苏州市2015届高三调研测试习题引申与拓展
苏州市2015届高三调研测试
试题变式探究、引申拓展
填空题部分：
5. 变：在等比数列{a n }中，已知a 3 = 4，a 7 =
14，则a 4 + a 6 = ．52或-52
14. 原题：设等差数列{}n a 满足1)
sin(sin sin cos cos cos sin 546
23262323232=+-+-a a a a a a a a ，公差()1,0d ∈-，
若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围为 ．??
? ??ππ23,34 解答题部分：
15. 三角函数定义在解析几何中的研究
引例：已知曲线2C 的极坐标方程是2ρ=.正方形A BCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为2,3π??
??
?
. 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标.
拓展1：椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23
=e ，左顶点M 到直线1=+b y a x 的距离
55
4
=
d ，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；
（3）试求AOB ?面积S 的最小值.
拓展2：已知椭圆C ：122
22=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与
???
?
??23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：
2
22|
|2
||1||1OM OB OA ++为定值． 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）求
2
22|
|2
||1||1OM OB OA ++等价于求2211OA OM +的值.在求
22
11
OA OM
+时，不要忘记讨论点A 、B 、M 的特殊位置。 【解答】（1）将)1,1(与???? ??23,26代入椭圆C 的方程，得???????=+=+143231112222b a b a ，
解得32
=a ，232
=b ．所以椭圆C 的方程为
13
232
2=+y x ． （2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称． ①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时
211
2211||2||1||122222222=??? ??+=++=++b a
a b b OM OB OA ． 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时
2112211||2||1||122222222=??? ??+=++=++b a
b a a OM OB OA ． ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x k
y 1
-
=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由?????=+
=1323
22y x kx y ，解得221213k x +=，2
2
2
1213k k y +=，
所以2
221
2
1
2
2
21)1(3||||k
k y x OB OA ++=+==，同理可得222
2)1(3||k k OM ++=， 所以2)
1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||12
22222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ． 综上，
2
22|
|2
||1||1OM OB OA ++为定值2． 【反思】对于第（2）小题也可以设点法来处理，即设点A ()OAcos ,OAsin θθ，B (()())2
2
OB cos ,OB sin π
π
θθ+
+
，分别代入椭圆方程即得结果.此法是运用了三角函数中的点的表示或
者说是极点在原点的极坐标表示法，同时免于了讨论.
拓展3：在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2
，椭圆C 上的1． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．
① 求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ② 求AB 的最小值．
【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b
+=>>，焦距为2c ，离心率为e ． 于是2b =．
设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则
AF
e AF e d d
=?=?，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF
取得最小值， 所以1a c -=．
因为2221221a c a b b c a b c ??-==??=?=????==+??
，，，，
所以椭圆方程为22
154
x y +=．
（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h ?=．
当直线OA
的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ?=??=
??或2OB OA ?=??=??．
于是d==．
当直线OA的斜率k存在且不为0时，则
22
222
1
1 54
x y
x k x
y kx
?
?+=
?+=
?
?=
?
，
，
解得
2
2
2
2
2
1
1
54
1
54
A
A
x
k
k
y
k
?=
?
+
??
?
?=
?+
??
，
．
同理
2
2
2
2
2
1
11
54
1
11
4
B
B
x
k
k
y
k
?=
?+
?
?
?
?
=
?
+
?
?
，
．
在Rt△OAB中，
2222
2
222
OA OB OA OB
h
AB OA OB
??
==
+
，
则
222 222
22222222
11
111 1115
5445454
1
111
1
k k k OA OB k
h OA OB OA OB k k k
k
+
+++ +
==+=+=+
?+++
+
()()
2
2
1111
4545119
4520
1
k
k
+++
==+=
+
，所以h．
综上，原点O到直线AB
．
另解：
()()
()()()()
22
2
2222
2
222
2
2222
2
2
1
1
1
111
111
5
544
11111
111
1554
4
11
1
54
k k
k k
OA OB k k
h
OA OB k
k
k k k k
k
k
+
+?
+++
+
?
===
+++++++
++
+
+
2
2
2
1
2
9
99920
20
k
k
k
k
++
==
++
，所以h=．
②因为h为定值，于是求AB的最小值即求OA OB
?的最小值．22
OA OB
?
()
()
()
()
2
2
22
22
2
11
12
1
1141
11
1
520
4
k
k k k
k k
k
k
+++
+
=?=
++
+
+
，
令2
2
1
t k
k
=+，则2
t≥，
于是22
OA OB
?=()
220401
20201
14120412041
20400
t t
t t
t
++
=?=-
++
+
，因为2
t≥，所以()
2211600
201
8181
OA OB
??-=
≥，
当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ?取得最小值
40
9
，因而min 40
AB == 所以AB
．
附加题部分：
23. 已知函数021122223
211
()C C C C (1)C (1)n n n r r n r
n n n n n n n n f x x x x
x
x
------=-+-+-++-,n *∈N ． （1）当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；
（2）是否存在等差数列{}n a ，使得01
121C C C (2)n
n n n n a a a nf +++
+=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．
解：（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r
n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-???+-+???+- =1(1)n n x
x --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+?-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，
令()0f x '=得1231
0,,121
n x x x n -==
=-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：
x
(,0)-∞ 0 1
(0,
)21n n -- 121n n -- 1
(,1)21
n n -- 1
(1,)+∞
()f x ' +
+
-
+
()f x
无极值
极大值
极小值
所以当1
21
n x n -=-时，121
(1)()(21)n n n n n y n ---?--极大；当1x =时，0y =极小 当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：
x (,0)-∞ 0 1
(0,
)21n n -- 121n n -- 1
(,1)21
n n -- 1
(1,)+∞
所以
0x =时，
0y =极大；
当
1
21
n x n -=
-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---?-=-极小． （2）假设存在等差数列{}n a 使0121
1231C C C C 2
n n n n n n n a a a a n -++++???+=?成立， 由组合数的性质C C m n m n n -=，把等式变为0121
111C C C C 2
n n n n n n n n n a a a a n -+-+++???+=?， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+=
=+，
故0111()(C C C )2n
n n n n n a a n ++++
+=?，所以11n a a n ++=．
再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，
进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ． 探究角度1：一类求和问题的研究与拓展
探究角度2：算两次
()f x ' +
-
0 +
0 +
()f x
极大值
极小值
无极值