遗传算法的基本原理111

第二章 遗传算法的基本原理

2.1 遗传算法的基本描述 2.1.1 全局优化问题

全局优化问题的定义：给定非空集合S 作为搜索空间，f ：S —>R 为目标函数，全局优化问题作为任务)(max x f S

x ∈给出，即在搜索空间中找到至少一个使目

标函数最大化的点。

全局最大值（点）的定义：函数值+∞<=)(**x f f 称为一个全局最大值，当且仅当)()(*x f x f S x ≤?∈?成立时，S x ∈*被称为一个全局最大值点（全局最大解）。

局部极大值与局部极大值点（解）的定义：

假设在S 上给定了某个距离度量ρ，如果对S x ∈'，0>?ε，使得对S x ∈?，

)()(),(''x f x f x x ≤?<ερ，则称x ’为一个局部极大值点，f (x ’)为一个局部极大值。当目标函数有多个局部极大点时，被称为多峰或多模态函数（multi-modality function ）。

主要考虑两类搜索空间：

伪布尔优化问题：当S 为离散空间B L ={0,1}L ,即所有长度为L 且取值为0或1的二进制位串的集合时，相应的优化问题在进化计算领域称为伪布尔优化问题。

连续参数优化问题：当取S 伪n 维实数空间R n 中的有界集合],[1i i n i b a S =∏=，其中i i b a <，i = 1, 2, … , n 时，相应的具有连续变量的优化问题称为连续参数优化问题。

对S 为B L ={0,1}L ，常采用的度量时海明距离，当],[1i i n i b a S =∏=时，常采用的度量就是欧氏距离。

2.1.2 遗传算法的基本流程

遗传算法的基本步骤如下：

1）选择编码策略，把参数集合X和域转换为位串结构空间S；

2）定义适应度函数f(X)；

3）确定遗传策略，包括群体规模，选择、交叉、变异算子及其概率。

4）生成初始种群P；

5）计算群体中各个体的适应度值；

6）按照遗传策略，将遗传算子作用于种群，产生下一代种群；

7）迭代终止判定。

遗传算法涉及六大要素：参数编码，初始群体的设定，适应度函数的设计，遗传操作的设计，控制参数的设定，迭代终止条件。

2.1.3 遗传编码

由于GA计算过程的鲁棒性，它对编码的要求并不苛刻。原则上任何形式的编码都可以，只要存在合适的对其进行操作的遗传算子，使得它满足模式定理和积木块假设。

由于编码形式决定了交叉算子的操作方式，编码问题往往称作编码-交叉问题。

对于给定的优化问题，由GA个体的表现型集合做组成的空间称为问题（参

数）空间，由GA基因型个体所组成的空间称为GA编码空间。遗传算子在GA

编码空间中对位串个体进行操作。

定义：由问题空间向GA 编码空间的映射称为编码，而有编码空间向问题空间的映射成为译码。

问题编码一般应满足以下三个原则：

1）完备性（completeness ）：问题空间中的所有点都能能成为GA 编码空间中的点的表现型。即编码应能覆盖整个问题空间。 2）健全性（soundness ）：GA 编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解。即每个编码必须是有意义的。 3）非冗余性（non-redundancy ）：染色体和潜在解必须一一对应。

在某些情况下，为了提高GA 的运行效率，允许生成包含致死基因的编码位串，它们对应于优化问题的非可行解。虽然会导致冗余或无效的搜索，但可能有助于生成全局最优解所对应的个体，所需的总计算量可能反而减少。

根据模式定理，De Jong 进一步提出了较为客观明确的编码评估准则，称之为编码原理。具体可以概括为两条规则：

1）有意义积木块编码规则：编码应易于生成与所求问题相关的短距和低阶的积木块。 2）最小字符集编码规则：编码应采用最小字符集，以使问题得到自然、简单的表示和描述。

1．二进制编码

1）连续实函数的二进制编码

设一维连续实函数],[),(v u x x f ∈采用长度维L 的二进制字符串进行定长编码，建立位串空间：

{}K L a a a S ,,,21 =，),,,(21kL k k k a a a a =，{}1,0∈kl a

k =1,2,…,K; l =1,2,…,L; K=2L

其中，个体的向量表示为),,,(21kL k k k a a a a =，其字符串形式为

kL k k k a a a s 21=，s k 称为个体a k 对应的位串。表示精度为)12/()(--=?L u v x 。

将个体又位串空间转换到问题空间的译码函数],[}1,0{:v u L →Γ的公式定义为：

)2(12),,,(1

21∑=---+=Γ=L

j j L kj L kL k k k a u v u a a a x

对于n 维连续函数),,2,1](,[),,,,(),(21n i v u x x x x x x f i i i n =∈=，各维变量的二进制编码位串的长度为l i ,那么x 的编码从左到右依次构成总长度为∑==n

i i

l L 1的二进制编码位串。相应的GA 编码空间为：

},,,{21K L a a a S =，K=2L

该空间上的个体位串结构为

}1,0{),,,,,,,,,,,,,,,,,,(2121222211121121∈=i kl n kl n k n k i kl i k i k kl k k kl k k k a a a a a a a a a a a a a a n i n kl n k n k i kl i k i k kl k k kl k k k n i a a a a a a a a a a a a s 2121222211121121=

对于给定的二进制编码位串s k ,位段译码函数的形式为

)2(12),,,(1

2

1

∑=---+=Γ=i i i i

l j j

l i kj l i i i i kl i k i k i

i a u v u a a a x ， i = 1,2,…,n

采用二进制编码的GA 进行数值优化时，可以通过改变编码长度，协调搜索精度和搜索效率之间的关系。

2） 组合问题的二进制编码

在很多组合优化问题中，目标函数和约束函数均为离散函数，采用二进制编码往往具有直接的语义，可以将问题空间的特征与位串的基因相对应。

2．其他编码 1) 大字符集编码 2) 序列编码 3) 实数编码 4) 树编码 5) 自适应编码 6) 乱序编码 7) 二倍体和显性规律

Lawrence Davis 等学者主张：采用的编码对问题来讲应该时最自然的，并可以据此设计能够处理该编码的遗传算子。

2.1.4 群体设定

遗传算法的两个主要特点之一就是基于群体搜索的策略，群体的设定，尤其是群体规模的设定，对遗传算法性能有着重要的影响。这中间包括两个问题：1）初始群体如何设定；2）进化过程中各代的规模如何维持？

1．初始群体的设定

遗传算法中初始群体中的个体是按一定的分布随机产生的，一般来讲，初始群体的设定可以采用如下的策略：

1）根据问题固有知识，设法把握最优解所占空间在整个问题空间中的分布范围，然后，在此分布范围内设定初始群体。

2）先随机生成一定数目的个体，然后从中挑出最好的个体加入到初始群体中。这一过程不断重复，直到初始群体中个体数达到了预定的规模。

2．群体规模的设定

根据模式定理，若群体规模为M，则遗传操作可从这M个个体中生成和检测O(M3)个模式，并在此基础上不断形成和优化积木块，直到找到最优解。显然M越大，遗传操作处理的模式就越多，生成有意义的积木块并逐渐进化为最优解的机会就越高。换句话说，群体规模越大，群体中个体的多样性越高，算法陷入局部最优解的危险就越小。

另外，群体规模太小，会使遗传算法的搜索空间分布范围有限，因而搜索有可能停止在未成熟阶段，引起未成熟收敛（premature convergence）现象。

但是，从计算效率来看，群体规模越大，其适应度评价次数越多，计算量也就越大，从而影响算法的效率。

研究表明，在二进制编码的前提下，为了满足隐并行性，群体个体数只要设定为2L/2即可，L为个体串长度。这个数比较大，实际应用中群体规模一般取几十～几百。

2.1.4 适应度函数（评价函数）

遗传算法在进化搜索中基本不用外部信息，仅用目标函数即适应度函数为依据。遗传算法的目标函数不受连续可微的约束且定义域可以为任意集合。对适应度函数的唯一要求是，针对输入可计算出能加以比较的非负结果（比例选择算子需要）。需要强调的是，适应度函数值是选择操作的依据，适应度函数设计直接影响到遗传算法的性能。

1．目标函数映射成适应度函数

对于给定的优化问题，目标函数有正有负，甚至可能是复数值，所以有必要通过建立适应度函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应度值是非负的，而且目标函数的优化方向应对应于适应度值增大的方向。

1）对最小化问题，建立如下适应函数和目标函数的映射关系：