高中数学《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案2 新人教A版选修2-3

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

第一课时

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*

+=+++++∈ ，

（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ .

2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r

的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

()n

a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数

表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0

n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n C 可以看成

以r 为自变量的函数()f r

定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵

m

n m

n n

C C -=）．

直线2

n r =

是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵1

(1)(2)(1)

1

!

k

k n n

n n n n k n k C C k k ----+-+==?

，

∴k

n C 相对于1

k n C -的增减情况由1

n k k

-+决定，1

112

n k n k k

-++>?<，

当12

n k +<

时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取

得最大值；

当n 是偶数时，中间一项2

n n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12

n n C -，1

2n n C +取得最大

值．

（3）各二项式系数和：

∵1(1)1n r r n

n n x C x C x x +=+++++ ，

令1x =，则0122n r n

n n n n n C C C C C =++++++ 三、讲解范例：

例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*

+=+++++∈ 中，令

1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n

n n n n n C C C C C -=-+-++- ，

即02130()()n n n n C C C C =++-++ ，

∴0213n n n n C C C C ++=++ ，

即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知02131

2n n n n

n C C C C -++=++= . 例2．已知727

0127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：

（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为

0127a a a a ++++

∴0127a a a a ++++ 1=-，

当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①

令1x =-，7

012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②

①-② 得：7

13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7

132

+-

.

（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，

∴由（2）中①+② 得：7

02462()13a a a a +++=-+，

∴ 7

0246132

a a a a -++++=

，

∴017||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-

7

02461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数

解：)

x 1(1]

)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10

10

2+-+-+=

+++++）（

=

x

x x )1()

1(11

+-+，

∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C