基本二叉树知识讲解

基本二叉树知识讲解

一、有关二叉树的学习

性质1：二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1。

性质2：二叉树的第i层上至多有2的i次方减1个结点（i>=1）。

性质3：深度为h的二叉树至多有2的h次方减1个结点。

满二叉树：在一棵二叉树中，当第i层的结点树为2的i次方减1个时，称此层的结点数是满的。当一棵二叉树中的每一层都满时，称此树为满二叉树。特性：除叶子结点以外的其他的结点的度皆为2，且叶子结点在同一层上。深度为h的满二叉树中的结点数为2的h次方减1。

性质4：设含有n个结点的完全二叉树的深度为k，则k=(int)(log2n)+1,即深度k等于log2n的整数部分再加1。

二叉树的存储结构

1：顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构类型定义如下：

#define TREEMINSIZE 10

typedef struct

{

BTreeDT(数据类型) *base;

int spacesize;

BTreeDT nullvalue;

}SeqTree;

2：链式存储结构（一般的二叉树主要采用链式存储结构通常有二叉链表和三叉链表两种形式）

1>二叉链表存储结构

二叉链表中的每个结点由data，lchild和rchild三个域组成，定义如下：typedef struct bkbtnode

{

BTreeDT data;

struct bkbtnode *lchild;

struct bkbtnode *rchild;

}BTNode,*BKBTree;

在二叉链表中，查找某结点的孩子很容易实现，但查找某结点的双亲不方便。一棵喊有n个结点的二叉树采用二叉链表存储时，将有2n-（n-1）=n+1个指针域是空的。

2>三叉链表存储结构

typedef struct tkbtnode

{

BTreeDT data;

struct tkbtnode *lchild;

struct tkbtnode *rchild;

struct tkbtnode *parent;

}TKBTNode,*TKBTree;

其中，parent域存放该结点双亲的指针。如此设计既便于查找孩子，有便于查

找双亲，但也占用了更多的存储空间。

一棵含n个结点的二叉树采用三叉链表存储时，将有n+2个指针域是空的。在实际应用中，采用何种操作。

对于一般的二叉树，在不需要频繁地找结点双亲的操作的情况下，通常会采用二叉链表存储结构。

二叉树的基本操作及实现

(1)建立二叉树链表的运算算法

用ch扫描采用括号表示法表示二叉树的字符串str。分以下几种情况。

1)若ch=`(`,则将前面刚创建的结点作为双亲结点进栈，并置k=1，表示其后创建的结点将作为这个结点的左孩子。

2)拖ch=`)`，表示栈中结点的左右孩子结点处理完毕，退栈。

3)若ch=`)`，表示其后创建的接为右孩子。

4)其他情况，表示要创建一个结点，并根据k值建立它与栈中结点之间的联系。当k=1时，表示这个结点作为栈中结点的左孩子结点

；当k=2时，表示这个结点作为栈中结点的右孩子结点。如此循环直到str处理完毕。算法中使用一个栈st保存双亲结点，top为其栈顶指针，

k指定气候处理的结点是双亲结点（保存在栈中）的左孩子结点（k=1）还是右孩子结点（k=2）。

对应算法如下：

void CreateBTree(BTNode *bt,char *str)

{

BTNode *St[MAxSize],*p=NULL;

int tops=-1,k,j=0;

char ch;

bt=NULL;

ch=str[j];

while(ch!='\0')

{

switch(ch)

{

case '(':top++;St[top]=p;k=1;break;

case ')':top--;break;

case ',':k=2;break;

default:p=(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));

p->data=ch;

p->lchild=p->rchild=NULL;

if(bt==NULL)

bt=p;

else

{

switch(k)

{

case 1:St[top]->lchild=p;break;

case 2:St[top]->rchild=p;break;

}

}

}

j++;

ch=str[j];

}

}

(2)求二叉树高度运算算法。

求二叉树的高度的递归模型f()如下：

f(b)=0(若b=NULL),f(b)=Max{f(b->lchild),f(b->rchild)}+1(其他情况) 对应的算法如下：

int BTHeight(BTNode *bt)

{

int lchilddep,rchilddep;

if(bt==NULL) return(0);

else

{

lchilddep=BTHeight(bt->lchild);

rchilddep=BTHeight(bt->rchild);

return (lchilddep>rchilddep)?(lchilddep+1):(rchilddep+1);

}

}

(3)求二叉树结点个数运算算法。

对应的递归模型如下：

f(bt)=0(若b=NULL)

f(bt)=f(bt->lchild)+f(bt->rchild)+1(其他情况)

相应的递归算法如下：

int NodeCount(BTNode *bt)

{

int num1,num2;

if(bt==NULL)

return 0;

else

{

num1=NodeCount(bt->lchild);

num2=NodeCount(bt->rchild);

return(num1+num2+1);

}

}

(4)求二叉树叶子结点个数的运算算法。

对应的递归模型如下：

int LeafCount(BTNode *bt)

{

int num1,num2;

if(bt==NULL)

return 0;

else if(bt->lchild==NULL&bt->rchild==NULL)

return 1;

else

{

num1=LeafCount(bt->lchild);

num2=LeafCount(bt->rchild);

return(num1+num2);

}

}

(5)以括号表示法输出二叉树运算算法。

其过程是：对于非空二插树bt，先输出其元素值，当存在左孩子接点或右孩子接点时，

输出一个","符号，递归处理右子树。最后输出一个")"符号，对应的递归算法如下：

void DispBTree(BTNode *bt)

{

BTNode *p=bt;

{

if(bt!=NULL)

{

printf("%d",bt->data);

if(bt->lchild!=NULL||bt->rchild!=NULL)

{

printf("(");

DispBTRee(bt->lchild);

if(bt->rchild!=NULL)

printf(",");

DispBTree(bt->rchild);

printf(')');

}

}

}