数列求和的基本方法归纳
数列求和的基本方法归纳
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：???
??≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n
3、)1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(61
1
2++==∑=n n n k S n
k n
5、21
3)]1(21
[+==∑=n n k S n
k n
[例1] 已知3
log 1
log 23-=
x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=?-=?-=
x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）
＝x
x x n
--1)1(＝2
11)
21
1(2
1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
1
++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1
)32()(++=
n n
S n S n f ＝64342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当 8
8
-
n ，即n ＝8时，501)(max =n f
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----?
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
[例4] 求数列??????,2
2,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21
}的通项之积
设n n n
S 2
226242232+???+++=…………………………………①
14322
226242221++???+++=n n n
S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+???++++=-n n n n
S （错位相减）
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证：n n
n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
证明： 设n
n
n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得
113)12()12(n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序） 又由m
n n
m n C C -=可得 n n
n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加）
∴ n n n S 2)1(?+=
[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x
①+②得 （反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+???+++-n a
a a n ，…
解：设)231
()71()41()11(12-++???++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+???+++++???+++=-n a
a a S n n （分组）
当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(11
1n n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+---
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n
k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝k k k n
k n
k n
k ∑∑∑===++1
2
1
3
1
32 （分组）
＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++
＝2)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2
)
2()1(2++n n n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
（5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 [例9] 求数列
???++???++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
111 （裂项）
则 1
13
212
11
+++???+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n
[例10] 在数列{a n }中，11211++???++++=n n n n a n ，又1
2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=
∴ )11
1(82
122+-=+?=n n n n b n （裂项）
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]11
1()4131()3121()211[(8+-
+???+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)1
11(8+-n ＝ 18+n n
[例11] 求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=
S
∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=
S （裂项求和）
＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1sin 1?＝ 1
sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质项）
∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并求和）
＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+ ＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +???++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项）
和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和） ＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111
1
-=????=???k
k k
个个 （找通项及特征） ∴
1
1111111111个n ???+???+++ ＝)110(9
1
)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911
321 个n n +???+++-+???+++ ＝9
110)110(1091n
n ---?
＝
)91010(81
1
1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞
=+-+++=1
1))(1(,)3)(1(8
n n n n a a n n n a 求的值.
解：∵ ])
4)(2(1
)3)(1(1)[
1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）
＝])
4)(3(1
)4)(2(1[
8+++++?n n n n （设制分组）
＝)4
1
31(8)4121(
4+-+++-+?n n n n
（裂项）
∴ ∑∑∑∞
=∞
=∞=++-+++-+=-+1111)41
3
1(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）
＝41
8)4131(4?++?
＝3
13
数列求和知识点总结(学案)
数列求和 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n 项和公式 (2)分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 . (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ?? ???12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一 分组转化法求和 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{ b n }的前2n 项和． 【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n
－1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 高频考点二 错位相减法求和 例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。 模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的前 n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的 图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小 正 整 数 m ； （2006年湖北省数学高考理科试题） 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （ ＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+= n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1 61 561( 21+--n n ，
(完整版)数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
数列求和方法小结
数列求和方法小结 等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法） 将数列转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 常用公式：等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= ， 等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1() 1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）， 另 外 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ ， 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =+++ +=???? ∑ 例1 ． 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2已知函数()x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=； （2）求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则
求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)
求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
几种常见数列求和方法的归纳
几种常见数列求和方法的归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加） （2）等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定 要讨论） （3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解） 例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 例：（1）求和：(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=
当1±≠x 时， n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消） 常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， 2= 例：（1）求和：111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：23,2,3, ,, n a a a na
数列求和知识点总结.doc
数列求和 1．求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式 (2) 分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2．常见的裂项公式 1 1 1 (1) n （n ＋1）＝ n －n ＋1 . (2) 1 1 1 1 . n － ）（ n ＋ ） ＝ 2 n － － n ＋ 1 2 1 2 （212 1 1 ＝ n ＋ － n (3) 1. n ＋ n ＋1 高频考点一 分组转化法求和 例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2＋ n ， n ∈ N * . 2 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ 2a n ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．
【感悟提升】 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从 而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究， 将数列的通项合理分解 转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝2·3n － 1＋ ( － 1) n ·(ln2 － ln3) ＋ ( － 1) n ln3 ，求其前 n 项和n . n S 高频考点二 错位相减法求和 例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1＝ a 1 ，b 2＝ 2， q ＝ d ， S 10＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； n a n n n (2) 当 d>1 时，记 c ＝ ，求数列 { c 的前 n 项和 T . b n 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n － qS n ”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解． 【变式探究】已知数列 n 满足首项为 1 n ＋ 1 n * n 2 n { a } a ＝ 2， a ＝ 2a ( n ∈ N ) ．设 b ＝ 3log a － * n n n n 2( n ∈ N ) ，数列 { c } 满足 c ＝ a b . (1) 求证：数列 { b n } 为等差数列； (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三 裂项相消法求和 例 3、设各项均为正数的数列 2 2 2 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n 满足 S n －( n ＋ n － 3) S n － 3( n ＋n ) ＝ 0， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式；
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法 主要方法： 1．求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的选取： 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；转化思想的运用； 一、公式法 二、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 1、求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 2 、 求 数 列 的 前 n 项 和 ： 231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 三、 合并求和法： 1、求22222212979899100-++-+-Λ的和。 2、1-2+3-4+5-6+7-8+9-……….+ n 1-1 n +）（ 3（2014山东19文） 在等差数列{}n a 中，已知2d =，2a 是1a 与4a 等比中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()12 ,n n n b a += 记()1231n n n T b b b b =-+-++-L ，求n T . 4.( 2014山东19理） 已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 5、（2011山东理数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 6、（2011山东文数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-， 求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 四、 错位相减法：.×. 1、已知数列)0()12(,,5,3,11 2 ≠--a a n a a n Λ，求前 n 项和。 2、 132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 3、求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和 4、{2}.n n n ?求数列前项和 5、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=
数列求和7种方法(方法全-例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [例1]已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+= n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴当8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案： 二、错位相减法求和
高中数列求和的几种方法
高中数列求和的几种方法 包括累加法累乘法倒序相加法什么的,请告诉我所有的方法的内容及适用范围以及例题. 1.公式法： 等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式： Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) 其他 1+2^2+3^2+4^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1+2^3+3^3+4^3+.+n^3=[n(n+1)/2]^2 2.错位相减法 适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 例如： an=a1+(n-1)d bn=b1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______① =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) =a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q) 此外.①式可变形为 Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和. 此形式更理解也好记 3.倒序相加法 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+.+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-2).+a1 上下相加得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2 4.分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例如：an=2^n+n-1 5.裂项法 适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项. 常用公式： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/（n-1）-1/n
数列题型及解题方法归纳总结
知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常 数） 例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法， 得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-， 想 于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化 为前面的类型。 求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式 系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是
数列求和优秀教案设计
题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位和作用 本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析 在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】 本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节． 本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。 【目标定位】
1 知识与技能目标 掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标 通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点 本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。 【课堂设计】 一、创设情景、导入新课 教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？ 学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。 学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。
数列求和的常用方法(三课时)
数列求和的常用方法（三课时） 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法： 一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列． （2）令31ln 12n n b a n +== ，，，， 求数列{}n b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得12313 27:(3)(4)3.2 a a a a a a ++=?? ?+++=??， 解得22a =． 设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132 2a a q q ==，． 又37S =，可知2 227q q ++=，即22520q q -+=， 解得121 22 q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，， 由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++ 1()2 (3ln 23ln 2) 23(1)ln 2. 2 n n b b n n n += += += 故3(1) ln 22 n n n T += ．