第七章 刚体力学

教学时数:16 教学目的与要求:

（1）本章以刚体绕固定轴的转动为重点，要使学生熟练掌握有关规律。 （2）着重讲述角速度、角加速度及转动惯量的概念。 （3）要指出质心与重心的联系和区别。 （4）讲授动量矩定理与动理矩守恒定律时均应包括质点的与质点组的两个方面。通过实

例说明动量矩守恒定律的重要性。

（5）对刚体的平面运动不作一般研究，仅讨论圆柱体滚动问题，可结合车轮的滚动进行

讲授。

（6）对回转仪的运动可通过演示进行观察，并应用矢量方法定性地说明其初级原理，不

作深入分析。 教学重点:

刚体的平动、转动和定轴转动；刚体在定轴转动中的力矩，转动定律，转动惯量，力矩的功和转动动能，角动量和角动量守恒定律。质心，质心运动定律；刚体的平面运动；进动。 教学难点:

定轴转动；刚体在定轴转动中的力矩，转动定律; 转动动能，角动量和角动量守恒定律; 刚体的平面运动 本章主要阅读文献资料:

顾建中编 《力学教程》 人民教育出版社 赵景员、王淑贤编 《力学》 人民教育出版社 漆安慎 杜婵英 《〈力学基础〉学习指导》 高等教育出版社

刚体力学

刚体 定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。

说明：⑴刚体是理想模型

⑵刚体模型是为简化问题引进的。

刚体运动

（1）平动：刚体内任一直线方位不变。

特点：各点运动状态一样，如：a 、v 等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。

（2）转动：(a ）绕点转动

(b ）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动

说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（乒乓球飞行等）

定轴转动

定义：转轴固定时称为定轴转动。

转动特点：⑴刚体上各点的角位移θ?相同（如：皮带轮），各点的ω、α相同。

⑵刚体上各点的)(ωr v =、)(2

ωr a n =、()αr a t

=一般情况下不同。

说明：⑴ω 是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。见图4-1。

(2)r v ?=ω

图 4-1

刚体的动量和质心运动定理

一、刚体的质心

刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样。

刚体的质心在刚体上是一固定点，作为质量连续分布的不变质点系，质心的计算公式为：

分量形式为：

例1：求半径为a的均质半圆球的质心。

解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称中

心等上。如图建立坐标系o-xyz，则C在z轴上，取质量元

为如图示的薄圆板，厚度为dz，由于，则：

总结：质心的求法：1、对称法；2、分割法；3、负质量法(如图所示)

二、刚体的动量与质心运动定理

刚体的动量：

质心运动定理：

注意：为外力的矢量和而不是合外力。

刚体平动时，刚体上任意一点的运动状况都是相同的，故可以选

择质心的运动来描述刚体的运动状态，所以：刚体平动时的动力

学方程就是质心运动定理。

练习题：质量为m长为l的均质杆，其B端放在桌上，A端用手支住，使杆成水平。突然释放A 端，在此瞬时，求：

（1）杆质心的加速度；

（2）杆B端所受的力。

刚体定轴转动的动能定理

一、力矩的功

下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动情况下，

对刚体所做的功。

，轴垂直纸面向外，设刚体上

如右图所示，建立直角坐标系

任一点

，初始时位于力轴上，经时间绕轴逆时针转动至如图中实线所示位置，下面我

们来求力所作的功：

将分解为：

∴

表示力对轴的力矩,该式表明：当刚体定轴转动时，力所做的功等于该

上式中

力对转轴的力矩对角坐标的积分。该式也称作力矩做的功。

讨论：若上式中力矩为恒量，力矩做的功为：；即恒力矩做的功等于力矩与角位移的乘积。

二、定轴转动刚体的动能定理

由质点系动能定理知：

应用于定轴转动刚体：

又∵，

∴

此就是定轴转动刚体的动能定理，即刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩做

功的代数和。其中为定轴转动刚体的动能，为外力矩对刚体所作的功的代数和。注意：刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。

三、刚体的重力势能

刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之和：

由上式知：刚体重力势能决定于刚体重心矩势能零点的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关。

例1：均质杆的质量为，长为，一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求：

（1）杆在铅重位置时，下端点的线速度；

（2）杆在此位置时，杆对支点的作用力。

解法一：（1）利用刚体定轴转动的动能定理（或：机械能守恒定律）

下摆过程中，仅有重力做功：

∴杆在铅重位置时，下端点的线速度方向向左，大小为：

（2）利用质心运动定理：

分量形式为：

∵在竖直位置，杆受的外力矩为零，无角加速度：

∴

∴杆对支点的作用力，方向竖直向下。

轴的角动量定理（或：转动定理）：

解法二：（1）利用对

，垂直直面向里：

建立如图的坐标系

∴

∴，∴，∴

（2）同解法一

（3）例1拓展：求杆在下摆过程中任一位置处，质点对杆的作用力。

解：设质点对杆的作用力分解为和如图所示：

由质心运动定理知：

由定轴转动的动力学方程（即：角动量定理）

∴

∴，

∴

∴

∴

例2：一子弹沿水平面运动，击中并嵌入一根静止在水平面上的棒的端点，之后共同运动。已知

子弹的速度与棒垂直，子弹的质量，速度，棒的质量，长度分别为：。

求：棒和子弹绕垂直于平面的轴的角速度。

解:如图所示：表示杆的质心位置.表示子弹和杆

的共同质心,建立系:

以杆和子弹组成共同的系统.

解法一、点是惯性系中的固定点,设系统对

点的初始角动量为:

又∵ ,

∴

碰后系统对点的角动量为：

又，

由系统对点的角动量守恒知：

又系统的动量守恒：

联立得：

解法二、建立系，对过质心的轴的角动量守恒：

又，（由轴投影量得）

联立得：

解法三、分别隔离研究子弹和杆,对于子弹：设碰撞过程中冲

量为,对杆的定理：

①

对杆的质心的应用角动量定理：

即：

②

①②

对于子弹：

③

解法四、由于杆和子弹不受力的作用，碰后共同的质心沿轴作匀速直线运动：

，是一惯性系，系统对过点的轴的

建立坐标系

角动量守恒：

点轴的角动量为：

碰前对过

碰后对过

点轴的角动量为：

平行

质心只在轴上运动

或者对点的角动量守恒：

碰前的角动量：

碰后：

由动量守恒得：，

练习题：用四根质量各为m长度各为l的均质细杆制成正方形框架，

可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动；支点O是光滑的。最初，

框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB边

达到水平时，框架质心的线速度v，以及框架作用于支点的压力N。

刚体平面运动的动力学

一、刚体平面运动的基本动力学方程

在运动学中，刚体平面运动视作随任意选定基点的平动和

绕基点轴的转动；动力学中，基点常选取在质心上，方便使

用质心运动定理和对质心轴的角动量定理。

建立坐标系：质心坐标系，非惯性系

惯性系（两坐标系坐标轴平行）

oxy平面和刚体平面运动的固定平面平行

动力学方程：

(1)c系中运用质心运动定理：(1)

分量：，(2)

在c系中应用刚体对轴的角动量守恒定理：

(3)

∴(4)

表示刚体过质心的轴的转动惯量；表示刚体绕过质心的轴的角动量定理。（3）式表明作用与刚体各力对质心轴的合外力矩和等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积----刚体对质心的转动定理。

（1），（2），（3）式是刚体平面远动的基本动力学方程。

二、作用与刚体上的力

1．力的化简原理：“作用在刚体上的力系 + / - 平衡力系 =

原力系”

例如作用在刚体上A点的力（A,B点的平衡力系 +）

不改变力的作用效果

也可看作：=+（平衡力系）

故：可以沿作用线滑移至.

因此：对于刚体，力的三要素是：大小，方向，作用线。

例如：若作用于刚体的力通过质心，则该力只使刚体产生平动加速度，

而对质心轴的力矩为零。

2．力偶和力偶矩

力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力

力偶作用效果：力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的转动状态。

力偶对任一点的力矩:

表示的方向垂直纸面向里；d表示力偶之间的距离。

同理，若取点，则力偶对该点的力偶矩不变。

∴力偶矩不随取矩点位置改变而改变。

力偶矩的大小：力偶中力的大小与力偶之间距离的乘积(力偶

臂)。

力偶矩的方向：垂直与力偶所在的平面与二力成右手螺旋关系。

力偶矩决定力偶对刚体运动的全部影响：产生角加速度。

只要力偶矩不改变，可以改变力偶的大小，方向和作用线，则作用效果不变。

3．力的平移定理

作用与刚体的力可以平一到另一点，平移后须加一力偶，该力

偶的力偶矩等于原力对于平移点的力距。

如图示，设作用与刚体上A点一力，则可以将该力移至

B点的，同时增加一力偶[,(-)]，作用效果不变，力

偶矩（时针为：)

故：作用与刚体的力等效于作用线通过质心的力和力偶，力的大小和方向与原力相同，而力偶的力偶矩等与原力对质心轴的力矩。

例如，多个力作用与刚体上，如图示：

则作用于刚体的力可以平移至刚体的质心C处：

()

三、刚体平面运动的动能

柯尼希定理：

证明：

所以：刚体平面运动动能等于随质心平动动能和刚体相对于质心系的动能（即绕质心轴转动的动能）之和：

对于刚体平面运动，动能定理表现为：

例如：一圆柱体在地面上纯滚动（）时的动能：

例1:斜面倾角为，圆柱体质量为m,半径为R,无滑滚动，求：

和摩擦力

解：圆柱体向下滚动，由于做无滑滚动，受静摩擦力的作用，假

设方向向上，则：

由质心运动定理：

建立固定在斜面上的惯性坐标系xoy:

x方向：

y方向：

由绕质心轴的转动定理：

又由纯滚动条件：

求解以上三式，得：

例2:上例中，设圆柱体自静止滚下，求质心下落高度为h时，圆柱体质心的速率？

解：因圆柱体作无滑滚动，静摩擦力f不做功，只有重力做功，由动能定理：

纯滚动条件：

解之得：

例3:板的质量为，受水平力的作用，沿水平面运动，板与平面间摩擦系数为，在板

上放一半径为的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动，求：板的加速度

解：建立如图o-xyz系，受力如图示：

对板：x方向：

y方向：

对圆柱体：x方向：

y方向：

纯滚动条件：

解以上各式得：s

讨论：若，则：

例4:在水平桌面上放一线轴，其质量，内半径，外半径，绕中心轴的转动惯量，与地面间的摩

擦力，受到的水平拉力分别为,如图示:

解:受力图如图示:

⑴无滑滚动:建立系:

纯滚动条件:

联立得:

⑵

联立得:

若:>0,则:>向前滚；反之，向后滚.

总结:关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。

此时：这样看待圆柱体的运动：o点以过点为瞬心轴转动

若：，即：相对运动趋势向前，向后。

即：相对运动趋势向后，向前

即：无相对运动趋势， =0

刚体的平衡

一、刚体的平衡方程

1．刚体在平面力系作用下平衡的充分必要条件：

z轴是过任一点，o垂直于刚体平面的转轴。

2．刚体平衡方程的等价形式：

⑴，，（过质心与z轴平行）

⑵，，

且：连线不与x轴垂直。

⑶，，。（不在同一直线上）

练习题：两轻弯杆间以及它们与支座间均用光滑小轴相连。

在D点施铅直向下的力F=100N。沿铅直方向而

水平且==0.5m。D点至B点的水平军力为1.0m。

求直角弯杆在B和C处所受的力，ACD杆在A处所受的

力。

本章要点:

刚体的平动、转动和定轴转动；刚体在定轴转动中的力矩，转动定律，转动惯量，力矩的功和转动动能，角动量和角动量守恒定律。质心，质心运动定律；刚体的平面运动；

进动

本章习题: 7.1.3, 7.1.4, 7.2.3, 7.3.6, 7.3.7, 7.3.9, 7.4.2, 7.5.2, 7.5.3, 7.5.4, 7.5.6