2013福建省厦门市3月理科数学质检word版(含答案)

厦门市2013届高三质量检查

数学（理科）试卷

注意事项：

1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；

2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．已知全集U R =，集合{}3A x x =<，{}20B x x =-≥，则U A C B 等于（ ）

A ．(,3]-∞

B ．(,3)-∞

C ．[2,3)

D ．(3,2]- 2. 双曲线

2

2

14

x

y -=的渐近线方程为（ ）

A ．2y x =±

B ．4y x =±

C ．12

y x =± D ．14

y x =±

3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）

A ．20辆

B ．40辆

C ．60辆

D ．80辆 4. “a b e e >”是22log log a b >”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5.函数()sin ()f x x x x =+∈R （ ）

A.是偶函数且为减函数

B. 是偶函数且为增函数

C.是奇函数且为减函数

D. 是奇函数且为增函数

6. 若不等式组,

0,1y x y x ≤??≥??≤?

表示的平面区域为M ，不等式2

y x ≥表示的平面区域为N ，

现随机向区域M 内投掷一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为（ ） A ．

16

B ．

13

C ．

12

D.

23

7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，

假定甲每局比赛获胜的概率均为2

3

，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（

）

A.

827 B. 6481 C. 49 D. 89

8. 在右侧程序框图中，输入5n =，按程序运行后输出的结果是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5 D.6

俯视图

侧视图

9．若函数3()3f x x x =-在2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（

）

A ．

(

B ．[

C ．[)2,1-

D ．(2,1)-

10. A B C ?中，2,45BC A ==

，B 为锐角，点O 是A B C ?外接圆的圆心，则OA BC ?

的取值范围是（

）

A. (2,-

B. (2]-

C. [-

D. (2,2)-

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。 11．若2()a i -为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a = . 12．已知3sin(

),25

πx -=

则cos 2x ＝ .

13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图

是半圆．．。现有一只蚂蚁从点A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________．

14．在含有3件次品的10件产品中，取出*(10,)n n n N ≤∈件产品，

记n ξ表示取出的次品数，算得如下一组期望值n E ξ： 当n=1时， 01103

7

37

11

110

1030110

C C C C E C

C

ξ=?+?

=

;

当n=2时， 021

1

2

37373722

2

2101010601210

C C C C C C E C C C ξ=?+?

+?=

;

当n=3时， 03

1

22

13

3737373733333101010109012310

C C C C C C C C E C

C

C

C

ξ=?

+?+?+?=

;

……

观察以上结果，可以推测：若在含有M 件次品的N 件产品中，取出*

(,)n n N n N ≤∈件产品，记n ξ表示取出的次品数，则n E ξ=

．

15．某同学在研究函数()f x =

的性质时，受到两点间距离公式的启发，将)(x f 变形为

2

2

2

2

)10()3()10()0()(++-+-+-=

x x x f ，则)(x f 表示||||PB PA +（如图），下列关于函数)(x f 的

描述正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①)(x f 的图象是中心对称图形； ②)(x f

的图象是轴对称图形； ③函数)(x f 的值域为)+∞

； ④方程[()]1f f x =+.

三、解答题：本大题共6小题，共80

分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分）

已知函数3()cos 2

2

f x x x ωω=

+

（0>ω）的周期为4。

（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移

23

个单位得到函数()g x 的图象，

P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图）

，求OQP ∠

17．（本小题满分13分）

如图，PA,QC 都与正方形ABCD 所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O （Ⅰ）求证：OP ⊥平面QBD;

（Ⅱ）求二面角P-BQ-D 平面角的余弦值； （Ⅲ）过点C 与平面PBQ 平行的平面交PD 于点E ，求P E E D

的值.

18．（本小题满分13分）

某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增x 亿元。已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。 （Ⅰ）求x 的值；

（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投．．

入．

达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增y 元，求y 的值。 （参考数据：11

1.1

2.85≈）

19. （本小题满分13分）

已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数2

1()()2

g x f x x bx =+-．

（Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设1212,()x x x x >是函数()g x 的两个极值点，若72

b ≥，求12()()g x g x -的最大值．

20. （本小题满分14分）

已知椭圆2

2

1:

12

x

C y +=.

（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若E 为圆O ：222(0)x y r r +=>的弦AB 的中点，则直线AB 的斜率A B k 与直线

OE 的斜率O E k 的乘积A B O E k k ?为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆1C 的类似性质，并加以证明； （Ⅱ）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于

C ，

D 两点，求三角形OCD 面积的最小值； （Ⅲ）如图（2），过椭圆2

2

2:182

x

y

C +=上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为M ，N.当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1） 图（2）

21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题

计分. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵=A ??

?

? ??3211 ，1223B ??= ???. （Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵1-A ；

（Ⅱ）求直线01=-+y x 在矩阵1A B -对应的线性变换作用下所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是22cos ,2sin x θy θ

=+??=?（θ为参数）.

（Ⅰ）将C 1的方程化为普通方程；

（Ⅱ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C 2的极坐标方程是()3

πθρR =

∈，

求曲线C 1与C 2交点的极坐标．．．

. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知正数x ，y ，z 满足62

22=++z y x ．

（Ⅰ）求z y x ++2的最大值；

（Ⅱ）若不等式z y x a a ++≥-+221对满足条件的x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．

厦门市2013届高三质量检查 数学（理科）评分标准

一．选择题； B C A B D

B A

C C A

10.分析1：BC=2，045A ∠=，所以2sin a R R A

=

?=

，如图建系，

(1,0),(1,0)B C -(0,1)O ，求得圆O ：2

2

(1)2x y -+=，设

(,)A x y ，则OA BC ?

分析2：||||cos ,,O A BC O A BC O A BC O A BC ?=?<>=<> …

分析3：211

()()()(22

O A B C O D D A B C D A B C A C A B A C A B c ?=+?=?=-+?-=-

又0

2

sin sin sin 45b c B C ==， 所以222211()))]22c b C B -=-=2222

1()4(sin sin ) (2)

c b C B -=-=

二．填空题：

11. 1±

12. 725- 13.

(或 14. m n

N

15．②③

15.分析：如图设12(,0),(,0)P x Q x ，当P ，Q 关于3(,0)2对称时，即123

22

x x += 12()()f x f x =,所以f(x)关于

32

x =对称. ④设()f x t =，则()1f t =+，观察出10t =

，则23t =，由③知无解.

三．解答题：

16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余

弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分．

解：（1

）3(

)cos 2

2

f x x x =

+

ωω

1

sin )22

x x =+ωω ----------------------------------------------------------------1分

cos cos sin )33x x =

+ππωω)3

x =+π

ω-------------------------------------3分

2=4,=

=

42

o T >ππ

ωω因为，所

以 -------------------------------------5分

())2

3

f x x π

π

=

+

所以

-------------------------------------6分 （2）将()f x 的图像沿x 轴向右平移23

个单位得到函数()

2

g x x π

=---------------------------7分

因为P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，

所以

(3,P Q

--------------------------------------------------------------------------9分 所以2,4,OP PQ ==----------------------------------------------------------------------------10分

2

2

2

cos 22

O Q PQ O P

O Q O Q Q P

θ+-=

=

=

?分

所以6

π

θ

=

---------------------------------------------------------------------------------------13分

法2：60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以

法3

：利用数量积公式cos 2Q P Q O Q P Q O

θ?==

=? ，=30o θ所以 17． 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，

考查空间想象、计算、推理论证等能力．满分13分． 解：（Ⅰ）连接OQ ，由题知PA ∥QC,∴P 、A 、Q 、C 共面

BD ⊥AC,BD ⊥PA,PA∩AC=A ，

∴BD ⊥平面PACQ, ∴BD ⊥OP . ------------------------------------------------------1分 由题中数据得PA=2，AO=OC=

2,OP=6,QC=1，OQ=3

∴△ PAO ∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC,

又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP ⊥OQ

（或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP ⊥OQ ）------------------3分 ∵OP ⊥BD, OP ⊥OQ,BD∩OQ=O ，∴OP ⊥平面QBD--------------------------4分

（Ⅱ）如图，以A 为原点，分别以AB,AD,AP 所在直线为X,Y ,Z 轴建立直角坐标系，

∴各点坐标分别为A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C （2,2,0），D （0,2,0）,P （0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-- -----------------5分 ∴BP =(-2,0,2), BQ =（0,2,1）,设平面PBQ 的法向量),,(z y x n = ∴22020n B P x z n B Q y z ??=-+=?

?

?=+=??

，得??

?-==z

y z

x 2， 不妨设1-=y ，∴)2,1,2(-=n --------------------------------------------------------------------------------------------------6分 由（Ⅰ）知平面BDQ 的法向量)2,1,1(--=OP ，---------------------------------------------------------------------------7分

>=6O P n O P n

?=

=?

， ∴二面角P-BQ-D 平面角的余弦值为

6

6.-------------------------------------------------------------------------------------9分

（Ⅲ）设PE ED λ=

,∴()(1)0,2,2PD PE ED ED λ=+=+=- ,()10,2,21ED λ

=

-+

222,,11CE CD DE λλ-??=+=- ?++?? ，-------------------------------------------------------------------------------------------11分

∵CE ∥平面PBQ,∴CE

与平面PBQ 的法向量)2,1,2(-=n 垂直。 242440111n C E -?=-++==+++ λλλλ,----------------------------------------------------------------------------------------12分

∴2

1=λ. ∴1

2PE ED =--------------------------------------------------------------------------------------------------------------13分 （方法二）在平面PAD 中，分别过D 点、P 点作直线PA 、AD 的平行线相交于点M ，

连结MC 交直线DQ 与点N ，在平面PQD 中过点N 作直线NE ∥PQ 交PQ 于点E ，----------------------------11分 由题可知CN ∥PB,NE ∥PQ,CN∩NE=N

∴平面CNE ∥平面PBQ,∴CE ∥平面PBQ----------------------------------12分 ∵CQ=1，MD=PA=2，∴12

Q N ND

=

∵NE ∥PQ,

12

PE ED

=------------------------------------------------------------13分

18．本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计

算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力．满分13分. 解：（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，

到2012年，11n =，该城市的人口数为200(111)10300+-?=万人， --------------------------------2分 故2012年医疗费用投入为49300101000310??=?元，即为30亿元，

由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，--------------------------------------------------4分 所以10(111)30x +-=，解得2x =，--------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），

该城市的人口数组成一个等比数列{}n a ，

其中1300(110%)300 1.1a =?+=?，公比 1.1q =，300 1.1n

n a =?----------------------------------------6分

医疗费用人均投入组成一个等差数列{}n b ，

其中11000b y =+，公差为y ，1000n b ny =+；---------------------------------------------------------------7分 于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：

1011221010S a b a b a b =+++ ，----------------------------------------------------------------------------------------8分 2

10

10300(1000) 1.1300(10002) 1.1300(100010) 1.1S y y y =+?++?+++? ， 2

3

11

101.1300(1000) 1.1300(10002) 1.1300(100010) 1.1S y y y =+?++?+++? ，

相减得：21011

100.1300[1100 1.1 1.1 1.1(100010) 1.1]S y y y y -=++++-+? ，

11

11

10 1.1 1.10.1300[1100(100010) 1.1]300(111750)1 1.1

S y y y --=+

-+?=-+-，

所以3000(111750)n S y =+（万元），----------------------------------------------------------------------------12分 由题设，3000(111750)6900000y +=，解得50y =。------------------------------------------------------13分

19. 本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推

理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13分.

解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()1a f x x

'=+

.------------------------------------------------------------------1分

∵l 与直线20x y +=垂直，∴1

12x k y a ='==+=，∴1a =.---------------------------------3分

（Ⅱ）∵2

1()ln (1)2

g x x x b x =+

--，∴2

1(1)1

()(1)x b x g x x b x

x

--+'=

+--=

.---------------------------4分

由题知()0g x '<在(0,)+∞上有解，∵0x >,----------------------------------------------------------------5分

设2()(1)1u x x b x =--+，则(0)10u => ∴只须21

02(1)40b b -?>?

???=-->?

------------------------------7分

1331

b b b b >???>?><-? 或，故b 的取值范围为(3,)+∞.-------------------------------------------------8分 （Ⅲ）∵2

1(1)1

()(1)x b x g x x b x

x

--+'=

+--=

，∴令()0g x '=，得：2(1)10x b x --+=

∴12121,1x x b x x +=-=，

法1：∵2

2

1211122211()()[ln (1)][ln (1)]2

2

g x g x x x b x x x b x -=+

---+

--

2

2

22

11121212121222

11ln

()(1)()ln ()()()22

x x x x b x x x x x x x x x x =+----=+

--+-

22

2

2

11

121121

22

212221

111ln

()ln ()ln ()2

22x x x x x x

x x x x x x x x x x -=-

-=-=------------------------------10分

∵120x x <<，∴设12

(01)x t t x =<<，令1

1

()ln (),(01)2h t t t t t

=-

-<<-------------------------11分 则2

2

2

111(1)()(1)022t h t t t

t

-'=-+

=-

<，∴()h t 在(0,1)上单调递减．-----------------------------------------12分

又∵72

b ≥

，∴2

25(1)4

b -≥

，即2

2

121212

()125()24

x x x x t x x t

++=

=++≥

∵01t <<，∴241740t t -+≥，∴104

t <≤

，115()()2ln 24

8

h t h ≥=-，故所求最小值为

152ln 28

---13分

法2：同上得

2

12121ln

)(2

1)()(x x x x b x g x g +--=

-

2

22

21ln 4)(2

1x x x b +-+-=

22

ln 24)1(2

1x b b +---=

2

4)1()1(ln

24)1(212

2

--+-+---=

b b b b

2ln 2]4)1()1ln[(24)1(2

12

2

---+-+---=b b b b --------------------------------------------10分

令51()2

t b t =-≥

，则()2ln(2ln 2h t t =

+

-----------------------------------------11分

22

()h t '=+

=

≥0----------------------------------------------------------12分

()h t 在5(,)2

+∞上为增函数.当52

t =

时,15()2ln 2.8

h t =

- 故所求最小值为

152ln 28

----------------------13分

20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、

函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14分. 解：（Ⅰ）若A ，B 为椭圆2

2

1:12

x

C y +=上相异的两点，00(,)E x y 为A ，B 中点，当直线AB

的斜率A B

k 与直线OE 的斜率O E k 的乘积O E AB k k ?必为定值;---------------------------------------------------1分

证1：设1122(,),(,)A x y B x y ，则22

112

222

1(1)21(2)

2

x y x y ?+=--????+=--?? （2）-（1）得：

21212121()()

()()02

x x x x y y y y +-++-=，-----------2 仅考虑斜率存在的情况∴：0020AB x y k +?=?12

O E A B k k ?=-

证2：设AB ：y kx b =+与椭圆2

21:12

x

C y +=联立得：22

2

(12)4220k x kbx b +++-=

122

412kb x x k

+=-+，-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分

所以0002

2

2112122O E y kb b x y k k

k x k

=-

?=

?=

=-

?++12

O E A B k k ?=-

----------4分

（Ⅱ）（ⅰ）当点A 无限趋近于点B 时，割线AB 的斜率就等于椭圆上的B 的切线的斜率k ， 即12

O B k k =-

，2

22y x k -=

所以点B 处的切线QB ：222222()122

x x y y x x x y y y -=--?

+=----------------6分 令0=x ，2

1y y D =

，令2

2,0x x y C ==，所以2

22y x S OCD =

?-----------------8分

又点B 在椭圆的第一象限上，所以12

,0,02

22

222=+>>y x y x

222

22

22

22

222

2

2

1y x y x y x =

≥+=

∴

22

2

22

2=≥=

∴?y x S OCD ，当且仅当

122

222

22

2

==

?=y x y x

所以当(1,2

B 时，三角形OCD 的面积的最小值为2-------10分（没写等号成立扣1分）

（ⅱ）设(,)P m n ，由（ⅰ）知点),(33y x M 处的切线为：

12

33=+y y x x

又PM 过点(,)P m n ，所以12

33=+n y m x ，又可理解为点),(33y x M 在直线

12

=+yn m x 上

同理点),(44y x N 在直线

12

=+yn m x 上，所以直线MN 的方程为：12

m x ny += --------------------------12

分

所以原点O 到直线MN 的距离

d =

=2

，----------13分

所以直线MN 始终与圆2212

x y +=

相切. ------------------------14分

21. （1）选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力。满分7分

解：（Ⅰ）013

21

1

det ≠==

A ，∴矩阵

A 可逆． ---------------------------------------------------------------------1分

且=

-1A ????

? ??--1213

-------------------------------------------------------------------------------------------3分

（Ⅱ）B A

1

-=

????? ??--1213

???? ?

?3221=????

?

?

?1031

---------------------------------------------------------------------------4分

设直线01=-+y x 上任意一点(,)P x y 在矩阵B A 1-对应的线性变换作用下得到'''(,)P x y ，

则????

? ?

?1031

????

? ??y x =????

? ??''y x ----------------------------------------------------------------------------------------------------5分

即：???='+='y y y x x 3，从而 ?

??'='

-'=y y y x x 3------------------------------------------------------------------------------6分

代入01=-+y x 得012=-'-'y x 即012=--y x 为所求的曲线方程。-------------------------------------7分

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。满分7分 解：（Ⅰ）C 1的普通方程为：4)2(22=+-y x ---------------------------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）法一：如图,设圆心为A ， 原点O 在圆上，

设 C 1与C 2相交于O 、B ，取线段OB 中点C ， 直线OB 倾斜角为

3

π

，OA=2，-----------------------------------------------4分

∴OC=1 从而OB=2，-------------------------------------------------------------5分

∴O 、B 的极坐标分别为).3

,2(),0,0(π

B O ------------------------------------7分

法二：C 2的直角坐标方程为：x y 3=

--------------------------------------4分

代入圆的普通方程后，得4)3()2(2

2=+-x x ,即：0)1(=-x x ，得：1,021==x x

∴O 、B 的直角坐标分别为).3,1(),0,0(B O ---------------------------------------------------------------------5分

从而O 、B 的极坐标分别为).3

,

2(),0,0(π

B O ---------------------------------------------------------------------7分

（3）选修4-5：不等式选讲

本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想。满分7分

解：（Ⅰ）由柯西不等式，2

2

2

2

2

2

2

)2()121)((z y x z y x ++≥++++ ----------------------------------------------1分 即有36)2(2≤++z y x ，

又x 、y 、z 是正数，∴62≤++z y x 即z y x ++2的最大值为6，-------------------------------------2分 当且仅当

1

21z y x ==，即当2,1===y z x 时取得最大值。-------------------------------------------------3分

（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得，6)2(21max =++≥-+z y x a a ------------------------------------------------------4分

即：?

?

?≥----

6211a a a a a a 或 ---------------------------------------------------------------------6分

解得：a 无解 或 3

7-

≤a 综上实数a 的取值范围为3

7-

≤a ------------------------------------------7分