高三模拟考试数学理科
辽宁省部分重点中学协作体2007届高三模拟考试
数学试题（理科）
本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是最符合题目要求的。 1．若}1|{->=x x M ，则下列选项正确的是
（ ）
A ．0?M
B ．{0}∈M
C ．φ∈M
D ．{0}?M 2．7
5
3
4321i i i i -+-+-+-=
（ ）
A ．10－2i
B ．10
C ．10+2i
D ．8
3．{a n }为等差数列，a 10=33，a 2=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10= （ ）
A ．40
B ．200
C ．400
D ．20 4．关于x 的不等式ax +b <0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式02
>--x b
ax 的解集为（ ） A ．（1，2） B ．（－1，2）
C ．（－∞，－1）∪（2，+∞）
D ．（2，+∞） 5．)1
1
12(lim 21
---→x x x x =
（ ）
A ．不存在
B ．－
2
1 C ．
2
1 D ．1
6．有以下四个命题 （ ） （1）垂直于同一平面的两个平面平行
（2）若异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何一个平面与b 均不垂直
（3）假定一个总体由n 个个体组成，现从中抽取一个容量为m 的样本（0 个个体被抽到的概率一定为 n m （4）0)2232221( lim =++++∞ →n n n n n n 其中n ∈N* A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和 45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成的角和余弦值为 （ ） A ． 6 3 B ． 6 2 C ． 3 6 D ． 4 6 8．若)2sin(),0,2 ().,2(,53)sin(,54)sin(βπ βαππβαβαβα则其中-∈-∈+-=-=+= （ ） A ． 257 B ．－ 25 7 C ．1 D ．－1 9．已知2222222,4)(c ab b a c c b a +=+++则的最大值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．袋中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个形状和大小都相同的小球，从中依次 取两球，每次取一球，取后不放回，每次取球时每个球被取出的概率相等，若第一次取到x 号球，第二次取到y 号球，则x +y 为偶数的概率 （ ） A ． 3 2 B ． 9 2 C ． 9 4 D ． 3 1 11．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点F 作倾斜角为60°的直线与双曲线相交于 A 、 B 两点，若4=则双曲线的离心率e 为 （ ） A ． 5 6 B ． 3 10 C ． 310或5 6 D ．以上答案都不对 12．点O 为△ABC 内一点，且存在正数,,321321=++λλλλλλ使，设△AOB ，△AOC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2= （ ） A ．λ1：λ 2 B ．λ2：λ 3 C ．λ3：λ 2 D ．λ2：λ1 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知x 、y 满足?? ? ??≤-≥+-≥++020402y x y x y x 则z =2x +y 的最大值为 . 14．正三棱锥P —ABC ，PC ⊥面P AB ，PC =22，则过点P 、A 、B 、C 的球的体积为 . 15．⊙A ：(x －3)2+(y －5)2=1，⊙B:(x －2)2+(y －6)2=1，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若||),0,0(|,|||O 则=的最小值为 . 16．2)1()(,196)(5>-+++=a f a f x x x f 若，则a 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17．（本小题满分12分） 已知]2 , 0[,)(),cos 3sin 2,1(),cos ,(sin 2 π ∈?=+==x b a x f x x b x x a 其中 （1）求f (x )的值域. （2）求f (x )的单调递增区间. 18．（本小题满分12分） 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出 的概率为0.92。求： （1）求该题被乙独立解出的概率。 （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。 19．（本小题满分12分） 四面体ABCD 中，已知AB ⊥面BCD ，AB=BC=2， BD=22，∠DBC=45° （1）证明：CD ⊥面ABC 。 （2）求二面角B —AD —C 的平面角的大小. （3）若AD 中点为M ，求点A 到面BMC 的距离. 20．（本小题满分12分） 已知F 为抛物线x 2=2py (p >0)的焦点，过F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，以A 、 B 为切点分别作抛物线的切线L 1、L 2，若L 1与L 2交于点P ，求： （1）点P 的轨迹方程。 （2）若△PAB 的面积的最小值为16，求抛物线的方程。 21．（本小题满分12分） 已知函数f (x )=2x +a ln x ， （1）若a <0，证明：对于任意两正数x 1、x 2，总有)2(2)()(2121x x f x f x f ≥+成立。 （2）若存在x ∈[1,e]，使不等式2 2 1)3()(x x a x f -+≤成立，求a 的取值范围. 22．（本小题满分14分） 已知数列,21 ,0,}{11n n n a a a a -= =+中 （1）求数列{n a }的通项公式n a . （2）设数列{n a }的前n 项和为S n ，证明S n 3||<-m n b b . 辽宁省部分重点中学协作体2007届高三模拟考试 数学试题（理科）参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C 11.B 12.C 二、填空题 13.16 14. π68 15. 2 2 3 16. 21>a 三、解答题 17．解： （1）x x x x a x x f 222cos 2)2sin(1cos 3cos sin 2sin )(++=++= ]1,2 2[)42sin(]4 5,4[42],2 , 0[) 4 2sin(22)2cos()2sin(2- ∈+ ∴∈+∴∈+ +=++=π π ππ π π x x x x x x ]22,1[)(+∈∴x f …………6分 （2）时当Z k k k x ∈+ - ∈+]2 2,2 2[4 2π ππ ππ ]2 ,0[]8 ,83[π ππππ∈+- ∈x k k x 又 )(x f ∴的增区间为]8 ,0[π …………12分 18．解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙独立解出此题的概率为P 2. 则P （A ）=P 1=0.6，P （B ）=P 2 P （A+B ）=1－P （B A ?） =1－(1－P 1)(1－P 2)=P 1+P 2－P 1+P 2=0.92 ∴0.6+P 2－0.6P 2=0.92 则 0.4P 2=0.32即P 2=0.8.………………………………5分 （2）P （ξ=0）=P （A ）·P （B ）=0.4×0.2=0.08 P(ξ=1)=P(A)P(B )+P(A )P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44 P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48 E ξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4…………………………10分 D ξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4 ∴解出该题的人数ξ的数学期望为1.4，方差为0.4。………………12分 19．解：（1）∵AB ⊥面BCD ∴AB ⊥CD 又∵BC=2，BD=22，∠DBC=45° ∴由余弦定理得CD=2 ∴∠BCD=90° ∴BC ⊥CD ∴CD ⊥面ABC …………4分 （2）由（1）知AC ⊥CD ∵AD=32 CD=2 ∴AC=22 ∵AB=BC=2 ∴取AC 中点O ，连接BO 、DO 则BO ⊥AC ∵面ABC ⊥面ACD ∴BO ⊥面ACD 过O 作OE ⊥AD 于E ，连接EB ，则根据三垂线定理可得BE ⊥AD ∴∠BEO 为所求. 在△ABC 中，BO= 2 1 AC=2 在△ACD 中，OE=AO ×sin ∠CAD=23 6 = ? AD CD 在△AOE 中，tan ∠BEO=3 ∴3 π =∠BEO ∴二面角B —AD —C 的平面角的大小为3 π …………8分 （3）设A 到面BMC 的距离为h 23,22 1 2121===?=???== =??--BC CM BM BCM CD AC S S V V ACD ACM ACM B BM C A 中在 231 312 2222 1 =∴??=??∴=⊥=??= ???h h S BO S BO ACD BO S BCM ACM BCM 且面 ∴A 到面BMC 的距离为2 …………12分 20．解：（1）)2 ,0(p F ∴设直线AB 的方程为2 p kx y + = 分 则设得2,2)2,()2,(022******* 2 2211222 p x x pk x x p x x B p x x A p pkx x py x p kx y -==+=--?? ? ? ? =+= 由p x y p x y = '= 得22 所以以A 为切点的切线L 1方程为)(211 21x x p x p x y -=- 以B 为切点的切线L 2方程为)(2222 2 x x p x p x y -=- 设交点P （x ，y ） 则可解得??? ? ? ??=+=-==pk x x x p p x x y 2222121 所以点P 的轨迹方程为2 p y - = …………8分 （2）||1)()(||212221221x x k y y x x -+=-+-= 2 2222222122121|)1(|1)2(2)(|) 1(2) (4)2(14)(1k p k k p p pk k h AB P k p p pk k x x x x k ++=+--+ ?= +=--+=-++=的距离到直线点 所以)1(1||2 1 222k k p h AB S PAB ++=?= ?的最小值为p 2…………10分 所以p 2=16 p=4 ∴抛物线方程为y x 82= …………12分 21．解：（1） )2 (2)()(2 121x x f x f x f +-+ ) 2 (2)()(0 2ln 2ln 1222ln )2 ln ln(2 ln ln 2 ln 222ln 2ln 221212 1212 1212 1212121212121212 1 212 1 212211x x f x f x f x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x x a x x a x +≥+≥+<≤+≤+≥++=+?=+-=+-+-+++= 所以 所以因为所以所以 因为 （2）因为存在x ∈[1，e ]使不等式2 2 1)3()(x x a x f - +≤成立 x x e x x x x x a x x a x a x ≤≤∈-≥ -∴-+≤+∴1ln ],1[2 1)ln (2 1)3(ln 22 2所以因为 并且等号与不同时取到，所以ln x ……………………5分 ln 12 1 1ln ,01,),1()ln () ln 121 )(1()ln () 21 )(11()ln )(1()(] ,1[ln 21)(,ln 212 2 222>-+<>-∈--+-= ------='--=--≥x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x g e x x x x x x g x x x x a 所以时当因为设因而 所以g ′(x )>0，又因为g(x )在x =1和x =e 处连续， 所以g(x )在x ∈[1，e]时为增函数，因而g(x )≥g(1)=－2 1 所以a ≥－ 2 1 ………………………………………………12分 22．解：（1）因为 1 1 1121211 11-+-=--= --= -+n n n n n a a a a a n a n n a a n n 11)1()1(1 1 111- =-=-?-+-=-所以所以 （2）设F (x )=ln(x +1)－x (x >0) ), 1 1ln(111,1)11ln()0()1ln(,0)0()()0(01 111)(n n n n x x x F x F x x x x x F +-<-<+><+=<><+-=-+= '所以所以故则 ) 1ln(]ln )1ln(1[)2ln 3ln 1()1ln 2ln 1(,ln )1ln(11 1+-<++-+++-++-<++-<-=n n S n n S n n n a n n n 所以所以 （3）因为n n n n b )10 9(1?-= ………………………………4分 >>><<<≤<>?-=? -=?+?-=+++6543212 212 212 21310,19101410,19101910191011b b b b b b n n n n b b n n n n b b n n n n n n b b n n n n n n 所以即时当即时当所以 又因为n ≥2时，b n >0，并且b 1=0，所以40b b n ≤≤. 所以对任意的正整数n 、m ，均有|b n －b m |的最大值为： 14b b -=,5 3 400002400040000196830)109(434=<=-? 所以对任意的正整数n 、m ，均有5 3 ||<-m n b b ………………14分