河南省安阳一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

安阳一中2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题

一、选择题：(每小题5分,共计60分)

1. 若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x|0＜x ＜5，x ∈R}，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件

D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件

2. 函数3()31f x x x =-+在闭区间 [-3，0] 上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，? 1 B ．1，? 17 C ．3，? 17 D ．9，? 197

3. 当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是

（ ）

A ．y x 322

=或x y 212

-

= B ．y x 322

-=或x y 212

=

C ．x y 322=或y x 2

12

-=

D ．x y 322-=或y x 2

12

=

4．

dx x ?-+22

)cos 1(π

π=( )

A ． π

B ． 2

C ． 2-π

D ． 2+π

5．已知函数)()2

9

3(32)(2R a ax x x x f ∈--=

，若函数)(x f 的图像在点P （1，m ）处的切线方程为03=+-b y x ，则m 的值为( )

A ．

3

1

B ．

2

1 C ．－

3

1 D ．－

2

1 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →

〉 的值为( )

A. 19

B. 49 5

C. 29 5

D. 23 7．函数cos2y x =在点(

,0)4

π

处的切线方程是( )

A ．024=++πy x

B ．440x y π+-=

C ．024=--πy x

D ．024=-+πy x

8. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A ．

3

3

B ．

2

3

C ．

22 D ．32

9．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间

),(b a 内有极小值点（ ）

A ．4个

B ．2个

C ．3个

D ．1个 10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A ．289

B ．1024

C ．1225

D ．1378

11． 在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为( )

A. 15

B. 25

C. 55

D. 25

5

12．过点P (x ,y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A ,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，

若2BP PA = 且OQ AB ?

=1，则点P 的轨迹方程是 （ ）

A ．2

2

331(0,0)2

x y x y +=>> B ．2

2

331(0,0)2

x y x y -=>>

C ．

2

2331(0,0)2x y x y -=>> D ．

2

2331(0,0)2

x y x y +=>> 二、填空题：(每小题5分,共计20分)

13．两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2，0,2)，则l 1与l 2的位置关系是________． 14．曲线x x

y 21

+=

在1=x 处切线的斜率是 . 15．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于________．

16．已知F 是抛物线2

4C y x =：的焦点，过F 且斜率为3的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则

|

|||FB FA 的值等于 ． 三、解答题：(答题时请注意必要的文字说明,总计70分) 17．（本题满分10分）

如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长AB ＝2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ， ⑴求证：A 1C ⊥平面BDE ；

⑵求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值。

18．（本题满分12分）

已知函数()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=．

⑴求函数()f x 的解析式；

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；

19．（本题满分12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD. (1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．

20．（本题满分12分） 已知函数()ln f x x x =。（I ）求()f x 的最小值；

（II ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围。

21． （本题满分

12分）

双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂

直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、

、成等差数列，且BF 与FA

同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．（本题满分12分）

设椭圆E : 22

221x y a b

+=（a ,b >0）过M （2，2） ，N (6,1)两点，O 为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交A ,B 且

OA OB ⊥

？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。

安阳一中2012—2013学年第一学期期末考试

高二理数学参考答案

一.选择题. ACCDC BDABC CD 二.填空题. 13．平行 14．1 15．

6

4

16

．3

18．⑴()2

323f x ax bx '=+-．

根据题意，得()()12,10,

f f =-???'=??即32,3230,a b a b +-=-??+-=?解得10a b =??=? 所以()3

3f x x x =-．

⑵令()0f x '=，即2330x -=．得1x =

±．

因为()12f -=，()12f =-，所以当[]2,2x ∈-时，()max 2f x =，()min 2f x =-． 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有

()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥．

所以c 的最小值为4．

19．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz. （I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.

则

(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-

所以0,0.PQ DQ PQ DC ?=?=

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ.

又PQ ?平面PQC ，所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分

（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C

B B P ==--

设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,

20.0,n CB x x y z n BP ??==????-+-=?=?

??

即 因此可取(0,1,2).n =--

设m 是平面PBQ 的法向量，则0,

0.

m BP m PQ ??=???=??

可取15

(1,1,1).cos ,.5

m m n =<>=-

所以 故二面角Q —BP —C 的余弦值为15

.5

-

………………12分 20解：（Ⅰ）()f x 的定义域为0∞(，+)，()f x 的导数()1ln f x x '=+。

令()0f x '>，解得1e x >

；令()0f x '<，解得1

0e

x <<。 从而()f x 在10e ?? ???，上单调递减，在1e ??

∞ ???，+上单调递增。

所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1

e

-。

（Ⅱ）解法一：令()()(1)g x f x ax =--，则()()1ln g x f x a a x ''=-=-+， ①若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>-≥， 故()g x 在(1)∞，+上为增函数，

所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-。 ② 若1a >，方程()0g x '=的根为 10e a x -=，

此时，若0(1)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数。所以，0(1)x x ∈，时，()(1)10g x g a <=-<即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾。

综上，满足条件的实数a 的取值范围是(1]-∞，。 解法二：依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立，

即不等式1ln a x x ≤+对于[1)x ∈+∞，恒成立。 令1

()ln g x x x

=+，则21111()1g x x x x x ??'=-=- ???。

当1x >时，因为11()10g x x x ??

'=-> ???

，故()g x 是(1)+∞，上的增函数，所以()g x 的最小值是(1)1g =，

从而a 实数的取值范围是(1]-∞，。 21解法一:解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+

由勾股定理可得：2

2

2

()()m d m m d -+=+

得：14d m =

，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23

AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴2

2

431b

a b a =??

- ???

，解得12b a =,则离心率52e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()a

y x c b

=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立

将

2a b

=，

5c b

=代入，化简有

221585

2104x x b b

-+= 2

22

121212411()4a a x x x x x x b b ????????=+-=++-?? ? ???

???????

? 将数值代入，有2

232528454155b b ??

????=- ? ?????

??

,解得3b = 故所求的双曲线方程为22

1369

x y -=．

解法二:解:（Ⅰ）设双曲线方程为1b

y a x 22

22=-(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c 2=a 2+b 2

不妨设l 1：bx-ay =0，l 2：bx+ay =0 则

b b

a |

0a c b ||FA |2

2

=+?-?=

，

22

||OA OF AF a =-=

因为||AB 2+||OA 2=||OB 2，且||OB =2||AB -||OA ， 所以|AB |2+|OA |2=(2|AB |-|OA |)2，

于是得tan ∠AOB=||43

||AB OA =

。 又BF 与FA 同向，故∠AOF=21

∠AOB ， 所以 3

4AOF

tan 1AOF tan 22=

∠-∠ 解得

tan ∠AOF=

2

1

，或tan ∠AOF=-2（舍去）。

因此

b 5b a

c ,b 2a ,2

1

a b 22=+=== 所以双曲线的离心率e=

a

c =25 （Ⅱ）由a=2b 知，双曲线的方程可化为

x 2

-4y 2

=4b 2

① 由l 1的斜率为

2

1

，c=5b 知，直线AB 的方程为 y=-2 (x-5b) ② 将②代入①并化简，得

15x 2

-325bx+84b 2

=0

设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则

x 1+x 2=15b

532，x 1·x 2=15

b 842 ③

AB 被双曲线所截得的线段长

l =]x x 4)x x [(5|x x |)2(121221212

-+=

-?-+ ④

将③代入④，并化简得l =

3

b

4，而由已知l =4，故b=3，a=6 所以双曲线的方程为

19

y 36x 2

2=- 22． 解:（1）因为椭圆E: 22

221x y a b

+=（a,b>0）过M （2，2），N(6,1)两点,

所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211

8

11

4

a b ?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y +=

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m +==+?????得22

2()8x kx m ++=,即

222(12)4280k x kmx m +++-=,

则△=2

2

2

2

2

2

164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22

840k m -+>

1222

1224122812km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?

，

22121212122

(28

()()()12k m y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=

+ 2222222

2

12222

(28)48()121212k m k m m k km x x m m k k k

--+++=-+=+++ 要使O A O B ⊥ ,需使12120x x y y +=,即22222

28801212m m k k k --+=++,所以22

3880m k --=,所以22

38

08

m k -=≥又22840k m -+>,

所以22238m m ?>?≥?

,所以283m ≥,即263m ≥或263m ≤-,

因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为21m

r k =+,222

228381318

m m r m k ===-++

,263r =

,