北理工信号与系统7

拉普拉斯变换连续时间系

统的复频域分析

§7.1 引言

§7.2 拉普拉斯变换

§7.3 拉氏变换的收敛域

§7.4 拉氏变换的性质

§7.5 拉氏反变换

§7.7 电路的S 域模型

§7.8 系统的复频域模型及分析法§7.9 系统函数

§7.10 罗斯—霍尔维兹稳定准则

拉普拉斯变换连续时间系统的

复频域分析

§7.1 引言，§7.2 拉普拉斯变换

1、拉氏变换的定义式：

运用付氏变换法的重要条件是要求信号满足绝对可积条件，即。而许多信号

并不满足此条件。

例如：

∞

是一个足够大的正值，就能使

随时间的增长而衰减。正时域乘以之后就变成衰减的。(要求σ>0)

σσ,t e

-t e t f σ-)(t e σ-ωσωσωσωσj s j F dt

e t

f dt e e t f t f F t

j t j t +=+===??

∞∞-+-∞∞

---)

()()()]([)(得：?∞

∞--=dt e t f s F t

s )()(

??∞∞-+∞∞--=∴=ω

πωπωσωσd e s F t f d e s F e

t f t j t j t )()(21)()(21)(求其反变换?∞+∞-=∴∞

+→∞-∞→∞-==∴+=j j t

s ds e s F j t f j j s j ds d jd ds j s σσπσσωωω

ω

σ)(21)( 当从则从

分解

为t s t j e e ω的和

的和付氏是从拉氏

是从∞+→∞-∞→∞-j j σσ②单边拉氏变换公式??+-∞-==ωσω

σπj j t s t s ds e s F j t u t x dt e t x s X )(2)()()()(

7.3 拉氏变换的收敛域问题：

1、指数阶函数

一个函数f(t)如果能找到实数α 和β 并满足

0)(lim 0)(lim ==--∞

→-∞→t t t t e t f e t f βα则f(t)为指数阶函数

只有像和等信号不是指数阶信号一般是遇不到的

)()(2

t u e t u t t t 2、收敛域的问题

如果f(t)是有限持续期的信号，其收敛于是整个S 域。

∵f(t)是衰减的，本身就满足绝对可积条件∴收敛域是整个S 平面全平面。

②如果f(t)是一个右边信号，则F(s)的收敛域为收敛域的左边界。

左左

σασσ>>=}Re{s 左σσσ==-∞→0

)(lim t t e t f

如果f(t)是一个左边信号，则F(s)的收敛域为一个收敛域右边界求法是：④当f(t)是一个双边信号时⑤X(s)的收敛域内不含极点。

右右σσσ,}Re{<=s 右

σββ<=--∞→0)(lim t t e t f 右左σσ<<}Re{s 例1：∴收敛域为整个右平面0

)(lim =∴=-∞→左σσt t e t u ωj σ

2：f (t )=0

01<>t e t

t 求：

已求出求：0

lim 0lim :0:)1(===--∞→--∞→t t t t t e e e ββσσσ右左左101

1

01<<∴=<>-∴σσββ右ω

j σ

01

3：)()()(42t u e t u e t f t

t +-=22020

)(lim :40)(lim :

=∴<>-=>∴=--∞→-∞→右右左σσσσσσσσt t t t e t f e t f ∴双边拉氏变换不存在。ωj σ

24

7.4 拉氏变换的性质

1、线性性质

若则但表示与收敛域的共同部分21212121212211)

()()()()

()()()(R R R R R R s bX s X a t bx t x a s X t x s X t x +?+??如果存在零点和极点相抵消的情况，可能收敛域将增大。

2、时域平移：k Roc e s X t t x t s =?--0

)()(0收敛域不变

、S 域平移：

)

Re()

()(0100s R Roc s s X t x e t s +=-?例：2}Re{21)(2

}Re{21)(0}Re{1)(22+>-?->+?>?-s s t u e s s t u e s s

t u t t -2Re 2Re

、时间尺度变换

若则k

a Roc a

s X a t a x k

a Roc s X t x =?=?)(1)()()(例：已知求的拉氏变换。解：20

20200021)(11)(sin )(sin 1

1)(sin 0ωωωωωω+=+?+?s t u t t u t s t u t s 5、时域卷积定理2

12121)()()()(R R Roc s X s X t x t x =?*

、时域微分性质

双边:单边LT:)0()()()()()()(--??=?X s sX dt

t dx R Roc s sX dt

t dx R

Roc s X t x 包括例：时s

s X t u t x 1)()()(==单边￡1)(101)(?∴=-?=??

????t s s dt t dx δ

、S 域微分

若则R

Roc ds

s dX t x t R

Roc s X t x =?-=?)()()()(例：已知则α

ααααα

ααα->+?+=??????+-?->+?---]Re[)(1)(2)(11)(]Re[1)(322s s t u e t s s ds d t u e t s s t u e t t t

ααα->+?---]Re[)

(1)()!1()

1(s s t u e n t n t n 8、时域积分

若则双边LT:单边LT: s d x s s X d x s X s d x s X t x t t

???∞-∞-∞-+???0)()()()(1)()()(τ

τττττ

、初值定理：

当t<0 时x (t)=0，而且在t =0 时x (t)不包含任何冲激。则：)(lim )(lim )0(0s X s t x x s t ∞→→+

==+用途：①不必要求反变换得到x (t)之后求可以直接根据上式求得②可以验证X (s)的正确性。注意：①此公式只适合于存在的情况下

②无论是0+系统，0-系统，计算出来的全是0+。)0(+

x )0(+

x )

0(+

x

已知可只用初值定理验证的结果是一致的。

1)(lim )0(1)(=?∞

→+s F s u s

t u s 10、终值定理

若t<0 时x (t)=0，t =0 时x (t)不包含任何冲激则)(lim )()(lim 0

s X s X t x s t →∞→=∞=初值是∞→s 终值是0→s 即)(lim )(0

s X s X s →=∞