2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,解析版)

2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）

一、填空题 1．计算：20lim

______313

n n n →∞

+=+

【解答】根据极限运算法则，201lim

313

3

n n n →∞

+=+．

2．设m R ∈，2

2

2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =

【解答】2

2

20

210m m m m ?+-=?=-?-≠?

． 3．若

2

2

1

1

x x x

y

y

y

=

--，则______x y +=

【解答】2

2

20x y xy x y +=-?+=．

4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若2

2

2

32330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【

解

答】2

2

2

2

2

2

2323303

a a b

b

c

c a b a

++-=?=

++，故

11co s ,arcco s 3

3

C C π=-=-．

5．设常数a R ∈，若5

2a x x ??+ ??

?的二项展开式中7

x 项的系数为10-，则______a =

【解答】2515()(),2(5)71r r

r r a T C x r r r x

-+=--=?=，故1

5102C a a =-?=-． 6．方程

1

313

31

3

x x

-+

=-的实数解为________

【解答】原方程整理后变为233

238034log 4x

x x

x -?-=?=?=．

7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________

【解答】联立方程组得(1)12ρρρ-=?=0ρ≥

2．

8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252

9

13118

C C -

=

．

9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4

C B A π∠=，若AB=4，B C =Γ的两

个焦点之间的距离为________

【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为

2

22

14

x

y b

+

=，于是可算得(1,1)C ，得

2

4,23

3

b c =

=

．

10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值

12319

,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=

【解答】10E x ξ=，|D d ξ=

=

．

11．若12co s co s sin sin ,sin 2sin 22

3

x y x y x y +=+=

，则sin()________x y +=

【解答】1co s()2

x y -=

，

2sin 2sin 22sin ()co s()3x y x y x y +=+-=，故2s

i n ()3

x y +=

．

12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2

()97a

f x x x

=+

+，

若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________

【解答】(0)0f =，故011a a ≥+?≤-；当0x >时，2

()971a

f x x a x

=+

-≥+

即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87

a ≤-．

13．在xOy 平面上，将两个半圆弧2

2

(1)1(1)x y x -+=≥和

2

2

(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封

闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截

面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________

【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为2

2

1228216πππππ??+?=+．

14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}

g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的

函数()y f x =有反函数1

()y f

x -=，且1

1

([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f

f

--==，若方程

()0f x x -=有解0x ，则0_____x =

【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而

()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞??+∞，故若00()f x x =，只有02x =．

二、选择题

15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ?=，则

a 的取值范围为（ ）

(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞

【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥??-≤?

或11a a a ≤??-≤?，解答选项为B ．

16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜?没好货，等价于，好货?不便宜，故选B ．

17．在数列{}n a 中，21n

n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素

,i j i j i j a a a a a =?++，（1,2,,7;1,2,,2i j =

=

）则该矩阵元素能取到的不同数值的个

数为（ ）

(A)18

(B)28

(C)48 (D)63

【解答】,2

1i j

i j i j i j a a a a a +=?++=-，而2,3,,19i j += ，故不同数值个数为18个，

选A ．

18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为

12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d

.若,m M 分

别为

()(i j k r s

t a a a d d d ++?++

的最小值

、

最

大

值，其中

{,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足（ ）.

(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <>

(C) 0,0m M <= (D)

0,0m M <<