高数复习题解答题详解
三．计算题
1．设 v n l u z 2=，而y x v y x
u 23-==
，，求 x z ??、y
z ??． 解
x
v
v z x u u z x z ???
??+?????=?? ()()
22
22
12323ln 3232u x x u l n v x y y v y y x y =?+?=-+- y
v
v z y u u z y z ???
??+?????=?? ()()222
232222(2)ln 3232x u x x u l n v x y y v y y x y ??=?-+?-=--- ?-??
2．设 ()2
22,,z y x e
z y x f u ++==，而y x z sin 2
=，求
x u
??、y
u ??． 解：
x
z
z f x f x u ?????+??=??2222z y x xe ++=y x ze z y x sin 22222?+++， y
z z f y f y u ?????+??=??2222z y x ye ++=y x ze z y x cos 22222?+++． 3．设042
2
2
=-++z z y x ，求2
2x z ??．
解 设()=z y x F ,,z z y x 42
2
2
-++，则x F x 2=，42-=z F z 当2≠z 时，
z
x
F F x z z x -=
-=??2， 故，()()
22
2222z z x z x x
x x z z ?-+?????==
???-??
-()()2
222z z x x z -??
?
??-+-=
()()
3
2
2
22z x z -+-= 4．设 ,0=-z y x e z
求 2
2x z
??．
解 设()xyz e z y x F z
-=,,，则
z y x F
-=??，y x e z
F
z -=??．有
z x F F x z -=??y x e z y z -=，因此，2
2
2)()(y x e y x z e z y y x e x z
y
x z
z z z -???? ??-???--??=??
2
2
2)(y x e z y y x e z y e z y z y z z
z -+-?-=
3
2232)(22y x e e z y z y x e z y z z
z ---=
． 5．计算
???
Ω
+++3
)1(z y x z
d y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所
围成的四面体． 解 原式z d z y x y d x d y x D y x ?
??--+++=
10
3
)1(1
z d z y x y d x d y x x 3
10
10
10
)1(1
+++=
???---
?
?
-+++-
=
x y d y x x d 10
210
))
1(2181( 16
5
221))1(21883(10
-
=+++-
=
?
n l x d x x ． 6．计算
???
Ω
z d y d x d z y x ，其中Ω为球面1222=++z y x 及三个坐标面所围成的
在第一象限内的闭区域． 解 原式???--=
y x D y x z d z y x y d x d 2210
?
?
?
---=
2
2210
10
10
y x x z d z y x y
d x d
?
?
---=10
10
222)1(2
1
x y d y x y x x d 48
1
)1(8110
22=
-=?
x d x x ． 7．计算
zdxdydz Ω
???
，其中Ω由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成
（在抛物面内的那一部分）的闭区域．
解 柱面坐标下，??
?
??===z z r y r x θθ
sin cos ，
所以由?????==+2
2234
r
z z r ， 解得3,1==r z
因此， ?
?????-≤≤≤≤≤≤=Ω22
43,30,20),,(r z r r z r πθθ 原式???
-=
2
2
43
3
20
r r zdz rdr d π
θ?
--=3
4
2
)9
4(dr r r r π
4
13)541412(30642
ππ=--=r r r 8．
?
L
s d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．
解 记 ,:21x y L =则 )10(41)()(222≤≤+=
+=
x dx x y d x d s d ；
,:2x y L =则 .)10(2)()(22≤≤=
+=
x dx y d x d s d
于是，
?
L
s d x ?
?
+
=
2
1
L L s d x s d x
?
?
+
+=
10
10
2241x d x x d x x
)126
55(12
12
212
1
512
5-+=
+-
=
9．
222
1
ds x y z
Γ
++?
，其中Γ为 曲线t n i s e x t =， t s o c e y t =，t e z =上相应于t 从0变到2的这段弧． 解 t d e z d y d x d s d t 3)()()(222=++=，
于是，
222
1
d s x y z Γ
++?
?
?=
20
2321
t d e e t t
?
-=
20
23t d e t
)1(2
3
2--=
e ．
10. 计算曲线积分
?Γ
yzds x
2
，其中Γ是点()1,0,2A 与点)1,2,2(B 之间的直线段．
解 直线段的方向向量=1,2,-1AB （）
，则直线AB 为t z y x =-==-1
-2
211
所以参数方程为+1:2,012-AB x t y t t z t =??
Γ=≤≤??=?
222()()()6d s d x d y d z dt =
++=
于是， 原式12
26+1(2-)t t t dt =
?
（）
1
5320
1
26-5t t t =++（）
1865
= 11. 计算
?-++L
y y dy y xe dx x e )2()(，其中L 为圆周22x x y -=上点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧．
解： 直线段B A ：1=x ，01:→y ；直线段BO ：0=y ，01:→x 记L 与直线段B A 及BO 所围成的闭区域为D ，则 x e P y
+=，y xe y 2Q -=，y y e y
P
e x Q =??=??, ………………4分 由格林公式，得 原式?
?
+++-++-++=
BO
AB BO
AB L )2()(-)2()(dy y xe dx x e dy y xe dx x e y
y y
y ??
??
+---
-=0
1
1
)1()2(dx x dy y e dxdy e e y
D
y
y ）（
2
1
)2()(1021
2
-=++-=e x x y e y
12. 计算
??∑
++S d z x y x
)2(32
，其中∑为球面222y x a z --=被平面
)0(a h h z <<=截出的顶部。
解 ∑为 222y x a z --=, {}
2222),(h a y x y x D xy -≤+=，有
222y x a x x z ---=?? ，222y
x a y
y z ---=
??
则有 2
2
2
2
2
1y
x a a y z
x z --=
???
?
?
???+???? ????+
于是，原式dxdy y
x a a y x a x y x xy
D ??
----++=
2
2222232)2(
dy dx a dxdy y
x x a dxdy y
x y x a
xy
xy
xy
D D D ????
??
+--+--=2
2
32
2
2442
利用对称性，有
原式)()(0022222h a a h a a a a -=-?+?+?=ππ 13．计算
??∑
+S d y x
)(22
，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所
截得的部分．
解 ∑：22y x z +=
，有
,
2
2
y
x x x
z
+=??,
2
2
y
x y y
z
+=??212
2
=???
?
?
???+???? ????+y z
x z ．
于是，
??
+S d y x )(22??
+=
y
x D y d x d y x 2)
(22
??+=y
x D y d x d y x
)(2
2
2
πρρρθ
π2
22
10
2
20
=
?=
?
?
d d
14．
??
∑
+--S d z x x y x )22(2 ，
其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分。
解 由平面方程 y x z 226--= 有
,2-=??x
z
,2-=??y
z
312
2
=???
?
?
???+???? ????+y z
x z ．
于是，原式[]
y d x d y x x x
y x y
x D 3)226()22(2
?--+--=
??
?
?
-+---=
30
30
2)62322(3x y d y x x y x x d
4
27
)9103(3233
-
=+-=?x d x x ．
15.
()()()??∑
+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，
0=z ，a x =，b y =， c z =所围成的立体的表面的外侧．
解：y x P +=，z y Q +=，x z R +=，于是
1=??x P ，1=??y Q ，1=??z
R
． 由高斯公式，有
??
∑
++y d x d z x d z d y z d y d x 222???
Ω
++=
z d y d x d )111(
abc z d y d x d 33==???Ω
．
16.
??
∑
++y d x d z x d z d y z d y d x 222，
其中∑为平面0=x ，0=y ， 0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．
解 解法一：2
x P = ，2
y Q = ，2
z R = ，于是
x x P 2=?? ，y y Q 2=?? ，z z
R
2=??． 由高斯公式，有
??
∑
++y d x d z x d z d y z d y d x 222???Ω++=z d y d x d z y x )(2
???
++=
a
a
a z d z y x y d x d 0
)(2[]??
++=
a a y d a y x a x d 0
2
)(2
?
=+=
a a x d a x a 0
4323)22(．
解法二：由对称性有
??
∑
++y d x d z x d z d y z d y d x 222??∑
=z d y d x 23，
记∑在平面0=x ，a x =，0=y ，a y =， 0=z ，a z =所在的部分为1∑，2∑，
3∑，4∑，5∑，6∑。除1∑，2∑外，其余四片曲面在yoz 面上的投影为零，其中，1∑取后
侧，2∑取前侧．因此
??
∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222??∑
=z d y d x 23
??∑=1
23dydz x ??∑+2
23dydz x ??-=yz D dydz 203??+yz
D dydz a 2343a =
17．求幂级数
∑
∞
=1
n n
n
x 收敛域及和函数．
解 11lim 1
11
lim
lim
1
=+=+==∞→∞
→+∞→n
n n n a a R n n n n
n ． 当1=x 时，将x 的值代入级数，可化成
∑
∞
=1
1
n n
发散，当1-=x 时，同样代入级数，可化成()
∑∞
=--
1
1
1n n
n
收敛．因此，所求收敛域为)1,1[-． 设 =
)(x S )1,1[,1
-∈∑
∞
=x n
x n n
，两边再对x 求导，得 ())1,1[,11111-∈-=='??
????=∑∑∞
=-∞=x x x n x x S n n n n 两边再从0到x 积分，得
(),1ln 11
)(0
'
x t d x
t d t S x x --=-=
?
?
即有 ()x S x S --=-1ln )0()( ，由于 0)0(=S ，因此
=
)(x S ())1,1(,1ln 1
-∈--=∑
∞
=x x n
x n n
. 由于原级数在1-=x 处也收敛,故
=
)(x S ())1,1[,1ln 1
-∈--=∑
∞
=x x n
x n n
. 18．求幂级数
∑∞
=+-1
)1()
1(n n n
x n 收敛域及和函数．
解 11
2
lim
)
1()1()2()1(lim
lim
11=++=+-+-=∞
→+∞
→+∞
→n n n n u u n n n n n
n n ． 当1=x 时，将x 的值代入级数，可化成
∑∞
=+-1
)1()
1(n n
n ，发散，当1-=x 时，
可化成
∑∞
=+1
)1(n n ，发散。因此，所求收敛域为)1,1(-．
设 =
)(x S ∑∞
=+-1
)1()
1(n n n
x n ，两边从0到x 积分，得
∑?
?
∑?
∞
=∞
=+-=
+-=
1
1
)1()1())1()1(()(n x n n x n n
n
x t d t n t d t n t d t S
x x
x n n n +-=-=∑∞
=+1)1(211，
两边求导，得
)1,1(,)1(21)()(22'
2'
-∈+--=???
? ??+-=???
?
?=?
x x x x x x t d t S x S x ， 因此
=)(x S ∑∞
=+-1
)1()1(n n
n
x n 2
2)1(2x x
x +--=，)1,1(-∈x ． 四、应用题
1．求旋转抛物面22y x z +=与平面22=-+z y x 之间的最短距离．
解 设),,(z y x P 为抛物面22y x z +=上任一点，则P 到与平面22=-+z y x 的距离为d ，即
226
1
)2(11222
--+=
-++--+=
z y x z y x d 设)()22(6
1
),,,(222y x z z y x z y x F --+--+=
λλ 令???????????+==+--+==--+==---+=2
2''',0)2)(2(31
,02)2(31,02)2)(2(31y x z z y x F y z y x F x z y x F z y x λλλ ，解得?????
???
???-====678
14
141λz y x
根据题意距离的最小值一定存在，且函数2
d 有唯一的驻点，故必在点
)8
1,41,41(处取得最小值，则距离d 亦在点)81,41,41(
处取得最小值，6
47
2281414161min =-?-+=d 。 2．在平面xoy 上求一点，使它到0=x ，0=y 及0162=-+y x 三条直线的距离平方和最小．
解 设所求的点为),(y x ，则
5
)162(),(2
2
2
-+++=y x y x y x f
令???
????=-++==-++=,05)162(42,05)162(22''
y x y f y x x f y x
得驻点)5
16
,58(
),(=y x , 而 0512"
>=
=xx f A , 54"==xy f B , 5
18"
==yy f C , 02>-=B AC D ,
故点)5
16
,58(
到0=x ，0=y 及0162=-+y x 三条直线的距离平方和最小.． 3．某厂要用铁板做成一个体积为V 的无盖长方体箱体，怎样选取长、宽、高才是最省钢板．
解 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则表面积
xz yz xy S 22++=。
由于 xyz V =（0>x ，0>y ，0>z ）
构造函数 ()xyz V xz yz xy L -+++=λ22， 有
???
???
?=-=++==++==++=00220202xyz V xy y x L xz z x L yz z y L z y
x λλλ， 得 2
2,23
3V z V y x ===， 这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，长、宽、高分别为2
2223
3
3
V
V V ，，时，才是最省钢板．
五、证明题
1.证明：y d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x )2()2(2
2-++在整个y O x 平面内
是某一函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u ．
证明 记x s o c y y s o c x P 22+=，y n i s x x n i s y Q 22-=，
由于
x
Q
x s o c y y n i s x y P ??=
+-=??22 ， 所以，存在这样的一个),(y x u ，使y d y x Q x d y x P y x u d ),(),(),(+=
?
-++=
),()
0,0(22)2()2(),(y x y
d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x y x u
=
?-++)0,()
0,0(22)2()2(x y d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x
?
-+++
),()0,(22)2()2(y x x y d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x
?
=
x x d x 0
2?
-+
y y d y n i s x x n i s y 0
2)2(
2222x y s o c x x n i s y x -++= y s o c x x n i s y 22+=
2.证明: 设()
22y z f x y =
-，其中()f u 为可导函数，证明：
211z z z
x x y y y
??+=??． 证明
设,2
2
y x u -=则()
u f y
z =
，则 ()()22xyf u z x f u '?=-? ()()()
2
2
2f u y f u z y f u '+?=? 故 ()()()()()()222
221111yf u yf u z z z x x y y f u yf u f u yf u y ''??+=-++==??
3．证明：曲线积分
?
-+-)4,3()
2,1(2232)36()6(y d y x y x x d y y x 在整个y O x 平面
内与路径无关，并计算曲线积分的值．
证明 因为
223236,6y x y x Q y y x P -=-= ，
有
x
Q
y y x y P ??=-=??2312， 因此，积分与路径无关．于是，
?
-+-)4,3()
2,1(2232)36()6(y d y x y x x d y y x ?
-+-=)2,3()
2,1(2232)36()6(y d y x y x x d y y x ?
-+-+)4,3()
2,3(2232)36()6(y d y x y x x d y y x
?
?
=+=-+
-=31
42
223615680)954()824(y d y y x d x ．
4. 证明：
()()dx x f e x a dx x f e dy x a m a
y x a m a )()()(0
--???
-=．
证明：等式左边积分区域(){}
y x a y y x D ≤≤≤≤=0,0,．
()
=?
?-dx x f e
dy y x a m a )(0
()
()dx x f e x a dy x f e
dx x a m a
a
x
x a m a )()()(0
--???-=．
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
高数2-期末试题及答案
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
高等数学下册期末考试题及答案
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
大学高等数学高数期末考试试卷及答案
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
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《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。
A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=?( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) A.2222(ln )(ln )f x f x x ' B. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln ) f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211 lim ln x x x →-=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17. 设函数0()(1)(2)x f x t t dt =-+?，则(2)f '-=（ ） A 1 B 0 C 2- D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A. (ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln ) f x x 20. ()d df x =?( A) A.()df x B.()f x C.()df x ' D.()f x C +
高数下册试题库
高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
2019高数(下)试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学试卷和答案新编
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
大学高数期末考试题及答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：
(完整版)高等数学试题及答案
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
(完整版)高等数学测试题及答案.docx
高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2
(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1.________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2.设),cos(2y x z =，则 =??)2 ,1(π x z 3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4.设xy e z =，则=dz 5.设 y z ln z x =，则 =?zx z 二、选择题 ) 2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在是),(y x f 在该点连续的( ). (a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f + =，则＝（）)1,1(-' x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 13 2 ???==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求 .,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,2 22 z y x e u ++=而y x z sin 2=,求 x u ??. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
(完整word版)大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求