2014年北京高考理科数学试题详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．(2014北京，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()．

A．{0} B．{0,1}

C．{0,2} D．{0,1,2}

答案：C

解析：解x2－2x＝0，得x＝0，x＝2，故A＝{0,2}，所以A∩B＝{0,2}，故选C.

2．(2014北京，理2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()．

A

．y B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 答案：A

解析：A

项，y为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；

B项，y＝(x－1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；

C项，

1

=2=

2

x

x

y-

??

?

??

为R上的减函数；

D项，y＝log0.5(x＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A.

3．(2014北京，理3)曲线

=1cos,

2sin

x

y

θ

θ

-+

?

?

=+

?

(θ为参数)的对称中心()．

A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上答案：B

解析：由已知得

cos1, sin2,

x

y

θ

θ

=+?

?

=-?

消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.

所以其对称中心为(－1,2)．

显然该点在直线y＝－2x上．故选B.

4．(2014北京，理4)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()．

A．7 B．42 C．210 D．840

答案：C

解析：开始：m＝7，n＝3.

计算：k＝7，S＝1.

第一次循环，此时m －n ＋1＝7－3＋1＝5，显然k ＜5不成立，所以S ＝1×7＝7，k ＝7－1＝6.

第二次循环，6＜5不成立，所以S ＝7×6＝42，k ＝6－1＝5. 第三次循环，5＜5不成立，所以S ＝42×5＝210，k ＝5－1＝4. 显然4＜5成立，输出S 的值，即输出210，故选C.

5．(2014北京，理5)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( )．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案：D

解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为10,1a q >??>?或10,

0 1.

a q

为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.

6．(2014北京，理6)若x ，y 满足20,

20,0,x y kx y z y x y +-≥??

-+≥=-??≥?

且且z ＝y －x 的最小值为－4，

则k 的值为( )．

A ．2

B ．－2

C ．12

D ．12

- 答案：D

解析：如图，作出20,

0x y y +-≥??

≥?

所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值－4时

对应的直线y －x ＝－4，即x －y －4＝0.显然z 的几何意义为目标函数对应直线x －y ＋z ＝0在

x 轴上的截距的相反数，故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点，又kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，故201

042

k -=

=--.故选

D.

7．(2014北京，理7)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)

，

D ．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图

形的面积，则( )．

A ．S 1＝S 2＝S 3

B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3

C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2

D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1 答案：D 解析：三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2,0,0)，B 1(2,2,0)，C 1(0,2,0)，D 1(1,1,0)．显然D 1点为A 1C 1的中点，如图(1)，正投影为Rt △A 1B 1C 1，其面积S 1＝1

2

×2×2＝2.

三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0,0,0)，B 2(0,2,0)，C 2(0,2,0)，

2D ．显然B 2，C 2重合，如图(2)，正投影为△A 2B 2D 2，其面积21

22

S =?=三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2,0,0)，B 3(2,0,0)，C 3(0,0,0)，

3D ，由图(3)可知，正投影为△A 3D 3C 3，其面积31

22

S =?=综上，S 2＝S 3，S 3≠S 1.故选D.

图(1)

图(2)

图(3)

8．(2014北京，理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )．

A ．2人

B ．3人

C ．4人

D ．5人 答案：B

解析：用A ，B ，C 分别表示优秀、及格和不及格．显然，语文成绩得A 的学生最多只有一人，语文成绩得B 的也最多只有1人，得C 的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人．

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．(2014北京，理9)复数2

1i 1i +??

?-??

＝__________.

答案：－1

解析：21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2++===--+，所以2

21i i 11i +??==- ?-??

. 10．(2014北京，理10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|

＝__________.

解析：|=λa ＋b ＝0，得b ＝－λa ，故|b |＝|－λa |＝|λ||a |，所以

||

||||λ=

==b a 11．(2014北京，理11)设双曲线C 经过点(2,2)，且与2

214

y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为__________；渐近线方程为__________．

答案：22

1312

x y -= y ＝±2x 解析：双曲线2

214y x -=的渐近线方程为y ＝±2x . 设与双曲线22

14y x -=有共同渐近线的方程为224

y x λ-=， 又(2,2)在双曲线上，故2

222=4λ-，解得λ＝－3. 故所求双曲线方程为22

34y x -=-，即22=1312

x y -. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .

12．(2014北京，理12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝__________时，{a n }的前n 项和最大．

答案：8

解析：由等差数列的性质可得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，即a 8＞0；而a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，故a 9＜0.所以数列{a n }的前8项和最大．

13．(2014北京，理13)把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种．

答案：36

解析：产品A ，B 相邻时，不同的摆法有24

24A A =48种．而A ，B 相邻，A ，C 也相邻时的摆法为A 在中间，C ，B 在A 的两侧，不同的摆法共有23

23A A =12(种)．

故产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48－12＝36(种)．

14．(2014北京，理14)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间ππ,62??????上具有单调性，且π2ππ236f f f ??????

== ? ? ???????

，则f (x )的最小正周期为

__________．

答案：π

解析：由f (x )在区间ππ,

62??????上具有单调性，且ππ26f f ????

=- ? ?????

知，f (x )有对称中心π,03?? ???，由π2π23f f ????

= ? ?????知f (x )有对称轴1π27ππ22312

x ??=+= ???.记f (x )的最小正周期为T ，则1ππ226T ≥-，即2π3T ≥.故

7πππ12344

T

-==，解得T ＝π. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题13分)(2014北京，理15)如图，在△ABC 中，π

3

B ∠=

，AB ＝8，点D 在

BC 边上，且CD ＝2，1cos 7

ADC ∠=

.

(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．

分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD ＝∠ADC －∠B ，然后即可利用两角差的正弦公式求解；(2)在△ABD 中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD ，然后在△ABC 中，直接利用余弦定理求AC 即可．

解：(1)在△ADC 中，因为1cos 7

ADC ∠=，

所以sin 7

ADC ∠=

. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B

＝

11727214

-?=

. (2)在△ABD 中，由正弦定理得

8sin 3sin AB BAD BD ADB ?∠==∠＝. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×

1

2

＝49. 所以AC ＝7.

16．(本小题13分)(2014北京，理16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设

(1) (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；

(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)

分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求；(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率

求解；(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX 与x 的大小关系．

解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.

所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.

(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C A B A B = ，

A ，

B 独立．

根据投篮统计数据，()35P A ＝，()25

P B ＝. P (C )＝()332213()+()555525

P C P AB P AB =

?+?=＝. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为

1325

. (3)EX x ＝. 17．(本小题14分)(2014北京，理17)如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .

(1)求证：AB ∥FG ；

(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．

分析：(1)首先利用AM ∥ED 得到AB ∥平面PDE ，然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论；(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求出直线BC 的方向向量和平面ABF 的法向量，利用这两个向量的夹角表示所求，再根据H 在

PC 上，设出H 的坐标，然后利用平面ABF 的法向量与AH

垂直确定参数取值，进而求出H

点的坐标，最后利用坐标公式求得线段长度．

(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点， 所以AB ∥DE .

又因为AB ?平面PDE ，所以AB ∥平面PDE .

因为AB ?平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .

(2)解：因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .

如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，

()1,1,0BC =

．

设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则

0,0,AB AF ??=???=??

n n 即0,

0.x y z =??+=?

令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)．

设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则

sin α＝|cos 〈n ，BC 〉|＝

1

2

||||BC BC ?=

n n . 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6

. 设点H 的坐标为(u ，v ，w )．

因为点H 在棱PC 上，所以可设PH PC λ=

(0＜λ＜1)，

即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量，

所以0AH ?= n ，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得2

3

λ=，

所以点H 的坐标为422,,333??

???

.

所以2PH =.

18．(本小题13分)(2014北京，理18)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，π0,2x ??∈????

.

(1)求证：f (x )≤0；

(2)若sin x a b x <

<对π0,2x ??

∈????

恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 分析：(1)先求出导函数f ′(x )，利用导函数在π(0,)2上的符号判断f (x )在π0,2??

????

上的单调

性，并求出其最大值，即可证得结论；(2)根据x ＞0，将不等式转化为整式不等式，进而转化为()πsin ((0,))2

g x x cx x -∈＝与0的大小关系，注意对参数c 的取值要分c ≤0，c ≥1和0＜c ＜1三种情况进行分类讨论，然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值．

(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .

因为在区间π(0,)2

上f ′(x )＝－x sin x ＜0，

所以f (x )在区间π0,2??????

上单调递减．

从而f (x )≤f (0)＝0. (2)解：当x ＞0时，“

sin x a x >”等价于“sin x －ax ＞0”；“sin x

b x

>”等价于“sin x －bx ＜0”．

令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .

当c ≤0时，g (x )＞0对任意π0,2x ??∈????恒成立．

当c ≥1时，因为对任意π0,2x ??

∈????

，g ′(x )＝cos x －c ＜0，

所以g (x )在区间π0,2??

????

上单调递减．

从而g (x )＜g (0)＝0对任意π

(0,)2x ∈恒成立．

当0＜c ＜1时，存在唯一的π

(0,)2

x ∈使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.

g (x )与g ′(x )在区间π

(0,)上的情况如下：

因为g (x )0所以g (x 0)＞g (0)＝0.

进一步，“g (x )＞0对任意π(0,)2

x ∈恒成立”当且仅当ππ1022g x ??=-≥

?

??

，即2

0π

c <≤

. 综上所述，当且仅当2πc ≤

时，g (x )＞0对任意π

(0,)2

x ∈恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )＜0对任意π

(0,)2

x ∈恒成立．

所以，若sin x a b x <

<对任意π

(0,)2

x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 19．(本小题14分)(2014北京，理19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．

分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求得离心率e ；(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后根据A ，B 两点横坐标是否

相等分类，分别求出原点O 到直线AB 线与圆的位置关系．

解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为22

=142

x y +.

所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2

，c =

故椭圆C

的离心率2

c e a =

=

. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：

设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0.

因为OA ⊥OB ，所以0OA OB ?= ，即tx 0＋2y 0＝0，解得00

2y

t x =-.

当x 0＝t 时，2

02

t y =-，代入椭圆C

的方程，得t =

故直线AB

的方程为x =

圆心O 到直线AB

的距离d ，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．

当x 0≠t 时，直线AB 的方程为002

2=y y x t

---(x －t )，

即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB

的距离d =.

又2200+24x y =，0

2y t x =-

，

故d =

==此时直线AB 与圆x ＋y ＝2相切．

20．(本小题13分)(2014北京，理20)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．

(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；

(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P ′)的大小；

(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值．(只需写出结论)

分析：(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值；(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P ′)，然后根据a ，b ，c ，d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小，即可求得T 2(P )和T 2(P ′)的大小关系；(3)先比较已知数据大小，然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列，依次求出T 1(P )，T 2(P )，T 3(P )，T 4(P )，T 5(P )即可．

解：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，

T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8. (2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }， T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }．

当m ＝a 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋b .

因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)． 当m ＝d 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋a ＋b .

因为a ＋b ＋d ≤c ＋a ＋b ，且a ＋c ＋d ≤c ＋a ＋b ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．

所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．

(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.