一道反比例函数中考题的探究与思考

一道反比例函数问题的探究与思考

430080 湖北省武汉市青山区武钢实验学校 范有根

问题：（2010年武汉）如图1

，直线3

y x b =-

+与y 轴交于点A ，与双曲线k y x =在第一

象限交于B 、C 两点，且AB ·AC=4，则k =_________．

中学数学·2010年第11期《活跃在中考中的反比例函数》文章的解答如下：

解：过点B 作BD ∥x 轴交y 轴于点D ，过点C 作CE ∥x 轴交y

的横坐标分别为x 1，x 2.

由3

y x b

=-

+知直线与x 轴的夹角为30°，

∴BD AB =CE AC = ∴BD ，

CE AC ∴x 1·x 2. =BD ·CE=

3

4

AB ·AC 而AB ·AC=4 ，∴x 1·x 2. =3 把y

x b =+代人到k y x =， 并整理得2

0x bx k +-=，

根据根与系数关系可得x 1·x 2. =3，k =点评：本题综合考查了反比例函数、一次函数的图象与性质，以及锐角三角函数，需要说明的是，本题的解答过程用到了韦达定理，这超出了现行《课程标准》的要求。本题综合难度较大，以上解答比较繁琐，要让学生掌握有些困难。下面介绍本人从平面几何知识入手对此题的探究，特提供给读者，便于读者掌握。

一、善于联想：首先思考这样一道例题。 例：（1）问题探究：如图2，已知△ABC 与△ABD 的面积相等， 试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

解：平行，理由如下：过点C 、D 作AB 的垂线，垂足分别为P 、Q 。由面积相等可知CP=DQ,又CP ∥DQ ，∴四边形CDQP 是平行四边形，∴AB ∥CD （2）结论应用：

① 如图3，点M 、N 在反比例函数k

y x

=

（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ． 试证明：MN ∥EF ．

解：连EN 、FM 、ON 、OM. ∵ME ⊥y 轴,NF ⊥x 轴, x 轴⊥y 轴,∴ME ∥x 轴, NF ∥y 轴, ∴S △OEM =S △FEM ，S △OFN =S △FEN ，由反比例函数k 值的几何意义知S △OEM = S △OFN ， ∴S △FEM =S △FEN ，∴MN ∥EF

②如图4，若①中的其他条件不变，只改变点M 、N 的位置，请判断MN 与EF 是否平行．

形设∴=四、快乐体验：

1. 如图8，梯形OABC 放置在平面直角坐标系中,腰AB 与反比例函数x

y 4

=

（x ＞0）的图象交于点B 、D ，过点B 向y 轴作垂线，垂足为C ，连接CD 、OD ，则S ⊿OAD + S ⊿BCD = 。