高中函数性质总结
函数的基本性质
一、函数的单调性
函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）
定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()()
0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
[]1212
()()
0(),f x f x f x a b x x -
定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么
()[]b a x f x f ,)(0在?>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在?<'上是减函数.
1.函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法
2.复合函数的单调性的判定
对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时
(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具
有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时， ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同， ②2()()()F x f x g x =?、3()()()F x f x g x =-、4()
()(()0)()
f x F x
g x g x =
≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定；
②2()()()F x f x g x =?、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =
≠为增函数，5()
()(()0)()
g x F x f x f x =≠为减函数。
4.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数()y f x =的图象关于直2
a b
x +=
对称 ()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=
特殊的有：
①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（奇函数）)()(x f x f =-?。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ?关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称
()2(2)f x b f a x ?=--?b x a f x a f 2)()(=-++
特殊的有：
① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-?。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ?关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a ≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=
对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。 函数y = f (x)与x －a = f (y + a)的图像关于直线x －y = a 成轴对称。 函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
3．奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： （1）满足定义式子)()(x f x f =-（偶）0)()(=-+x f x f （奇） （2）在原点有定义的奇函数有0)0(=f
(3)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数； ②2()()()F x f x g x =?、4()
()(()0)()
f x F x
g x g x =
≠为偶函数； ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数
(4)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时，那么：
①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定； ②2()()()F x f x g x =?、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()
()(()0)()
g x F x f x f x =≠为奇函数。
简单地说：
奇函数±奇函数=奇函数，
偶函数±偶函数=偶函数， 奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数， 奇函数×偶函数=奇函数.
（6）任意函数)(x f 均可表示成一个奇函数[])()(2
1
)(x f x f x g --=
与一个偶函数[])()(21)(x f x f x h -+=的和。
（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数
（8）图形的对称性 关于y 轴对称的函数（偶函数）关于原点()0,0对称的函数（奇函数） （9）若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+ 若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+ （10）若)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+ 若)(b ax f +是奇函数，则必有)()(b ax f b ax f +--=+ （11）常见的奇偶函数
三、函数的周期性
函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。
1.周期性的定义
对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么T -、nT （*
n N ∈）也是函数()f x 的周期。
2. 函数的周期性的主要结论：
结论1：如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期T a b =- 结论2：如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =- 结论3：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-
结论4：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =
结论5：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a =
结论6：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-
结论7：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =
结论8：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成
轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =- 结论9：如果1()()f x p f x +=或1
()()
f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 结论10：如果1()()21()p f x f x f x ++
=-或1()()21()
p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =
结论11：如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =
例1：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数
(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。 故选(A)
例6.求证:若()f x ()x R ∈为奇函数，则方程()f x =0若有根一定为奇数个。 证: ()f x 为奇函数∴ ()0f =-()0f -=()0f
∴2()0f =0
即x =0是方程()f x =0的根
若1x 是()f x =0的根，即()1f x =0
由奇数定义得()1f x -=-()1f x =0
∴1x -也是方程的根
即方程的根除x =0外成对出现。
∴方程根为奇数个。
例2：设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g (x)都有反函数，并且f(x －1)和g -1
(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g (5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A ） 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。
解：∵y = f(x －1)和y = g -1
(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，
∴y = g -1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g -1
(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,应选（C ）
例3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，
f (x) = －
2
1
x ，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题） 解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，
f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5
(B) －0.5
(C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故
y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
一、 反函数的性质和应用
（1）定义域值域相反 （2）图象关于x y =对称 （3）具有相同的单调性、奇偶性
（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数 （5）原函数过()b a ,则反函数过()a b ,反之亦然 （6）
()x x f f =-)(1，x x f f =-))((1，但()
不一定等于)(1x f f -))((1
x f f -仅当
)(x f Φ≠值域定义域 才成立
（二）奇偶函数性质
（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有0)0(=f （3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数．（6）任意函数)(x f 均可表示成一个奇函数[])()(2
1
)(x f x f x g --=
与一个偶函数[])()(2
1
)(x f x f x h -+=
的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性
（三） 周期性：定义、判断
常见具有周期性的函数)
()(x f a x f -=+
)
(1
)()(1)(x f a x f x f a x f -
=+=
+或 )(1)(1)(x f x f a x f -+=
+或)
(1)
(1)(x f x f a x f +-=+
（四） 对称性：判断、性质 （1）一个函数的对称性：
1、函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -= 或
)2()(x a f x f +=- 显然： 特殊的有偶函数关于y （即x=0）轴对称，则有关系式 )()(x f x f =-；一般的有)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线
2
2)()(b a x b x a x +=-++= 对称
2、函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++
b x f x a f 2)()2(=-++?上述关系也可以写成或b x f x a f 2)()2(=+-显然特殊的有奇函
数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f
一般的有c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2
,2(
c
b a + 对称 3、函数自身不可能关于b y =对称，曲线则可能
（2）两个函数的对称性：
1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
6、)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2
b
a x +=对称。 7、)()(1
x f
y x f y -==与关于直线x y =对称
（四）三性的综合应用
（08湖北卷6）已知()
f x 在R 上是奇函数，且
2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A
A.-2
B.2
C.-98
D.98 （08四川卷）函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）
132 （Ｄ）213
（2010安徽理数）若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则)4()3(f f -的值为（ ）A 、1- B 、1 C 、2- D 、2
（09江西卷）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 ( C ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
(09东兴十月)定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点??
?
??-
o ,43对称，且满足)23()(+-=x f x f ，
1)1(=-f ，2)0(-=f ，则=++)2006(.......)2()1(f f f _______
2009广东三校一模）定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则
()()()741f f f ++等于
( B )
A .-1
B .0
C .1
D .4 （2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，2)1(=f 则
=)2009(f ( D ) A 、2009 B 、-2009 C 、-2 D.、2
若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a －x) =2c ，用2b －x 代x 得： f (2b －x) + f [2a －(2b －x) ] =2c ………………（*） 又∵函数y = f (x)图像直线x =b 成轴对称，
∴ f (2b －x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c －f [2(a －b) + x]…………（**），用2（a －b ）－x 代x 得 f [2 (a －b)+ x] = 2c －f [4(a －b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a －b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a －b|是其一个周期。
例 2.()f x 是定义在R 上满足()()f x f x -=的函数且满足()()33f x f x +=-若()0,3x ∈时
()2x
f x =则()6,3x ∈--时＿＿
()()2x A f x =,()()2x B f x =-
()()()()66,22x x C f x D f x ++==-
解：如图
知识点及方法
对称性、函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性与函数的解析式；化归思想
X
二次函数的对称性
1． 已知)(x f 是二次函数，图象开口向上,)2()2(x f x f -=+, 比较)2
2
(),1(f f 大小。
2． 若二次函数)(x f 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较)22(),1(),0(f f f -的大小。
3． 二次函数32)(22+-+-=m mx x x f 满足)2()2(--=-x f x f ,求)(x f 的顶点的坐标。
4． 已知)0()(2>++=a c bx ax x f ,且)7()3(x f x f +=-.（1）写出b a ,的关系式 （2）指出)(x f 的单调区间。
函数的对称性求解析式
1． 已知)(x f 是偶函数，当0≤x 时，1)(3+=x x f ,求)(x f 的解析式.
2． 已知函数的)(x g 图象与函数29)(2+-=x x x f 的图象关于原点成中心对称, 求)(x g 的解析式。
3． 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ≤1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式.
4． 设 1)(+=x x f , 求 )1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线的解析式.
5． 已知函数)1(-=x f y 是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=
x
1
, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求)(x f y = 的解析式.
6． 已知函数)(x f 是偶函数，当)1,0[∈x 时，,1)(x x f -=又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在
)6,5[的解析式.
7． 已知函数()()y f x x R =∈）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数()y f x =图象上
A ．(,())a f a -
B ．(,())a f a --
C ．(,())a f a ---
D ．(,())a f a -
8． 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，2)(-=x x f ，那么不等式2
1
)(<
x f 的解集是（ ）
9． 设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件； ⑴ 对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ⑵
对任意12,[1,]x x a ∈，当21x x >时，有0)()(12>>x f x f 则以下不等式不一定成立．．．．．
的是（ ） A ．)0()(f a f >B ．)()2
1(a f a
f >+ C ．)3()131(
->+-f a a f D ．)()131(a f a
a
f ->+-
5、 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3
(,0)4
-
对称，且(1)1f -=，(0)2f =-，3
()()2
f x f x =-+，则(1)(2)(3)(2005)f f f f +++???+的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1 7、已知函数2()|2|()f x x ax b x R =-+∈，给出下列命题，
⑴ )(x f 不可能为偶函数； ⑵ 当)2()0(f f =时，)(x f 的图象必关于直线1x =对称； ⑶ 若≤-b a 20，则)(x f 在区间),[+∞a 上是增函数； ⑷ )(x f 有最小值2
a b -，其中正确命题的序号是______（将你认为正确的命题的序号都填上）．
9．已知函数f(x)=x+x 3
+x 5
，x l ，x 2，x 3∈R ，且x I +x 2＜0，x 1+x 3<0，x 2+x 3<0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的值(B )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．不确定 10．函数a ax x x f +-=22)(在区间),
(1-∞上有最小值，则函数x
x f x g )
()(=
在区间),(∞+1上一定
（ D ） A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
12．函数c bx x x f +-=2
)(，若f （0）=3，且f （2-x ）=f （x ），则有（B ） A.)()(x
x
c f b f ≥ B.)()(x
x
c f b f ≤
C.)()(x x c f b f <
D.)(x b f 与
)(x
c f 的大小不确定 14．函数x
ax x f 1)(2-=的单调递增区间为),0(+∞，那么实数a 的取值范围是
（ A ）
A ．0≥a
B ．0>a
C ．0≤a
D ．0 热点1 （图象与性质）．函数()f x 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[-1，0）∪ （0，1]，则不等式()f x －()f x -＞-1的解集是 A ．{}:110x x x -≤≤≠且 B. {}:10x x -≤< C.1:1012x x x ??-≤<<≤????或 D.1:112x x x ??-≤<-<≤???? 或0 ５．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=? （１）求)1(f 的值； （２）判断)(x f 的奇偶性并证明； （３）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围. ７．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的“滞点”.已知函数()f x = 2 22 x x -. (１)试问()f x 有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由； ８．已知)(x f 是定义在[－1，1]上的奇函数，且1)1(=f ，若]1,1[,-∈b a ， ) ()(0>++≠+b a b f a f b a 有恒成立. （1）判断)(x f 在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式)1 1 ( )21(-<+x f x f ； （3）若,12)(2 +-≤am m x f 对所有]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数m 的取值范围. 21．设函数()x f y =定义在R 上，对于任意实数m 、n 恒有()()(),n f m f n m f ?=+ 当0>x 时， ().10< ①求证：()();1010><=x f x f 时且当 ②求证：()x f 在R 上递减； ③设集合()()()(){}()(){}.,12,,1,2 2 R a y ax f y x N f y f x f y x M ∈=+-=>?= 若,φ=?N M 求a 的取值范围． 23.已知函数f x ()的定义域为R ，对任意实数m 、n 都有f mn f m f n ()()()+=++1 2，且f 120?? ?? ?=， 当x > 12 时， f x ()>0.（1）求f ()1；（2）求和f f fn nN ()()()()*12+++∈…；（3）判断函数f x ()的单调性并证明。 设函数()f x 的定义域为()0,+∞且对任意的正实数x y 、有()()()f xy f x f y =+，已知()21f =且当1x >时()0f x >. ⑴求12f ?? ??? 的值；⑵试判断()y f x =在()0,+∞上的单调性并证明； 已知函数 （1）判断函数的单调性,并用定义证明; （2）求函数的最大值和最小值. （19）（本小题满分12分）设函数f(x)对任意x 、y ∈R ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x ＞0时，f(x)＜0.（1）证明：f(x)为奇函数； （2）证明：f(x)在R 上为减函数. 对于函数f(x)和g(x)，在公共的定义域内，规定f(x)*g(x)＝min{f(x),g(x)}，若f(x)＝3－x ，g(x)＝3x 2-，则f(x)*g(x)的最大值是＿＿＿＿。 变式：对于函数f(x)与g(x)，规定当f(x)≤g(x)时，f(x)〃g(x)＝f(x)；当f(x)＞g(x)时，f(x)〃g(x)＝g(x)。如果f(x)＝3x +，g(x)＝3－x ，则f(x)〃g(x)的最大值为＿＿＿＿。 专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧． 一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】 函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数； 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有 2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 竞赛讲义：函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。. 例题： 1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤2 3时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立， 若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 4、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________. 5、已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c 6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有 两个实数根，求证：a ＞4. 7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥ 21. 8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1 x 4x 2-=++++++ 9、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求 41[f ⑷＋f(0)]的值 10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥2 1 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g 的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量 x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是 函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 常见函数性质汇总 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) |k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时， 当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周 期 性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限； 当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 周 期 性：无 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0) x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k y f (x )= d cx b ax ++ 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 1.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x); (2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2.复合函数 (1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然; (3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b- y)=0; (5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称; 教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学函数知识点归纳总结 一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意 一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那幺就称y是x的函数，其中x是 自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范 围叫做函数的值域。下面是小编整理的高中数学函数知识点归纳总结，供参考。 一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则 此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即： y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当 x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通 常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点 P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)， 与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。3.k，b与函数图像 所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线只通过一、 三象限;当k当h>0时，y=a(x-h)’2的图象可由抛物线y=ax’2向右平行 移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)’2+k的图象;当h>0,k0时，将抛 物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)’2+k的图 函数的基本性质(一) 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2 ，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 2 3 时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B. 2 303 C.152 D. 2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝2 3 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是 23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3 对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 2 3 ×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2 303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2 ＝2xsin(xy)－1，则x 1998 ＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2 ＋cos 2 (xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4 ＋bx 2 ＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2 －219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4 －160x 2 ＋6400＝76x 2 即 x 4 －236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 高中数学必修1函数知识总结 一、函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的 ，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为 找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； ②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 专项练习1.求函数的定义域： 类型1.⑴22153x x y x --= + ⑵0 (21)y x =- ⑶2214log (1) y x x = +-+ 总结： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域： 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域． 练习2. 已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。 函数的基本及性质 【基础知识回顾】 1 ?函数的奇偶性 2 ?周期性 ⑴周期函数：对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x + T) = _______ ,那么就称函数y= f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期：如果在周期函数____ f(x)的所有周期中_______勺正数，那么这个数就叫做f(x)的最 小正周期. 3 .对称性 若函数f(x)满足f(a —x) = f(a + x)或f(x) = f(2a —x)，则函数f(x)关于直线______________ :寸称. 【考点解析】 一、函数奇偶性的判定 1 .定义法 2 .图象法 二、函数奇偶性的应用 . -------------- r ----------------- 辰于原点对称卜{?")为奇函数 1 ?已知函数的奇偶性求函数的解析电，，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式， 或充分利用奇偶 性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式轴对称 H 妙为偶函数］ 3 ?性质法： 2 ?已知带有字母参是奇函数的表达式及奇偶性求参数，奇常常是!用待定系数法是利用 f(x) ±f( - x) = 0产生关于字 母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值. (2)"偶+偶"是偶，"偶一偶"是偶，"偶?偶"是偶，"偶*偶"是偶； 3 ?奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间 上的单调性相反偶’是奇，“奇.偶”是奇. 4 ?若提醒醒)为奇函数，且在 x = 0处有定义，则f(0) = 0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若 f(x)是偶函数且在 x = 0(处分定义，就不性的有断,f 要注意定如f(义埴内2￥取是偶任意性而应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相 应地化简解析式，判断 f(x)与f( - x)的关系，得岀结论，也可以利用图象作判断. 例d 2设函数质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的?是奇函数. (1)求b ，c 的值； ⑵求(g(性质法在选间与极值空题中可直接运用，但在解答题中应给岀性质推导的过程. 例1判断下列函数的奇偶性. 变式 变式 1. 设偶函数 f(x)满足 f(x) = x3 - 8(x >0)，则{x|f(x - 2) > 0}=( ). 1. 函数f(x) = 一 x 的图象关于( ). 亠 A. {x|x v- 2,x 或 x > 0} B . {x|x v 0，或 x > 4} A. 网轴对称或x > 6} B .直线.y 禺一V-称 或x > 2} C .坐标原点对称 D .直线y = x 对称 1 + ax 2. 设a ，b € R ，且a 工2，若定义在区间(—b ， b)内的函数f(x) = lg 是奇函数，则a + b 的取值范围为 x 1 + 2x 2 .若函数f(x)= --------------------------------- 为奇函数，则 a =( ). 2x + 1 x — a 12 3 A. - B . 一 C. - D . 1 2 3 4 (1)f(x) = ■ ；3 - x2 + ;'x2 - 3 ; (3)f(x) (2)f(x) = (x + 1) |x +引-3 高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案 一：单项选择题： (共10题,每小题5分,共50分) 1. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A.)2()1()23(f f f <-<- B.) 2 ()23()1(f f f <-<- C.)23()1()2(-<- 函数知识点大全 一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 第二章 函数 第二节 函数的基本性质 一、历年高考真题题型分类突破 题型一 函数单调性的应用--比较大小 【例1】（2019全国Ⅰ卷）已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 解析：a ＝log 20.2＜log 21＝0，b ＝20.2＞20＝1， ∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c ＝0.20.3 ∈（0，1）， ∴a ＜c ＜b ，故选B ． 题型二 函数奇偶性的判断 【例2】（2014全国Ⅰ卷）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.)()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 解析：由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得，|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ． 题型三 函数奇偶性的应用 【例3】（2019全国Ⅱ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=( ) A ． B ．e 1x -+ C ． D ．e 1x --+ 解析：当0高中数学函数基本性质专项讲义及练习
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