2013高考数学常见难题大盘点：函数

2013高考数学常见难题大盘点：函数

1.已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=

x x

ax x f 。设a

x 201<

<，记曲线)(x f y =在点

))(,(11x f x M 处的切线为l 。

(Ⅰ)求l 的方程；

(Ⅱ)设l 与x 轴交点为)0,(2x 。证明： ① a

x 102≤<；

② 若a x 11<

，则a

x x 121<

<

(Ⅰ)分析：欲求切线l 的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 的一阶导数值。 解：求)(x f 的导数：2

'

1)(x

x f -

=，由此得切线l 的方程：

)(1)1(12

1

1

x x x

x ax y --

=--。

(Ⅱ)分析：①要求2x 的变化范围，则须找到使2x 产生变化的原因，显然，2x 变化的根本原因可归结为1x 的变化，因此，找到2x 与1x 的等量关系式，就成；② 欲比较2x 与1x 的大小关系，判断它们的差的符号即可。 证：依题意，切线方程中令y ＝0，

a

x ax x x ax x x 20)2()1(1111112<

<-=+-=，其中.

①

由

a

a x a x x ax x x a x 1)1(,0),2(,202

1221121+

--=>-=<<及有

a

x a

x a

x 11,10212=

=

≤

∴时，当且仅当〈.

②a

x x ax x x ax a

x 1)2(112111211<

>-=<<，且由①，

，因此，时，当

a

x x 121<

<所以。

点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。

2.已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为

1x 和2x .

(1)如果4221<<x ； (2)如果21

分析：条件4221<<

解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . (1)由0>a 及4221<<

?><0

)4(0)2(g g ，即??

?>-+<-+0

34160124b a b a ，即

???

????

<+?--<-?+,

043224,043233a a b a

a b

两式相加得

12

b ，所以，10->x ;

(2)由a

a

b x x 4)1()(2

2

21-

-=-， 可得 1)1(122

+-=+b a .

又0121>=

a

x x ，所以21,x x 同号.

∴ 21

)1(120

22

12b a x x ， 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???????+-=+>>-1

)1(120)0(0

)2(2b a g g

解之得 4

1<

b 或4

7>

b .

点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。

3.A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ?组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有

)2,1()2(∈x ? ； ②存在常数)10(<

(Ⅰ)设]4,2[,1)(3

∈+=

x x x ?，证明：A x ∈)(?

(Ⅱ)设A x ∈)(?，如果存在)2,1(0∈x ，使得)2(00x x ?=，那么这样的0x 是唯一的; (Ⅲ)设A x ∈)(?，任取)2,1(∈l x ，令,,2,1),2(1???==+n x x n n ?证明:给定正整数k ，对任

意的正整数p ，成立不等式||1||121

x x L

L

x x k k l k --≤-++

解：对任意]2,1[∈x ，]2,1[,21)2(3

∈+=x x x ?，≤3

3)2(x ?3

5≤，25313

3

<<

<

，

所以)2,1()2(∈x ? 对任意的]2,1[,21∈x x ， ()

()()()

2

3

23

213

2

121211121212

|

||)2()2(|x x x x x x x x +

+

+++

+-=-??，

<

3()()()()323

213

2

1112121x x x x +++++

+，

所以0＜

()

()()()

2

3

23

213

2

11121212

x x x x +++++

+3

2<

，

令

()()()()

2

323213

2

11121212

x x x x ++++++＝L ，10<

|||)2()2(|2121x x L x x -≤-??

所以A x ∈)(?

反证法:设存在两个000

0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ?=，)2(00x x '='?则 由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-??，得||||/

00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。

121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-??，所以121

1x x L

x x n n n -≤--+

()()()||1||121

1211x x L

L

x x x x x x x x k k k p k p k p k p k k p k --≤

-+-+-=--+-+-+-+++

k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211 ≤123

122

x x L x x L

p k p k -+--+-+＋…

121

x x L

k --121

1x x L

L

K --≤

-

点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。

4.设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． (Ⅰ)求()f x 的最小值()h t ；

(Ⅱ)若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(Ⅰ)23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，

∴当x t =-时，()f x 取最小值3

()1f t t t -=-+-，

即3()1h t t t =-+-．

(Ⅱ)令3

()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，

由2

()330g t t '=-+=得1t =，1t =-(不合题意，舍去)．

当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：

()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．

()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，

即等价于10m -<，

所以m的取值范围为1

m ．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．

5.乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.

①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出函数的定义域；

②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.

解：(读题)由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，

(建模)有y＝(a＋bv2)S v

(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数关系式是：

y＝S(a

v

＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .

整理函数有y＝S(a

v

＋bv)＝S(v＋

a

b

v

)，

由函数y＝x＋k

x

(k＞0)的单调性而得：

当a

b

＜c时，则v＝

a

b

时，y取最小值；

当a

b

≥c时，则v＝c时，y取最小值.

综上所述，为使全程成本y最小，当a

b

＜c时，行驶速度应为v＝

a

b

；当

a

b

≥c时，

行驶速度应为v＝c.

点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.

6.设函数54)(2--=x x x f .

(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； (2)设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之

间的关系，并给出证明；

(3)当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方. 解：(1)

(2)方程5)(=x f 的解分别是4,

0,

142-和

142+

，

由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此

(

][

)

∞++-

∞-=,142]4,

0[14

2, A . 由于A B ?∴

->-

<+,

2142,

6142.

(3)[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f . )54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x

4

36

20242

2

+--

?

?? ?

?

--=k k

k x ，

∴>,2k 124<-k . 又51≤≤-x ，

① 当12

41<-≤-k ，即62≤

4k x -=

，

min )(x g ()

[]

64104

1

436

202

2

---

=+--

=k k k

.

064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ， 则0)(min >x g . ② 当

12

4-<-k ，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k .

由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .

因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. [解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .

由??

?++-=+=,

54),3(2

x x

y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ，

令 0)53(4)4(2=---=?k k ，解得 2=k 或18=k ，

在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点.

如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线

)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的

图像位于函数)(x f 图像的上方.

7.设f(x)＝3ax 0.2=++++c b a c bx b

若，f (0)＞0，f (1)＞0，求证：

(Ⅰ)a ＞0且－2＜b

a ＜－1；

(Ⅱ)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根.

(I )证明：因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；

由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>. 故21b a -<

<-.

(II )抛物线2

()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2

3(,

)33b ac b a

a

--

，

在21b a

-<<-的两边乘以13

-，得

123

33

b a

<-<

.

又因为(0)0,(1)0,f f >>而2

2

()0,33b

a c ac

f a

a

+--

=-

<

所以方程()0f x =在区间(0,)3b a

-与(,1)3b

a

-

内分别有一实根。

故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.

8.已知定义域为R 的函数1

2()2

x

x b f x a

+-+=+是奇函数。

(Ⅰ)求,a b 的值；

(Ⅱ)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；

解：(Ⅰ)因为()f x 是奇函数，所以(0)f ＝0，即1

11201()22

x

x b b f x a a +--=?=∴=

++

又由f (1)＝ －f (－1)知

1

1122 2.4

1

a a a --=-

?=++ (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知1

1211()22

2

21

x

x x

f x +-=

=-

+

++，易知()f x 在(,)-∞+∞上

为减函数。又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：

2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2

320t t k -->，

从而判别式14120.3

k k ?=+

解法二：由(Ⅰ)知1

12()22

x

x f x +-=

+．又由题设条件得：

2

2

2

22221

21

1212022

22

t

t

t

k

t

t t k ---+-+--=

<++，

即 ：2

2

2

2

21

221

2(22)(12

)(2

2)(12

)0t k t t

t t t k

-+--+-+-++-<，

整理得 2

322

1,t t k

-->因底数2>1,故:2

320t t k -->

上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3k k ?=+

9.设函数f (x )＝

,2

2

a

ax x c

++其中a 为实数.

(Ⅰ)若f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.

解：(Ⅰ)()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立，240a a ∴?=-<，

04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．

(Ⅱ)2

2

(2)e ()()

x x x a f x x ax a +-'=

++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤．

由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a << ，

02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；

当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<， 即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，．

10.已知定义在正实数集上的函数2

1()22

f x x ax =

+，2

()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． (I )用a 表示b ，并求b 的最大值； (II )求证：()()f x g x ≥(0x >)．

解：(Ⅰ)设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．

()2f x x a '=+∵，2

3()a g x x

'=

，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．

即22

0002

0123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=??

，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-(舍去)．

即有222

22

1523ln 3ln 22

b a a a a a a a =+-=

-．

令2

2

5()3ln (0)2

h t t t t t =

->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是

当(13ln )0t t ->，即1

30t e <<时，()0h t '>；

当(13ln )0t t -<，即1

3t e >时，()0h t '<．

故()h t 在1

3

0e ?

? ??

?，为增函数，在13

e ??+ ???

，∞为减函数，

于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12

333

2

h e e ??= ???．

(Ⅱ)设22

1()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->，

则()F x '2

3()(3)

2(0)a x a x a x a x x

x

-+=+-=

>．

故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，

于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．