基本计数原理和排列组合高考题精选(答案)

第一章 计数原理

———基本计数原理和排列组合

一、概念回顾：

（一）两个原理.

1. 加法原理

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同．．．．(．即．分类不重．．．．)．

；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 2. 乘法原理

任何一步的一种方法都不能完成此任务．．．．．．．．．．．．．．．．．，必须且只须连续完成这．．．．．n ．步．

才能完成此任务；各步计数相互独立．．．．

；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 3. 可以有重复元素．．．．．．．

的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数n m m m m m =.......例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种）

（二）排列组合

1、排列

（1）排列数的计算：

从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同

元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.

（2）排列数公式：

注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定1!0= 注：含有可重元素．．．．．．

的排列问题 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素n a a a ,...,,21其中限重复数为k n n n ...21、

、，且k n n n n ...21++= , 则S 的排列个数等于!

!...!!21k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!

2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n . 2、组合

（1）组合数的计算：

从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m

n C 表示。

（2）排列数公式：

规定10==n n n C C （3）两个公式：①m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+

二、基础训练：

1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

（A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个

2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）

（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）96种

3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）

（A ）6种 （B ）9种 （C ）18种 （D ）24种

4．由0，l ，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（A ） l ：l （B ）2：3 （C ） 12：13 （D ） 21：23

5．由0，l ，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ）

（A ）42031 （B ）42103 （C ）42130 （D ）43021

6．若直线方程0=+By Ax 的系数B A 、可以从0，1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示

的直线条数是 （ ）

（A ）25A 一2 （B ）25A （C ）25A +2 （D ）25A －215A

7．从e d c b a ,,,,这五个元素中任取四个排成一列，b 不排在第二的不同排法有（ ）

（A ）3514A A （B ）2313A A （C ）45A （D ）3

414A A

8. 6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．

9. 6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．

10.五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种． 三、解题方法及训练：

解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：

1、特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特

殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（30个）

2、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。

例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600)

3、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然

后再局部排列。

例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240）

4、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 排列组合应用题往往和数学其他章节

某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时，要注意使用相关知识对答案进行取舍。

例如：从集合{}11,7,5,3,2,1,0中任取3个元素分别作为直线方程0=++C By Ax 中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条（答案：30） 5、剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入)(n m m ≤个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选1-m 个结点剪成m 段（插入1-m 块隔板），有1

1--m n C 种方法 练一练：

例1 求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻；

（3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．

解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：27

27A A （2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：6267A A

另法：用捆绑与剔除相结合：827827A A A -

（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：442

442A A A （4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: 431442A A A

高考题训练（一）：

一、选择题

1.（2009卷理）2010年亚运会组委会要从小、小、小、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小和小只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

【解析】分两类：若小或小入选，则有选法24331212=A C C ；若小、小都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36

种，选A.

2.（2009卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）

A ．8

B ．24

C ．48

D ．120

【答案】C

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 2和4排在末位时，共有122A =种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =??=种排法，

于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448?=（个）.故选C .

3．（2009卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）

A ．324

B ．328

C ．360

D ．648

【答案】B

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.

首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A =?=（个），

当0不排在末位时，有111488488256A A A ??=??=（个），

于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B .

4.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

（A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种

答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数2424C C =36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为2

4C =6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。

5.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ??=种选法;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

6.(2009卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .18A .24B .30C .36D

【答案】C

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一个班的

有33A 种，所以种数是2334

3330C A A -= 7.（2009卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36

【答案】B

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62223=A C 种不同排法），剩下一名女生记

作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62223=A C 种不同排法），剩下一名女生

记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有2

2226A A =24种排法；

第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有226A ＝12种排法 第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有2

26A ＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

8. （2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

A. 6种

B. 12种

C. 30种

D. 36种 解：用间接法即可.22244430C C C ?-=种. 故选C

9.（2009卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种

【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种

间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.

【答案】A

10.（2009卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有

A.120种

B.96种

C.60种

D.48种

【答案】C

【解析】5人中选4人则有45C 种，周五一人有14C 种，周六两人则有23C ，周日则有11C 种，故共有45C ×14C ×2

3C =60种,故选C

11.（2009卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】

A ．14

B ．16

C ．20

D ．48

解:由间接法得32162420416C C C -?=-=，故选B. 12.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

解：由题共有345261315121625=+C C C C C C ，故选择D 。

13.（2009卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为

(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108

网

答案:C. 解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有14C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，

6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有11234333216C C C A =个故选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

14.(2009卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C] w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 85 B 56 C 49 D 28

【答案】：C

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1227C C 42?=，另一类是甲乙都去的选法有

2

127C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。

15.（2009卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360

B. 188

C. 216

D. 96

【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333=A A C A 种，其中男生甲站两端的

有1442223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有188

解析2：由题意有2221122222322323242()()188A C A C C A C A A ????+???=,选B 。

二、填空题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16.（2009卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。 解析：3374140C C =，答案：140

17.（2009卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）

【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。

解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901333143323=+C A C A C 种；个位、十位和百位上的数字为1

个偶数2个奇数的有：23413332313143323=+C A C C C A C 种，所以共有32423490=+个。

1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=L ()4121212n

n n --+- 18.（2009卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

答案：336

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1237C A 种，因此共有不同的站法种数是336种．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

高考题训练（二）：

1（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种