第22届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试试题和答案(word版)

第22届“希望杯”全国数学邀请赛

高一 第一试

2011年3月13日 上午8：30至10：00

校名________________ 班_________ 姓名__________ 辅导老师_________ 成绩_____

一、选择题（每小题4分， 共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将你认为

1．已知()a f x kx =是幂函数，它的图像过点1

(4,)2

，则k a +的值等于（ ）

(A) 12

-. ( B ) -2. ( C )

12

. ( D ) 2.

2．设1

1

2

5

1

111log log 3

3

A =

+

，则A 属于区间（ ）

( A ) (2, 3) . (B) (l,2) . (C) （-2，-l) . (D)（-3，-2) .

3．图1中给出一枚骰子的三种不同放法，则图中“?”处的数字是（

）

( A ) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4.

4．己知sin cos 1αα+=-，则20112011

s in

c o s αα+的值的集合是（ ）

( A ) {1}. (B){0}. (C) {-1}. (D){-1,1}.

5．已知,,a b R a b +∈≠，设222,A a b B a b =+==+,则A 与B 的大小关系是（ ） (A) A ＞B (B) A

6．已知函数3(5)6,4,

()2,4,

x a x a x f x a x --+-≤?=?>?数列｛n a ｝满足()()n a f n n N +=∈,且数列｛n a ｝是

单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）

(A) (1,5). (B)(2,5). (C) 14(,5)5. (D) 14

[,5)5

.

7. Two known vectors a =（22cos ,sin x x ) . b = (2

2sin ,cos x x ) （x R ∈) , and ()f x =| a |-| b | , then

the maximum value off ()f x is ( )

( A ) 1 . ( B ) 2 . ( C ) 3 . 6 . ( D ) 4.（英汉词典：vector 向量；maximum value 最大值） 8．设函数2()|log (1)|f x x =-，当1a b c <<<时，有()()()f b f a f c <<，则（ ） ( A ) ac < 0 . ( B ) ab < 0 . ( C ) ac > 0 . ( D ）bc ＞ 0 . 9．已知m ,l 是异面直线，给出以下四个命题：

①一定存在平面α过m 且与l 平行．②一定存在平面α与m ,l 都垂直．

③一定存在平面α过m 且与l 垂直．④一定存在平面α与m , l 的距离都相等． 其中错误的命题个数是（ ） (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .

10．对于数列101, 10101, 1010101, 101010101，…，下列判断中正确的是（ ）

(A)数列的所有项都是质数． (B)数列的所有项都是合数． (C)数列中有且仅有1个质数． (D)数列中的质数不少于两个． 二、 A 组填空题（每小题4分，共40分）

11．四边形ABCD 中，若0AB AD BA BC CB CD DC DA ?+?+?+?=

成立，则四边形ABCD 是_______.（填“平行四边形”、“长方形”、“正方形”或“梯形” )

12

．设()()f x g x +=，且()y f x =和()y g x =依次是偶函数和奇函数，则(3)f

=_______.

13．已知sin sin 1,cos cos 0αβαβ+=+=

=_______.

14．对集合A 和B ，定义下面的两种运算：{|,}A B x x A x B -=∈?, *()()A B A B B A =-- . 若

2

{|2,}A x y x x x R ==+∈, 2

{|sin 2cos ,}B x y x x x R ==-∈，则 A * B=_______.

15．已知数列｛n a ｝满足1112,(21

n n a a n a -==-

≥+且)n N ∈，则2010

a 的值为______.

16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间［0,2］上是增函数，若方程()(0)f x m m =<在区间[-4, 8]上有四个不同的实数解1234,,,x x x x ．则1234x x x x +++的值是_______.

17．已知点M （-2，-1）和 N ( l ，-5)，又点P 在圆C:

2

2

4210x y x y +--+=上运动，则MNP ?面积的最大值是_______.

18．图2所示的程序框图的输出结果为_______. 19．4个平面可以将空间最多分成_______部分． 20．Define vectors a =（cos ,sin αα) . b = (cos ,sin ββ), and c = a + k b

( real number [1,2]k ∈-) . If 3

π

αβ=+

，then the value range of | c

|=_______.

三、B 组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空，每空4分） 21+

______. 22．已知()2sin sin()122

x x

f x θ=--.

(l)若()f x 是偶函数，则cos 2θ

=______;

(2)若()f x 的最大值是1

2

，则cos 2θ=______

23．已知函数()421x x

f x m =+?+有且仅有一个零点，则m 的取值范围是______. 24．不等式

13x

-

<的解是____.在这个条件下，函数|sin |y x =的图象关于_____成_____

对称图形．

25．已知x 是实数且2,3x ≠．若1

1

m in{,

}|2||3|

S x x =--，那么m ax S =______，此时x =_____.

第22届“希望杯”全国数学邀请赛答案高一第一试

（11）平行四边形（12）12 （13）

2 （14）[2,1)(2,)-+∞ （15）32

- （16）8

（17）16 （18）

10062013

（19）15 （20）2

三、B 组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空， 每空4分） （21）1115

（22）0或1或-1或12

- （23）{2};0x -=（24）1

1

[,0)(0,]22

-

；y 轴，轴 （25）52;

2

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛答案

一、 选择题（每小题4分， 共40分）

二、

A 组填空题（每小题4分， 共40分）

（11） (1,0)(1,)-?+∞ （12） 2[2log 3,)+∞ （13） 0 （14） 6

（15） 40 （16） 8 （17）1:2 （

18） -1 （19）1

(,2)(,1)2-∞-?

（20）8

(,){13

-∞-?-

三、B 组填空题（每小题8分， 共40分， 每小题两个空， 每空4分） （21） 2， -4 （22）[2,2)-?， [2, （23） 0，2

（24）-4 2

1

142

142

1684

a a a a a a ?-≤??

?-<

-≥???

（25）[8,， 3

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案