平行四边形及特殊的平行四边形证明习题
平行四边形及特殊的平行四边形
1．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F .（1）求证：AM =DM ；
（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．
2. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接AD ．
（1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ， 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？
3．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM 。 ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.
B
A
C
D
F
M
第1题图 E
第2题图
A
D
F
C
E
G
B
E
A
B N
M
4. 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ．
（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么范围内变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1
4
DG DA =，并说明理由
5 如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，5BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90 时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C D
F
E
M
6. 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
7. 如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；
（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.
8. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．
90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证
AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
E
C
D
B
A
O
A
B
C
P
D
E
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由
9. 在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ． (1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋
3
3
PQ ； （2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长。
A
D
F
C
G
E B
图1
A
D
F C
G
E B
图2 A
D
F
C G
E B
图3
初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板
初中数学特殊平行四边形的证明 一．解答题（共30小题） 1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论． 2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． 求证：四边形BCFE是菱形． 3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC． 5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？ 6．（2015春?宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE． 7．（2014?雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC 的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形． 8．（2014?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；
平行四边形经典题型
1.平行四边形的性质： ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 2.平行四边形判定： 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4.逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
第四节：中心对称图形 课堂练习 1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（） A．正三角形 B．平行四边形 C．等腰直角三角形 D．正六边形 2.下列图形中，不是中心对称图形的是（） 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）． 4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使 所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图． （1）是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）是轴对称图形，但不是中心对称图形； （3）既是中心对称图形，又是轴对称图形． 第五节：平行四边形的判定 例题讲解 例1：判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图 ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。 ( ) ②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) ③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．( ) ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ( ) ⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( ) ⑥相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。 ( ) ⑦对角互补的四边形是平行四边形 ( ) ⑧一条对角线分四边形为两个全等三角形，这个四边形是平行四边形 ( ) ⑨两条对角线相等的四边形是平行四边形 ( )例2：如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答 案 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一、解答题 1、（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC于点E，F、求证：AE=CF、（2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I、求证：EI=FG、考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）、分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF、（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得 A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得 △A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG、解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF， ∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，， ∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG、点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用、 2、在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F、若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论： PD+PE+PF=A B、请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC 内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明、考点：平行四边形的性质、专题：探究型、分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以 FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证， FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=A B、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=A B、证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点， ∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF， ∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，
北师大新版九年级数学特殊平行四边形题型归纳
九上 第一单元： 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )。 A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等 2.在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作于E，则AE=（）BCAE? A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（） A．当AC=BD时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AB=BC时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形 4、下列说法中，错误的是（） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．四个角都相等的四边形是矩形 D．邻边相等的平行四边形是正方形 5.（兰州中考）下列命题中正确的是（） A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.一组对边平行的四边形是平行四边形 6.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（） A.45??75.D?60.C?55.B 第题图2 的、如图，四边形7ABCDCD的平行线交BD是菱形，作A过点 1 / 6 延长线于点E， 则下列式子不成立的是( ) A．DA=DE B．BD=CE C．∠EAC=90°D．∠ABC=2∠E 8.
将四根长度相等的细木条，转首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD动这个四边形，使AC=2．当 它形状改90变．当∠B=°时，如图①，测得∠B=60°时，如图②，AC=（） 第5题图 DCB2. . . A. 6222）AC=6对角线，若过点A作于E，则AE=（9.在菱形ABCD中，AB=5，BC AE A.4 B.5 C.4.8 D.2.4 为矩形，四EFGHABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形10.在四边形ABCD 应具备的条件是（）边形A．一组对边平行而另一组对边不平行．对角线相等B ．对 角线互相平分 D B．C．对角线互相垂直 菱形具有而平行四边形不具有的性质是11. ．对角线互相垂直D．对边平行且相等360 A．内角和是°B．对角相等 C CDF，的垂直平分线交对角线，∠BAD＝12.如图：菱形ABCD80，ABAC于FE 的度 0为垂足，则∠ 数为C60B 80．A°．°．D 50°．40°2 / 6 第10 题图如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于2015?青岛） O点，E，F分别 13．（ 是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
初二数学平行四边形压轴：几何证明题
1 / 1 初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ； ⑵若∠B =60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. B F C G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D A D E F C B
特殊的平行四边形专题(题型详细分类)精编版
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
平行四边形证明练习题汇编
平行四边形证明练习题 一．解答题 1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF． 2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 求证：△ABE≌△CDF． 4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF． 5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论． 6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．
7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF． 8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？ 9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF． 10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形． 12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC； （2）△DEC是等边三角形． 13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；
特殊平行四边形知识点总结及题型.
新天宇教育授课讲义 授课科目初三上册授课时间（2016.9．11）授课内容特殊的平行四边形 1 基础知识1.基础知识点(概念、公式） 1.菱形 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 菱形的性质 性质1菱形的四条边都相等； 性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； 菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形． 2.矩形 矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴； 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1: 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分． 矩形的判定方法． 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 2.正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（菱形 ②有一个角是直角的平行四边形（矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴； 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质． 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的判定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． 注意：1、正方形概念的三个要点： （1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.
特殊的平行四边形的证明
特殊的平行四边形的证明 --矩形(复习课)教学设计 知识清单 一．矩形的性质： 四个角相等（都是90。） 对角线相等 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二．矩形的判定： 1、“平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形” 2、“平行四边形” +“对角线相等”=“矩形” 3、“四边形”+“三个角是直角”=“矩形” 练习题： 1、下列性质中，矩形具备而一般平行四边形不具备的是( ) A.内角和为360° B.对边平行且相等 C.对角线相等 D.对角相等 2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是( ) A.2 B.4 C.2 D.4 3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长． 4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落 在AD边的F点上，求DF和AE的值。
5、在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD 6、（变式一）在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，求证：DF=BC 7、（变式二）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． (1)求证：OE =OF； (2)若CE =12，CF =5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 8、如图所示，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．当t= 时，四边形APQD也为矩形.
平行四边形分类证明
四边形判定定理以及性质定理 一、平行四边形： 判定：（1）两组对边分别平行的四边形（2）两组对边分别相等的四边形（3）一组对边平行且相等的四边形（4）对角线互相平分的四边形（5）两组对角分别相等的四边形 性质：两组对边分别平行对边相等对角相等两条对角线互相平分是中心对称图形对称中心是两条对角线的交点 二、矩形： 判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形（2）有三个内角是直角的四边形（3）对角线相等的平行四边形 性质：四个角都是直角两条对角线相等 三、菱形： 判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）四条边都相等的四边形（3）对角线互相垂直的平行四边形 性质：四条边都相等对角线互相垂直每一条对角线平分一组对角 四、正方形： 判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形（2）有一组邻边相等的矩形（3）有一个内角是直角的菱形 性质：四个角都是直角四条边都相等两条对角线相等，并且互相垂直每条对角线平分一组对角 五、其他定理 中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 六、平行四边形证明题 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。（1）求证：BE=DF （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，判断四边形MENF的形状 2、如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE、CF交于点B、D。求证：四边形ABCD是平行四边形 3、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。（1）求证：△ABE≌△CDF （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO 4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD。求证：EF=AD
特殊平行四边形：证明题
特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞ AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD Y 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证： 四边形BNDM 为菱形． D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E
6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ， 连结BE ， CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请 说明理由． 8．在菱形 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，． 点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交 AD 于点Q ．求证：BP DQ =． 9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ； （2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论． C D E M A B F N A Q D E B P C O C B A D A ' C '（第19 D ' A D M
北师大版九年级上学期第一章《特殊的平行四边形》证明题集锦
北师大版九年级上学期 第一章 平行四边形及特殊的平行四边形证明题集锦 1.（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. ， ^ 2．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：长度关系及所在直线的位置关系；（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． @ | （2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a ≠b ，k >0)， B A O D ; C E 图2 C B O D 图1 [ A E 图1 图2 图3
第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第 (2)题图5中，连结DG 、BE ，且a =3，b =2，k =1 2 ，求22BE DG 的值． ： ； 3.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． ？ 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值． { 4.已知：如图，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ， A B C D E F 图甲 图乙 F E D C B A F E D C B A 图丙
初二数学平行四边形压轴几何证明题
初二数学平行四边形压轴：几何证明题 1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、 GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。 2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ． （2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形． 3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交 BC 于Q. （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与 D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE ?DG ； ⑵若∠B ?60?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的 结论. 5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长 AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ． 6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交 于点F. （1）求证：△ABE ≌△DFE （2）连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并说明理由. 8. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ． （1）求证：AE ＝DF ； （2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由． 9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =． （1）写出图中每一对你认为全等的三角形； （2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明． 10.在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，并延长DE 至点F ，使EF=DE.连接BF 、CF 、AC. A B E F G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D C A D E F C B A B C D E F E A F C D B A C E F
完整版九年级上册-特殊的平行四边形知识点
九年级上册-特殊的平行四边形知识点总结 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、表示：字母按顺序书写。 3、性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等；③对角线：互相平分 4、判定：①以定义证明：两组对边平行的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形。 2、性质：①边：对边平行且相等（具有平行四边形的一切性质）； ②角：四个角相等，都是直角； ③对角线：相等，互相平分。 3、判定：①以定义证明：有一个角是直角的平行四边形； ②有三个角是90°的四边形； ③对角线相等的平行四边形； ④对角线互相平分且相等的四边形。 三、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质：①边：四条边相等； ②角：对角相等（具有平行四边形的一切性质）； ③对角线：互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 ④菱形的面积等于对角线乘积的一半。 3、判定：①以定义证明：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； ②四条边都相等的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四，正方形的性质-具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 1，定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2，性质：①边：对边平行，四边相等； ②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 3，判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形． ④对角线垂直的矩形是正方形； 五，直角三角形斜边中线的性质与直角三角形的判定 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ②判定：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
精华：特殊平行四边形知识归纳和题型精讲
八年级平行四边形相关知识归纳 和常见题型精讲 性质和判定总表 矩形菱形正方形的 矩形菱形正方形性 质 边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角四个角都是直角对角相等四个角都是直角 对 角 线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条 对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平 分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且 有一个角是直角; ·是平行四边形且 两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一 组邻边相等； ·是平行四边形且两条 对角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形 一. 矩形 矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴； 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1:矩形的四个角都是直角． 矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分． 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有 AO=BO=CO=DO= 2 1 AC= 2 1 BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定方法． 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 例1已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长． 例2 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ． 例3．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长． 例4、 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：AB=CF ； (2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由． F E D C B A
特殊平行四边形：证明题
基础篇 特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、 CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 5如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E
6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD △沿CA方向平移得到A C D ''' △．（1）证明A AD CC B ''' △≌△； （2）若30 ACB ∠=°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D''是菱形，并请说明理由． 7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56 AB AC == ，．点D作DE AC ∥交BC的延长线于点E． （1）求BDE △的周长； （2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP DQ =． 8．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形． 9、如图,已知:在四边形ABFC中，ACB ∠=90BC ,?的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE (1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2)当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字) 10、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． A Q D E B P C O C B A D A'C' （第19 D'
平行四边形证明典型题
平行四边形证明题 1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。 2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60?，E 、F 分别为梯形的腰AB 、DC 的中点，求：EF 的长。 3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD 的周长。 4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ，AC 为邻边作平行四边形ACED ， DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。 5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60?，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。 _B _ C _ A _ B _ A _ B _ E
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。 7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E ，若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ?=S EBF ?，求证：DF ∥AC 。 8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与 边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。 9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 _ A _ B _B _ C _B _ F _ B _ C _ F
平行四边形及特殊的平行四边形证明习题
平行四边形及特殊的平行四边形 1．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ； （2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长． 2. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =?∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接 AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ， 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？ 3．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上 任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ； ⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； B A C D F M 第1题图 E 第2题图 A D F C E G B A D
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长. 4. 如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合）， 连结 AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD 于F ． （1）求证：BF FD =； （2）A ∠在什么围变化时，四边形 ACFE 是梯形，并说明理由； （3）A ∠在什么围变化时，线段DE 上存在点G ，满足条件1 4 DG DA =，并说明 理由 5. 如图15，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB = ，BC =对角线AC BD ，相 交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． A B C D F E M