高中数学 2.2等差数列教案(1) 新人教A版必修5

课题: §2.2等差数列

●教学目标

知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。

●教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式。

●教学难点

等差数列的性质

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情境]

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。

课本P41页的4个例子：

①0，5，10，15，20，25，…

②48，53，58，63

③18，15.5，13，10.5，8，5.5

④10072，10144，10216，10288，10366

观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。

⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：

d a a =-12即：d a a +=12

d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=

d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a 。

由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=

即：d m a a m )1(1--=

则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--

即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=

n

m a a n m -- [范例讲解]

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-?-+=a

⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例3 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。

解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2）） ])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数

∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 。

注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…

②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.

③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)，称其为第3通项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

Ⅲ.课堂练习

课本P45练习1、2、3、4

[补充练习]

1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.

解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.

解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.

令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－3

2

1，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解：由题意可知：1a =0,d =－321 ∴此数列的通项公式为：n a =－27n +2

7, 令－27n +27=－20,解得n =7

47 因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. Ⅳ.课时小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +

）.其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：=n a d m n a m )(-+和n a =pn+q (p 、q 是常数)的理解与应用.

Ⅴ.课后作业

课本P45习题2.2[A 组]的第1题

●板书设计

●授后记

课题: §2.2等差数列

授课类型：新授课

（第２课时）

●教学目标

知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

●教学重点

等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

●教学难点

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

●教学过程

Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）

2．等差数列的通项公式：

d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))

3．有几种方法可以计算公差d

① d=n a －1-n a ② d =1

1--n a a n ③ d =m n a a m n -- Ⅱ.讲授新课

问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？

由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=

反之，若2

b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2

b a b a A ?+=成等差数列 [补充例题]

例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……

解：∵ {a n }是等差数列

∴ 1a +6a =4a +3a =9?3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5

∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32

[范例讲解]

课本P44的例2 解略

课本P45练习5

已知数列{n a }是等差数列

（1）7532a a a =+是否成立？9512a a a =+呢？为什么？

（2）112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？

（3）2(0)n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？

结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )

但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ 探究：等差数列与一次函数的关系

Ⅲ.课堂练习

1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d

2. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a Ⅳ.课时小结

节课学习了以下内容：

1．,,,2a b

A a A b +=?成等差数列

2．在等差数列中， m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) Ⅴ.课后作业

课本P46第4、5题

●板书设计

●授后记