高中数学必修2第一章测试(含答案)

第一章测试

(时间：120分钟 总分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法不正确的是( ) A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C ．平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面

D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 答案：D

2．直径为10 cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2 cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为( )

A ．5

B ．15

C ．25

D ．125

解析：设可铸n 个小球，依体积相等，得43π×53＝n ×4

3π×13，∴n ＝125.

答案：D

3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A ．一个圆台，两个圆锥 B ．两个圆台，一个圆锥 C ．两个圆台，一个圆柱 D ．一个圆柱，两个圆锥

答案：D

4．如图，空间几何体的三视图正确的是( )

答案：C

5．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2

3

C 1

D 1＝2，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( )

A ．10

B ．5

C ．5 2

D ．10 2

解析：由直观图知，梯形ABCD 是一个直角梯形，且AB ＝A 1B 1＝2，CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2，∴梯形ABCD 的面积为2＋3

2

×2＝5.

答案：B

6．(2010·山东烟台高三一模)如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是( )

A ．(1)(2)

B ．(1)(3)

C ．(2)(3)

D ．(1)(4)

答案：C

7．向高为H 的容器中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图所示，那么容器的形状应该是下图中的( )

解析：由函数曲线知，水的体积随水深h 的增大，体积增长的越来越快． 答案：D

8．一个直角三角形直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( )

A ．15π

B ．20π

C ．12π

D ．15π或20π

答案：D

9．(2008·山东高考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

A ．9π

B ．10π

C ．11π

D ．12π

解析：该几何体的上部是一个球，其表面积是4π×12＝4π；下部是一个圆柱，其表面积是2π×1×3＋2π×12＝8π，则该几何体的表面积是4π＋8π＝12π.

答案：D

10．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )

A.23

B.76

C.45

D.56

解析：每一个小三棱锥的体积为13×12×12×12×12＝148.因此，所求的体积为1－8×148＝5

6.

答案：D

11．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：设两个球的半径分别为R 、r ，且R >r ，依题意得

????? 4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π??????

R 2－r 2

＝12，R ＋r ＝6，

∴R －r ＝2. 答案：C

12．(2009·山东高考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．2π＋2 3

B ．4π＋2 3

C ．2π＋233

D ．4π＋23

3

解析：由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．

故该几何体的体积为V ＝π·12·2＋13·(2)2·3＝2π＋233，故选C.

答案：C

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．如下图是一个正方体盒子的平面展开图，在其中的两个正方形内标有数字1、2、3和－3，，要在其余正方形内分别填上－1、－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A 处应填________．

解析：将其平面展开图沿虚线还原成正方体，由下图，可看出A 与2是相对面上的两数，故A 处应填－2.

答案：－2

14．过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________．

解析：从上到下三个圆锥的高之比为1:2:3，∴侧面积之比为1:4:9，∴三部分面积之比为1:3:5.

答案：1:3:5

15．用相同的单位正方体搭一个几何体(如下图)，其正视图(从正面看到的图形)、俯视图(从上面看到的图形)和左视图(从左面看到的图形)分别如下：

则该几何体的体积为________．

解析：由几何体的三视图知，该几何体由6个单位正方体构成． 答案：6

16．已知一个圆台的下底面半径为r ，高为h ，当圆台的上底半径r ′变化时，圆台体积的变化范围是________．

解析：当r ′→0时，圆台趋近于圆锥．而V

圆锥

＝1

3

πr 2h ，当r ′→r 时，圆台趋近于圆柱，而圆柱V 圆柱＝πr 2h .因此，当r ′变化时，圆台的体积的变化范围是???

?13πr 2

h ，πr 2h . 答案：???

?13πr 2

h ，πr 2h 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)如下图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将△ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．

解：几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的， ∵S 锥表＝πR 2＋πRl ＝4π＋8π＝12π， S 柱侧＝2πrl ＝2π·DG ·FG ＝23π， ∴所求几何体的表面积为

S ＝S 锥表＋S 柱侧＝12π＋23π＝2(6＋3)π.

18．(12分)一个正三棱柱的三视图如下图所示，求这个正三棱柱的表面积．

解：由三视图知正三棱柱的高为2 mm ，由侧视图知正三棱柱的底面正三角形的高为2 3 mm.设底面边长为a ，由三角形的面积相等得

3

2

a ＝23， ∴a ＝4.

∴正三棱柱的表面积S ＝S 侧＋2S 底

＝3×4×2＋2×1

2

×4×23＝8(3＋3)(mm)2.

19．(12分)已知圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，母线长为l ，试证明圆台的侧面积公式为：S 圆台侧面积＝π(r ＋R )l ，表面积公式为S ＝π(R 2＋r 2＋Rl ＋rl )．

证明：把圆台还原成圆锥，并作出轴截面，如下图：

设AB ＝x ，BC ＝l ，∵△ABF ∽△ACG . ∴r R ＝x x ＋l ，∴x ＝rl R －r . ∴S 圆台侧＝S 扇形ACD －S 扇形ABE

＝12·2πR (x ＋l )－1

2·2πr ·x ＝πRl ＋π(R －r )·rl R －r

＝π(R ＋r )l

∴S 圆台表面积＝π(R ＋r )l ＋πR 2＋πr 2 ＝π(Rl ＋rl ＋R 2＋r 2)．

20．(12分)侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的体对角线分别为9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．

解：设底面两条对角线的长分别为a ，b ，则有a 2＋52＝92，b 2＋52＝152，∴a ＝56，b ＝10 2.

∴菱形的边长x ＝

????a 22＋???

?b 22＝8. ∴S 侧＝4x ×5＝4×8×5＝160.

21．(12分)如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，B D 的圆心是A ，半径为AB ，正方形ABCD 以AB 为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．

解：把题图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分分别绕直线AB 旋转所得旋转体体积分别记为V Ⅰ、V Ⅱ、V Ⅲ，并设正方形的边长为a .因此，

V Ⅰ＝13πa 2·a ＝π3a 3，V Ⅱ＝12·43πa 3－V Ⅰ＝π3a 3，

V Ⅲ＝πa 2·a －V Ⅰ－V Ⅱ＝π3a 3，

∴V Ⅰ：V Ⅱ：V Ⅲ＝1：1：1.

22．(12分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．

(1)试画出它的直观图；

(2)求它的表面积和体积． 解：(1)直观图如图所示．

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以A 1A 、A 1D 1、A 1B 1为棱的长方体的体积的3

4

.

在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1，则AA 1EB 是正方形， ∴AA 1＝BE ＝1.

在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，∴BB 1＝ 2.

∴几何体的表面积S ＝S 正方形AD 1＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD

＋S

矩形A 1B 1C 1D 1

＝1＋2×1

2(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2

＝7＋2(m 2)．

∴几何体的体积V 1＝34×1×2×1＝3

2(m 3)．

∴该几何体的表面积为(7＋2) m 2，体积为3

2 m 3.