C、 D、
是由方程确定的函数，则（）
33、设
34、设（）
35、设
，则（）
A、 B、 C、 D、
36、设，则（）
A、 B、 C、 D、
37、=（）
A、 B、 C、 D、
38、设
都是可微函数，则（）
，则（）
39、设
40、设
则（）
41、设
，则（）
A、 B、 C、 D、
（）
42、
A、 B、 C、 D、
，则（）
43、设
A、 B、 C、 D、
在点处可导并取得改变量△x,则函数在处的
44、设函数
微分是（）
，则球的体积增加量，即
45、将半径为R的球加热，如果球的半径增加
为自变量，当时，（）
46、设
A、 B、0 C、 C、
47、当|x|很小时，（）
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
(完整版)第二章.导数和微分答案解析
第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =
03第三章-导数与微分
第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在 点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.
2第二章 导数与微分答案
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
第三章导数与微分习题解答
P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、
0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证： （1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。 （2）设()f x 为可导的偶函数，则：
导数与微分练习题答案
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
(完整版)第二章导数与微分(答案)
x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义
10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导
经济数学(导数与微分习题及答案)
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解 (1) 因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=2 1 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为 00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以 sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以 y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x ?→?→?==? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在)
第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版
第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；
导数与微分导数概念
第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''
第二章导数与微分试题及答案
第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=
法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
第二章导数与微分教学文案
第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度
★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不
高等数学第三章导数与微分
第三章导数与微分 一、导数概念与定义 A 、导数的概念 a 、设函数y=f （x ）在点0x 处的某临域内有定义，当自变量x 在0x 处取得变量△x （△x ≠0）时，函数取得 相应增量。即△y=f （0x +△x ）-f （0x ） 若△y 与△x 之比当△x →0时极限存在，即000()()lim x f x x f x x ?→+?-?存在，，则称函数在点0x 处可导，0x 为()y f x =的可导点，并称此极限为函数在点0x 处的导数。 法线的斜率为1k ，切线的斜率为k b 、若0 000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=→不存在，则称()f x 在0x 处不可导或不存在导数，0x 为()f x 的不可导点。 ※特别是当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()f x 在点0x 处的导数无穷大。 导数()f x '也可记为0|x x dy dx =或0()|f x x x x d d = c 、函数的左导数与右导数 0000()()()lim x f x f x f x x x --→-'=→ 0000 ()()()lim x f x f x f x x x ++→-'=→ ※分段函数的分段点处考虑左导右导，其余正常求导时直接求()f x ' B 、导数的几何意义 曲线在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线在点00(,())x f x 处的发现方程为0001()()y y x x f x --= -' C 、函数的可导性与连续性的关系 函数()y f x =在0x 处可导，则在0x 处连续；但函数()y f x =在0x 处连续，在点0x 不一定可导。 二、求导法则 A 、 代数和的求导法则，积的导数、商的导数 ① ()u v u v '''+=+ ② ()u v u v v u '''?=+ ③ ()cu cu ''= ④ ()au bv au bv '''±=± ⑤ ()u v w s t u vwst uv wst uvw st uvws t uvwst ''''''????=++++ 即n 个因子乘积的导数一定为n 项，且每项均为n 个因子的乘积，第i 项的第i 个因子求导，其余不变 ⑥ 2()u u v v u v v ''-'= B 、 反函数的导数
3第三章 微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),() ()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π = ， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．
03第三章 导数与微分
页脚内容1 第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点求复合函数和隐函数的导数的方法. （二）内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(00x f x x f y -?+=?，若极限
页脚内容2 存在，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记为)(0x f '，也可记为 00 0d d d d , , )(x x x f x x x y x x y x y ===' '或 ，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0x 处不可导. 若固定0x ，令x x x =?+0，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '也可表示为 00 0) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→. ⑵左导数与右导数 ①函数)(x f 在点0x 处的左导数 )(0x f -'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??- - →?→?) ()(lim lim 0000 . ②函数)(x f 在点0x 处的右导数 )(0x f +'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??+ + →?→?) ()(lim lim 000 0. ③函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0x 处的左导数和右导数都存在且相等．
第二章 导数与微分部分考研真题及解答
第二章 导数与微分 2.1导数的概念 01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ） （A ）01lim (1cosh)h f h →-存在 （B ）01 lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01 lim [(2)()]h f h f h h →-存在 03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= (A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0. (C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3 x x x f ?-=，其中)(x ?在x =1处连续，则0)1(=?是f (x )在x =1处可 导的 [ A ] (A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )= x 1 ，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22 lim 1n f h h →=,则 （ C ） (A )()()' 000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 (C)()()' 000f f +=且存在 (D)()()' 010f f +=且存在 07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =） (A ) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在
第三章 导数和微分答案
高等数学II 练习题 第三章 导数与微分 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题3.1 导数的概念 一．选择题 1．设()f x 在x a =的某邻域内有定义，()f x 在x a =可导的充分必要条件是 （ C ） （A ）0 1lim (()())h h f a f a h →+ -存在 （B ）0 (2)() lim h f a h f a h h →+-+存在 （C ）0 ()() lim h f a f a h h →--存在 （D ）0 ()() lim h f a h f a h h →+--存在 2．设()f x 是可导函数，且0 (1)(1) lim 12x f f x x →--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线 斜率为 （ B ） （A ）1- （B ）2- （C ）6 （D ）1 3. 设()f x 在x 处可导，,a b 为常数，则0 ()() lim x f x a x f x b x x ?→+?--?=? （ B ） （A ）()f x ' （B ）()()a b f x '+ （C ）()()a b f x '- （D ） ()2 a b f x +' 4. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 （ B ） （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要 5．设曲线22y x x =+-在M 点处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 （ B ） （A ）(0,1) （B ）(1,0) （C ）(0,0) （D ）(1,1) 6.设函数()|sin |f x x =，则()f x 在0x =处 （ B ） （A ）不连续 （B ）连续，但不可导 （C ）可导，但不连续 （D ）可导，且导数也连续 二．填空题 1．设()f x 在0x 处可导，000 (3)() lim h f x h f x h →+-= 。 2．设()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0 ()lim x f x x →= 。 3．设0()2f x '=-，则0 00lim (2)() x x f x x f x →=-- 。 4．设()(1)(2)(2009)f x x x x x =--- ，则(0)f '= 。 5．已知物体的运动规律为2 s t t =+（米），则物体在2t =秒时的瞬时速度为 。 03()f x ' (0)f '1 42009!-5/m s
第二章导数与微分总结
第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y