人教a版数学【选修1-1】作业：1.2充分条件与必要条件(含答案)

§1.2充分条件与必要条件

课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．

1．如果已知“若p，则q”为真，即p?q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．

2．如果既有p?q，又有q?p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p?q且q?p，则p是q的________________________条件．

一、选择题

1．“x>0”是“x≠0”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．设集合M＝{x|0

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．用符号“?”或“?”填空.

(1)a>b________ac2>bc2；

(2)ab≠0________a≠0.

8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2

9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．

三、解答题

10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．

11.已知P ＝{x |a －4

能力提升

12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为

min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为

l ＝max ??????a b ，b c ，c a ·min ????

??a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )

A ．必要而不充分条件

B ．充分而不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．

1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．

2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ?B 证明了必要性；B ?A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ?B 证明了充分性；B ?A 证明了必要性．

§1.2 充分条件与必要条件 答案

知识梳理

1．充分条件 必要条件

2．p ?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要

作业设计

1．A [对于“x >0”?“x ≠0”，反之不一定成立．

因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]

2．A [∵q ?p ，∴綈p ?綈q ，反之不一定成立，

因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]

3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]

4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]

5．A [l ⊥α?l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]

6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a

<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有

一根为－12

，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]

7．(1) ? (2)?

8．a >2

解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2－a ，即a >2.

9．b ≥－2a

解析 由二次函数的图象可知当－b 2a

≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在 [1，＋∞)上单调递增．

10．解 (1)∵|x |＝|y |?x ＝y ，

但x ＝y ?|x |＝|y |，

∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．

(2)△ABC 是直角三角形?△ABC 是等腰三角形．

△ABC 是等腰三角形?△ABC 是直角三角形．

∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．

(3)四边形的对角线互相平分?四边形是矩形．

四边形是矩形?四边形的对角线互相平分．

∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．

11．解 由题意知，Q ＝{x |1

∴?

????

a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．

12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，

∴l ＝max ??????a b ，b c ，c a ·min ????

??a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．

∵a ≤b ≤c ，∴max ??????a b ，b c ，c a ＝c a

. 又∵l ＝1，∴min ??????a b ，b c ，c a ＝a c

， 即a b ＝a c 或b c ＝a c

， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．

∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]

13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，

∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，

∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，

∴a n ＋1－a n ＝2为常数．

又a 1＝S 1＝4＋c ，

∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，

∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2. ∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，

∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.