一元三次方程解析解
一元三次方程解析解
1. 方程310x -=的根
方程310x -=的三个根为11x =
，2x ω==
23x ω==……(1) ()2
i
1=-
证法一：易知310x -=?1x =，由复数几何意义，如图
11x =
，2221cos πisin π332x =+=-+，
3441cos πisin π332x =+=-- 证法二：由公式()()3322a b a b a ab b -=-++
31x =?()()321110x x x x -=-++=?10x -=或210x x ++=
?11x =
，2x =
3x = 证法三：设310x -=的根为i x a b =+
则()3
333222i i 3i 3i a b a b a b ab +=+++3322i 3i 3a b a b ab =-+-
()32233i 3a ab a b b =-+-1=
?322
3
31
30
a a
b a b b ?-=??-=?? ?10a b =??=?或()23
22
3130ab a b a b ?=-??=≠??
?10a b =??=?
或12a b ?
=-??
??=??即11x =
，212x -+=
，312x --=
2. 求方程30x px q ++=的根
设方程30x px q ++=的解的结构为x u v =+，则()()3
0u v p u v q ++++=
?()3322330u v u v uv p u v q ++++++= ?()()3330u v uv u v p u v q ++++++= ?()()3330uv p u v u v q +++++=
又 x u v =+不恒为0，上式若恒为0，则有3330
uv p u v q +=??++=?
可看作关于u 、v 的二次方程，
?3333327p u v u v q ?=-???+=-?
由二元一次方程根与系数的关系知以上方程组的解3u 、3v 是二元一次方程
32027p t qt +-=
的根1,22q t =-
33
22q u q v ?=-+??
??=--??
11u v ??=?
?
?=??
，22u v ω??=???=??
33u v ω??=???=??
其中ω=
，2ω=3. 讨论方程30x px q ++=的判别式23
23q p ????
?=+ ? ?????
3.1 0?>时，有一个实根和两个复根， 3.2 0?=且0p q ==时，有一个三重零根，
3.3 0?=且23
023q p ????
=-≠ ? ?????时，有三个实根，其中两个实根相等：
1x ==
(
223x x ωωω===+
1122?---+=+= ? 3.4 0?<时，有三个不等实根，
《数学手册》：
仅当0p <
时，1x θ=
，()2120x θ=+
，()3240x θ=+ ，
其中r =，1arccos 32q r θ??
=- ???
过程如下：
〔0?<即包含0p <，因为：23023q p ?????=+< ? ??????32
032p q ????
<-≤ ? ?????
?0p <〕
设2q a =-
，b =
()1
3i a b =+)13
arctan arctan cos isin 33b a b a ??????=+ ? ????????
?……①
设r =()0r >
则r ==
设arctan 3b a θ=，则()tan 3b a θ=，又()()
2211tan 3cos 3θθ+=
()()2332222
212331tan 311cos 322q p p b a q q θθ??????-- ? ? ?????????∴=+=+=+=- ??????? ? ?????即()2
2
32cos 33q p θ?? ???=-??
???
即(
)cos 32q
q r θ===±，在后文验算中将舍弃±中的+，得 ()cos 32q
r θ=-
〔 2
3
023q p ?????=+< ? ?????，∴2
3
23q p ????
<- ? ?????
，
两边开方得2q <即2q r < ∴12q
r
<，故满足()cos 31θ≤的三角函数有界性条件〕
①]cos isin θθ+，同理
]cos isin θθ=-，故：
]
]1cos isin cos isin x θθθθθ+-=
]]
211cos isin cos isin 22x θθθθ??=-+++--- ??
1cos 2θθ?=--??
复数中的虚部相互抵消为0
，仅留下实部
22cos cos sin sin 33ππθθ?=-?
?23πθ?
?=+ ??
?()120θ=+
]]
311i cos isin i cos isin 2222x θθθθ??=--++-+- ??
1cos 22θθ?=-+??
44cos cos sin sin 33ππθθ?=-??43πθ?
?=+ ???()
240θ=+ 3.5 验算3.4的解
31
1x
px q ++()
()3
p q θθ=++38cos 2r q θθ=++……②
由3cos34cos 3cos θθθ=-移项得34cos 3cos cos3θθθ=+
∴②()324cos 2r q θθ=++()23cos cos32r q θθθ=+++
6cos 2cos32r r q θθθ=+++(()62cos 2cos3r r q θθ=+++……③
r =2
33p r =-，又cos32q r θ=-
∴③)
21
33623cos 22q r r r r q r θ??????=+?-+?-+?? ???????
0=，故1x 正确。
3
2
2x px q ++3
2233p q ππθθ???????
?=++++ ? ????????????
?
3228cos 233r q ππθθ????=++++ ? ????
?
32224cos 233r q ππθθ??????=++++ ? ????????
?
22223cos cos32333r q πππθθθ????????=++++++ ? ? ??????????
?
(
2262cos 2cos333r r q ππθθ?????
?=+++++ ? ??????
???……④
r =2
33p r =-，又cos32q r θ=-，∴④第一项620r +=
又 ()2cos3cos 32cos332q r πθθπθ?
?+=+==- ??
?
∴④第二项22cos32032q r q r q r πθ????
++=?-+= ? ????
?，故④式=0，故2x 正确。 同理3x 正确。
4. 方程320ax bx cx d +++= ()0a ≠
作变换3b x y a =-（即3b y x a =+），于是333b c p a a =-+，3322273b bc d
q a a a
=
-+ 过程如下：
320ax bx cx d +++=?320b c d
x x x a a a
+++=
对3x 项配方消2
x 项：2323
32333033333b b b b c b d x x x x a a a a a a a ????????????+?+++-+-+=???? ? ? ? ??????????
???
对x 项配方：3
223223
03333327b b c b b c b b d x x a a a a a a a a a ?????
???++-++--+-+= ? ??? ????????? 整理常数项：3
2323220333273b b c b b bc d x x a a a a a a a ???
???++-+++-+= ? ????
?????
又3
0y py q ++=，对比系数得3b y x a =+，333b c p a a =-+，332
2273b bc d q a a a
=-+
三个根与系数的关系为
123b x x x a ++=-，123111c
x x x d
++=-，123d x x x a =-
公式法解一元二次方程教案-人教版
《公式法解一元二次方程》教案 教学目标 、知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程． 、数学思考 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性． 、解决问题 培养学生准确快速的计算能力． 、情感态度 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想． 重难点、关键 重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程． 难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解． 关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程． 教学过程 一、复习引入 【问题】（学生总结，老师点评） .用配方法解下列方程 （）－ （）－ ．总结用配方法解一元二次方程的步骤。 （）移项； （）化二次项系数为； （）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （）原方程变形为（）的形式； （）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫． 一、 探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式（≠），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】 已知（≠）且－4ac≥，试推导它的两个根为2b a -+，2b a - 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字，根据
上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：－ 二次项系数化为，得 b a － c a 配方，得：b a （2b a ）－c a （2b a ） 即（2b a ）2244b ac a - ∵－4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方，得：2b a 即2b a - ∴2b a -，2b a -- 【说明】 这里a ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式． 【设计意图】 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程，从中你能发现什么 （）2320;x x -+=（）2222 -=-x x （）24320x x -+= 【活动方略】 在教师的引导下，学生回答，教师板书 引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点： （）一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；
迭代法解一元三次方程
第一题 1、用牛顿迭代法解方程 求解任意的三次方程： ax3+bx2+cx+d=0 要求a,b,c,d从键盘输入，使用循环方法编程。 解法思路： 先把求与X轴交点坐标公式放着免得忘记了 x= x1f(x2)-x2f(x1)/f(x2)-f(x1) 之后比较x1的y1值和x2的y2值，如果两个为异号，那么两个x之间一定有方程的根 如果同号，那么继续输入直到异号为止 这个时候用求交点坐标公式求出交点坐标x，它的y值同样代入求出 再次比较y与y1值，如果异号那么x与x1之间必有方程根 如果同号那么x与x2之间必有方程根 循环以上直到y的绝对值小于一个非常小的数，也就近似为0的时候，输出x 值既为方程根...... #include
} float xpoint(float x1,float x2) //求弦与x轴交点坐标 { float y; y=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1)); return y; } float root(float x1,float x2) //求根函数 { float x,y,y1; y1=f(x1); //y1为x1纵坐标 do { x=xpoint(x1,x2); //求x1与x2之间弦与x轴交点赋值于x y=f(x); //代入方程中求得y if(y*y1>0) //判断y与y1是否同号 { x1=x; y1=y; } else x2=x; } while(fabs(y)>=0.00001); //设定精度 return(x); } void main() //主函数 { float x1,x2,f1,f2,x; printf("请输入一元三次方程标准形式ax^3+bx^2+cx+d=0中"); printf("a b c d的值，用空格隔开\n"); scanf("%f %f %f %f",&a,&b,&c,&d); //获取abcd值并赋值 do { printf("输入x1 x2值，用空格隔开:\n"); scanf("%f %f",&x1,&x2); f1=f(x1); f2=f(x2); if(f1*f2>=0) printf("x1 x2之间无方程根，请重新输入\n"); }
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推
解一元二次方程(公式法)
应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
公式法解一元二次方程及答案详细解析
公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
21.2.2公式法 一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（） A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2 二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得 △，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．
三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1． 14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1． 15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0； （2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x． 16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程： （1）4x2﹣1=12x（用配方法解）； （2）2x2﹣2=3x（用公式法解）． 17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5 （2）解关于x的一元二次方程：． 20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；
解一元三次方程的方法
解一元三次方程的方法 解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。那么，以下是我分享给大家的关于解一元三次方程的方法，欢迎大家的参考学习! 解一元三次方程的方法 解法一是意大利学者卡尔丹发表的卡尔丹公式法。 解法二是中国学者范盛金发表的盛金公式法。 这两种方法都可以解答标准型的一元三次方程，但是卡尔丹公式解题方便。 相关内容： 一元三次方程的解法的历史 人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢?历史事实并不是这样。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛?冯塔纳(Niccolo Fontana)。 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”(Tartaglia)，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。 卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出
公式法解一元二次方程教案
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
一元三次方程及解法简介
一元三次方程 一元三次方程的标准型为02 3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。 【盛金公式】 一元三次方程02 3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且 重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;322-=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22 -。 当A=B=0时，盛金公式①： c d b c a b x x x 33321-=-=- ===，当Δ=AC B 22 ->0时，盛金公式②：a y y b x 33 123 111---= ； i a y y a y y b x 63623 12 3 113 223 1 13,2-±++-= ；其中2 )4(322 ,1AC B B a Ab y -±-+ =,12-=i .当Δ=AC B 22 -=0时，盛金公式③：K a b x +- =1；232K x x -==，其中)0(≠=A A B K .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：a Cos a b x 3321θ --= ，a Sin Cos A b x 3) 333(3 ,2θ θ±+-= ； 其中arcCosT =θ，)11,0(),232( <<->-=T A A aB Ab T . 【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22 ->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22 -=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22 -<0时，方程有三个不相等的实根。 【盛金定理】 当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。当0,0==c b 时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A ≤0的值？盛金公式④是否存在T ＜-1或T ＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b ≠0，则必定有c ≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
一元二次方程解法-公式法
第6课时 22.2.3 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 （1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？ 提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊 二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。） （学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x （老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 二、探索新知 用配方法解方程 （1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=
公式法解一元二次方程(教案)
21.2.2公式法 教案设计（张荣权） 教学内容：用公式法解一元二次方程 教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次 方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。 教学目标： 知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。 过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。 情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。 教学重点、难点及突破 重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。 难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 教学突破 本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。 教学设想 通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。 教学准备 教师准备：课件精选例题 学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简 教学过程：
数值计算课后答案
习 题 三 解 答 1、用高斯消元法解下列方程组。 （1）1231231 22314254 27x x x x x x x x -+=?? ++=??+=?①②③ 解：?4②＋(-)①2，1 2 ?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 1232323231425313222 x x x x x x x ? ?-+=? -=???-=?④⑤⑥ 再由5 2)4 ?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组： 1232332314272184x x x x x x ? ?-+=? -=???-= ? 回代，得： 36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为 (9,1,6)T x =-- 注意： ①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。 ②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。 要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。 矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。 一般形式或分量形式： 1231231 22314254 27x x x x x x x x -+=?? ++=??+=?①②③ 矩阵形式 123213142541207x x x -?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
向量形式 123213142541207x x x -???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。 ④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 ⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。 （2）1231231231132323110 221x x x x x x x x x --=?? -++=??++=-? ①②③ 解：?23②＋( )①11，1 11 ?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ? --=?? ? -=? ? ? +=-??④⑤⑥ 再由25 11)5211 ?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组： 123233113235235691111111932235252x x x x x x ? ?--=? ? -=?? ? =-?? 回代，得： 32122310641 ,,193193193 x x x =- ==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193T x =- 2、将矩阵 1020011120110011A ?? ? ?= ?- ???
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法 邵美悦 2018年3月23日 修改:2018年4月25日 众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法. 1配方法 一元二次方程 ax 2+bx +c =0,(a =0) 的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用 a (x + b 2a )2=b 2?4a c 4a 解出x =?b 2a ±√b 2?4ac 2a .当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2?4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2?4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.2 1值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可. 1
利用Excel电子表格解一元三次方程
利用Excel电子表格如何解一元三次方程？ 比如有一个一元三次方程X3-2.35X2-10262=0,可以通过迭代法，即可以设定步长和迭代值小于一定的数值来求方程的解。请问在Excel电子表格使用的是什么函数，在单元格中设置怎么样的公式？ 这类问题可以使用Excel内置的“单变量求解”模块来完成，操作步骤如下： 1、打开一个空白工作表； 2、A1单元格留空，在A2单元格里输入如下公式—— =A1^3-2.35*A1^2-10262 3、点击菜单“工具”－》“单变量求解”； 4、在弹出的设置对话框里输入： “目标单元格”：A2 “目标值”：0 “可变单元格”：A1 点确定后就大功告成了~~ 5、如果还没有得到你想要的解，在上次计算的基础上再重复步骤4应该就可以了。 一元方程线性拟合 1，选中需拟合的数据，点“插入”“图表”“XY散点图”“下一步” X、Y轴的数据区域，“完成”。 2，在出现的散点图中选择一个散点，右击“添加趋势线”。 3，若是一元一次线性方程，选“线性（L）”。 4，若是一元多次方程，选“多项式（P）”并在“阶数”栏选择相应的阶数。 5，“选项”“显示公式”“显示R平方值”处勾选，确定。 excel计算方法： 在科普园地，有人出了一道一元三次方程3x^3-82x^2-11x+70 =0，说是允许用计算器或计算机，我想了想，很快就用excel的计算功能求出了5位小数。 1、打开excel（含一个已打开的新excel文件），在B1格（即第1行第B列对应的格子）输入“=3*A1^3-82*A1^2-11*A1+70”（只输入引号内的部分，不含引号），把鼠标的光标移到这个格子右下角的黑点上，按着左键往下拉它200多行备用（也可以先拉几十格，后面要用了再拉）。 2、粗略估计，x不可能小于-100，不可能大于100，所以值的范围肯定在这个范围；在A1格输入-100，A2格输入-90，用鼠标选中A1、A2格，再往下拉A2格右下角的黑点到A21格，这样就得到了-100～100的整10的x值，B列得到对应的3*x^3-82*x^2-11*x+70的值。 3、从函数y=3x^3-82x^2-11x+70，基本上可以肯定函数值是连续的，从计算的函数值（B1～B21格的数值）可以看出，函数在(-10,0)、(0,10)、(20,30)三个定义域中各有一个值为0。 4、用第2步的操作方法在A24～A44中分别填入-10～10，在A46～A56中分别填入20～30。 5、从新的函数值可以看出，三个值在(-1,0)、(0,1)、(27,28)内，所以，在A列填入-1～1、27～28的带一位小数的所有数…… 经过几次，就可以求得三个x值分别在(-0.97496,-0.97495)、(0.87231,0.87232)、(27.43597,27.43598)定义域中。 （研究了一下，excel最多可以表示15位有效数字）
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法 数教091班王超逸 48号 一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为 X^3＋bX^2＋cX＋d=0． 一元三次方程的韦达定理 设方程为 ax^3+b^2x+cx+d=0 则有 x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a； 一元三次方程解法思想 一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解． 一元三次方程解法的发现 三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的． 最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法． 一元三次方程的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。方法如下：
解一元二次方程练习题公式法
解一元二次方程练习题——公式法 一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________． 二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（） A．．． D． 7．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A、3x2－x－1=0; B、x2－2x－1=0; C、9x2=4（3x－1）; D、x2＋7x＋15=0. 10．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）． A． 4或-2 B． -4或2 C． 4 D．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0
23用公式法求解一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程 ３．用公式法求解一元二次方程（一） 横山县第三中学柳金帛 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。 其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。 为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固 活动内容： ①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+- x x 即: 016 25)47(2=--x 1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x 4547±= x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21
一元三次方程的解法
一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程，一元三次方程的一般形式是ax 3+bx 2+cx+d=0（a ，b ，c ，d∈R 且a ≠0），下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。 已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0，求方程的根。 解：令3b x y a =-，得2323 23 329270327ac b b abc a d y y a a --+++=① 令23223 329273,2327ac b b abc a d m n a a --+==，得3 320y my n ++=② 经过换元，将原方程化为一元三次方程的特殊形式（3 0x px q ++=），现在求方程② 的根， 令y=u+v ，两边立方得=+=+++=++333333 y (u v)u v 3uv (u v)u v 3uvy 333y 3uvy (u )③v 0∴--+= 由②③式可得，?=-?+=-?33333 u v m u v 2n ④ ⑤ 由④⑤式可知u 3和v 3为方程μ+μ-=232n m 0的两根， 3 32n 2n u ,v 22 -+--∴== y u v ∴=+= + 令a = = 则12223y a b y a b y a b ?=+??=α+α??=α+α??，2,αα为1 的立方根，221cos i sin i 3322ππα=+=-+ ，ππα=+=--2441cos i sin i 3322 则2323 23 329270327ac b b abc a d y y a a --+++=的根表示为
? =+?? +-? =++=+?? ?+-=++=-??12 3y a b 11a b a b y （-i ）a （--i ）b -22222211a b a b y （--i ）a （-i ）b -222222 ⑥ 由⑥可知， ① 当+>23n m 0时，方程有1个实根和2个共轭复根； ② 当+=23n m 0时，a ，b 是相等的两个实数，方程有3个实根，其中有1个二重实根； ③ 当+<23n m 0时，方程有3个不相等实根。 以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外，还有盛金公式法。 下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。 例题1：解方程x 3-6x 2+10x-8=0 解：令3b x y a =- =y+2，得y 3-2y-4=0 23100 027 n m +=>Q a b ∴= = ?=+=?? ∴=α+α=-+??=α+α=--??12223y a b 2y a b 1i y a b 1i ∴原方程的解为?=+=? =+=+?? =+=-?112233x y 24 x y 21i x y 21i 例题2：解方程x 3-12x+16=0 解：23=6464=0n m +-Q 22 ∴=-=-a b ?=+=-?? ∴=α+α=??=α+α=??12223 y a b 4y a b 2y a b 2 ∴原方程的解为?==-? ==?? ==?112233x y 4 x y 2 x y 2 例题3：解方程x 3-6x-4=0