2013届人教A版文科数学课时试题及解析(36)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题B

课时作业(三十六)B [第36讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题]

[时间：35分钟 分值：80分]

基础热身

1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－1，＋∞)

D ．(0,1)

2．若x ，y ∈R ，且????

?

x ≥1，x －2y ＋3≥0，

y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．9 3．若不等式组????

?

x －y ＋5≥0，y ≥a ，

0≤x ≤3

表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )

A ．a <5

B ．a ≥8

C ．a <5或a ≥8

D ．5≤a <8

4．已知变量x 、y 满足条件????

?

x ≥1，x －y ≤0，

x ＋2y －9≤0，则使目标函数z ＝x ＋y 的值最大的点(x ，

y )是________．

能力提升

5．设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件?

???

?

x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是( )

A.22

B.3

2

C ．1 D. 2 6．若x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y ≥1，x －y ≥－1

2x －y ≤2，，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小

值，则a 的取值范围是( )

A ．(－1,2)

B ．(－4,2)

C ．(－4,0]

D ．(－2,4)

7． 已知点M (a ，b )在由不等式组????

?

x ≥0，y ≥0，

x ＋y ≤2所确定的平面区域内，则点N (a ＋b ，a

－b )所在平面区域的面积是( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

8． 已知x ，y 满足约束条件????

?

x ≥0，y ≥0，

x ＋2y ≤2，若0≤ax ＋by ≤2，则点(a ，b )所形成的区域

的面积是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．定义符合条件????

?

x ≤y ≤3x ，0≤y ≤a ，

x ，y ∈N 的有序数对(x ，y )为“和谐格点”，则当a ＝3时，和

谐格点的个数是________．

10．若实数x ，y 满足????

? x ≤2，y ≤2，

x ＋y ≥2，

则目标函数z ＝y

x ＋1

的最大值是________．

11． 设不等式组????

?

2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，

y ≤2

表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图

象经过区域M ，则实数k 的取值范围是________．

12．(13分)某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的伦敦奥运会会徽—“2012”和奥运会吉祥物—“文洛克”．该厂所用的主要原料为A 、B 两种贵重金属，已知生产一套奥运会会徽需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒．若奥运会会徽每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？

难点突破

13．(12分) 设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.

(1)若点P 的坐标为???

?12，3

2，求f (θ)的值；

(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：????

?

x ＋y ≥1，x ≤1，

y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，

并求函数f (θ)的最小值和最大值．

课时作业(三十六)B

【基础热身】

1．B [解析] ∵点O (0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方?－2－2t ＋4<0，∴t >1.

2．B [解析] 画出不等式表示的平面区域如图阴影所示，当直线z ＝x ＋2y 过点(1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值3，故选B.

3．D [解析] 画出?

????x －y ＋5≥0，

0≤x ≤3表示的区域(图略)，知当5≤a <8时满足题意．

4．(3,3) [解析] 如图可行域为一个三角形．

其三个顶点分别为A (1,1)，B x ＋y 知，当目标函数向上平移时使目标函数值增大，当目标函数过点(3,3)时，x ＋y 取最大值，所以使目标函数z ＝x ＋y 的值最大的点是(3,3)．

【能力提升】

5．A [解析] 作出可行域如图，|P A |的最小值为点A 到直线x －y ＝0的距离，可求得为22

.

B [解析] 画出可行域，目标函数可化为y ＝－a 2x ＋1

2

z ，根据图象判断，当目标函数的

斜率－1<－a

2

<2时，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，这时a 的取值范围是(－

4,2)，应选B.

7．C [解析] 令?

??

??

a ＋

b ＝u ，

a －

b ＝v ，则有???

a ＝u ＋v

2

，b ＝u －v

2，

由点M (a ，b )在由不等式组????

?

x ≥0，y ≥0，

x ＋y ≤2

所确定的平面区域内，得????

?

0≤u ＋v ≤4，0≤u －v ≤4，

0≤u ≤2，

所以点N 所在平面区域为图中的阴影部分，

所以该平面区域的面积为S ＝1

2

×4×2＝4.

8．B [解析] 点(x ，y )所在的区域是一个三角形区域，其项点是(0,0)，(2,0)，(0,1)． 由于ax ＋by 必然在这三个点上取得最大值或最小值，故a ，b 满足不等式组????

?

0≤0≤2，0≤2a ≤2，0≤b ≤2，即?

????

0≤a ≤1，

0≤b ≤2，在坐标平面aOb 上，此不等式组表示一个矩形区域，其面积为2.

9．7 [解析] 作出可行域????

?

x ≤y ≤3x ，0≤y ≤a ，

x ，y ∈N ，

数出和谐格点个数为7.

10．2 [解析] 线性约束条件对应的可行域为△ABC (如图)．而z ＝y

x ＋1

为点(x ，y )与(－

1,0)连线的斜率．由图形知，z max ＝2

0＋1

＝

2.

11.???

?－14，1

2 [解析] 作出平面区域，如图．因为函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象是过点P (－1,1)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点A (1,2)时，k 取最大值1

2

；当直线l 过点B (3,0)

时，k 取最小值－1

4

.故k ∈??

??－14，1. 12．[解答] 设该厂每月生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为x ，y 套，月利润为z 元，由题意得

?????

4x ＋5y ≤200，

3x ＋10y ≤300，

x ≥

0，y ≥0，x ，y ∈N ，

目标函数为z ＝700x ＋1200y ， 作出可行域如图所示．

目标函数可变形为y ＝－712x ＋z

1200

，

∵－45<－712<－310

，

∴当y ＝－712x ＋z 1200通过图中的点A 时，z

1200

最大，这时z 最大．

解?

????

4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点A 的坐标为(20,24)， 将点A (20,24)代入z ＝700x ＋1200y 得z max ＝700×20＋1200×24＝42800元．

答：该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为20套，24套时月利润最大，最大利润为42800元．

【难点突破】

13．[解答] (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得???

sin θ＝32，

cos θ＝1

2

.

于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×

32＋1

2

＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．

于是0≤θ≤π

2

.

又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ???

?θ＋π6， 且π6≤θ＋π6≤2π

3

， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π

3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；

当θ＋π6＝π

6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.