4-2换元法
不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.
现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法. 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分是比较容易积出的.
二、第二类换元法
第二节
一、第一类换元法换元积分法
第四章
:公式首先看复合函数的导数
)( ),( 上的可构成区间设可微函数I x u u F y ?==
),())(()))(((x x F x F ???′′=′
)),(( 则可微的复合函数x F y ?=
它的微分形式为x x x F x F d )())(()))((d(???′′= ),()( 则记u f u F =′
,d )(d )())(()))((d(u u f x x x f x F =′=???看出点什么东西没有?
原函数?
被积表达式?
也是被积表达式?
一、第一类换元法
定理1.,)(有原函数设u f ,)(可导x u ?=则有换元公式
=′∫
x x x f d )()]([??∫u
u f d )()
(x u ?=∫)
(d ))((x x f ??(也称配元法即
=′∫x x x f d )()]([??, 凑微分法)
问题:
∫
xdx 2cos ,2sin C x +=解决方法利用复合函数，设置中间变量.
例1. 求.231
dx x
∫+解:dx x ∫+231dx
x x
)23(23121′+?+=∫du
u
∫=1211ln 2u C =+1
ln 32.2
x C =++32u x
=+
例2. 求).1(d )(?≠+∫m x b x a m
解: 令,b x a u +=则,d d x a u =故
原式=∫m u u a d 1a 1=C u m m ++?+1111)()
1(1+++=m b x a m a C +注:当1?=m 时
=+∫b x a x
d C b x a a
++ln 1()d f ax b x +=∫
∫+)(b x a f )
(d b x a +a
1
∫+=22)(1d 1a x x a 例3.求∫+.d 2
2x
a x
解:∫+22d x
a x
,a x u =令则x
a
u d 1d =∫+21u u d a 1C u a +=arctan 1C a
x a +=)arctan(1
想到公式
∫+2
1d u u
C
u +=arctan =
例4. 求∫>?).
0(d 2
2
a x
a x
=?∫
2
1d u
u 想到
C
u +arcsin 解:
∫?2)
(1d a x a x
∫)
(d ))((x x f ??(直接配元)
=
′∫
x x x f d )()]([??∫?=2)(1)(d a x a x C
a
x +=arcsin ∫
=?22d x a x
C a x a x a ++?=
ln 21例5.求.d 2
2∫?a
x x
解:221
a
x ?∵))((a x a x +?)()(a x a x ??+a 21=)11(21a x a x a +??=∴原式=???a 21∫∫+??a x x a x x d d ??
????=a 21∫??a x a x )
(d ??
?[a
21
=a x ?ln a x +?ln ]C +∫++?a x a x )(d
例6.解:
∫
+
.
d
14
x
x
x
求
,
d
2
d
,2故
则
令x
x
u
x
u=
=
∫
∫
+
=
+2
41
d
2
1
d
1u
u
x
x
x
1
arctan
2
u C
=+2
1
arctan .
2
x C
=+
2
22d )(212
3
x a x ∫+=例7. 求
.
d )
(2
3
2
2
3∫
+x a x x
解: 原式=∫+23)(22a x 2
2d x x 212
22)(a a x ?+∫?+=21)(2
122a x )
(d 22a x +∫?+?2
3)(2
222a x a )(d 22a x +22a x +=222a
x a ++C +
∫+=x x x d )
1(110例8. 求.)
1(d 10
∫+x x x
法1法2法3
∫+)1(d 10x x x
10
)x ?∫+)1(d 10x x x ∫+=)
1(1010x x ∫+)1(d 10x x x ∫?+=)1(d 1011x x x
∫?+=10
1x 10d x 101+10(x 10
d ?x 101?
常用的配元形式:
1
()d n
n f x x x ?=∫∫
)(n x f n x d n 11()d n f x x x =∫∫)(n x f n x d n 1n x 1万能凑
幂法例9.求.)ln 21(∫+x x ∫+x ln 21x ln d 解:原式=∫+=x
ln 2121)
ln 21(d x +C x ++=ln 21ln 2
1
. )ln ( d )(d )(ln :∫
∫==x u u u f x
x
x f 一般公式
例10.求.
d tan ∫x x 解:∫x x x
d cos sin ∫?=x x cos cos d C x +?=cos ln ?d cot =∫x x ∫x x x sin d cos C
x +=sin ln ∫=x x
sin sin d =∫x x d tan 类似(sin )cos d f x x x =
∫
∫
)(sin x f x
sin d (cos )sin d f x x x =∫
∫)(cos x f x
cos d ?
????++?
??x x sin 11sin 1121∫例11.求
.d sec ∫
x x 解法1 ∫x x d sec ∫=x x
x
d cos cos 2∫?=x x 2
sin 1sin d x sin d ???=[x sin 1ln 2
1
+=]C x +??sin 1ln C x
x +?+=sin 1sin 1ln 21
∫
+=x
x tan sec 解法2
∫
x x d sec ∫=x
x d sec x
x tan sec +)
tan (sec x x +x
x x x x x d tan sec tan sec sec 2
∫++=)tan (sec d x x +C
x x ++=tan sec ln 同样可证∫
x x d csc C x x +?=cot csc ln 或
∫x x d csc C x
+=2
tan ln (P196 例16)
)
2cos 2cos 21(241x x ++=例12 .求.
d cos 4
x x ∫解:2
2
4
)(cos cos x x =∵2
)
22cos 1(x +=)
2cos 21(2
4cos 141x x +++=
)4cos 2cos 2(2
12341x x ++==∴
∫
x x d cos 4
x x x d )4cos 2cos 2(2
12341
++∫
[41=∫x d 23)2d(2cos x x ∫+])4(d 4cos 81x x ∫
+x
83=x
2sin 41+x
4sin 321+C
+
例13. 求解:.
cos sin 5
2∫
?xdx x ∫?xdx x 5
2
cos sin ∫?=)
(sin cos sin 4
2
x xd x ∫??=)(sin )sin 1(sin 2
22x d x x ∫+?=)
(sin )sin sin 2(sin 6
4
2
x d x x x .sin 7
1sin 52sin 3175
3C x x x ++?=说明:
当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例14.求.
d sec 6
x x ∫解:原式=x d x 2
22sec
)1(tan ?+∫x tan d x x x tan d )1tan 2(tan 2
4
∫++=x 5
tan 5
1=x 3tan 2+x tan +C
+2
(tan )sec d f x x x =
∫
∫
)(tan x f x
tan d 例15.求.
d 3x x
e
x
∫
解:原式=x e
x
d 23∫)3d(3
23x e x
∫=C
e
x
+=332
例16.求.1d ∫+x e
x 解法1∫+x e x 1d x e e e x x d 1)1(∫+?+=x d ∫=∫++?x
e e 1)1(d x =C e x
++?)1ln(解法2 ∫+x e x 1d x e
e
x x
d 1∫??+=∫??++?=x
x
e e 1)1(d C
e x
++?=?)1ln()]1(ln[)1ln(+?=+???x
x
x
e e e 两法结果一样
初三数学换元法专练
利用换元法解分式方程的四种常见类型 一、直接换元 例1 解方程015)1 (2)1(2=----x x x x . 解：设 y x x =-1 ，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y . 当3-=y 时，31 -=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45 =x . 经检验，4 5 ,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元 例2 解方程 1)1 (3)1(22 2 =+-+ x x x x . 解：原方程配方，得 05)1 (3)1(22=-+-+x x x x . 设,1y x x =+则05322 =--y y . 解得 25 ,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012 =++x x . 因为0311412 <-=??-=?， 所以方程012 =++x x 无实数根. 当25=y 时，,2 51=+x x 即02522 =+-x x . 解得 21 ,221==x x . 经检验，2 1 ,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元 例3 解方程 031 ) 1(21122=-+++++x x x x . 解：设 y x x =++1 12，则原方程可化为032 =-+y y .
去分母，整理，得0232 =+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时， 11 1 2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x . 当2=y 时， 21 1 2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x . 经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元 例4 解方程12 22 242 2 =+-+ -x x x x . 解：原方程可变形为052 22 )22(22 2 =-+-+ +-x x x x . 设y x x =+-222 ，则原方程可化为052 2=-+ y y . 去分母，整理，得02522 =+-y y . 解得 2 1,221= =y y . 当2=y 时，2222 =+-x x ，即022 =-x x . 解得 2 1,021==x x . 当21= y 时，2 1222 =+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2 <-=??--=?， 所以方程03242 =+-x x 无实数根. 经检验，2 1 ,021= =x x 是原方程的根. 例1 解方程 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
换元法 (一)
年 级 五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题 换元法 （一） 编稿老师 王刚 一校 林卉 二校 黄楠 审核 高旭东 某些计算求值问题，有这样的特点：相同的部分重复出现两次或多次，整个算式不适合用裂项去处理。这时候我们应该考虑用换元法。什么是换元法呢？就是用字母或者符号替代算式中重复出现的部分，将算式改写成更简洁的形式，然后再计算。 初学换元法应先学会找到重复出现的项，观察这些项出现的位置。 例如： )98.1031.9()1066.577.688.7()1098.1031.9()66.577.688.7(+?+++-++?++ 这个算式中有5个不同的小数，各出现两次，非常适合用换元法来解。设 98 .1031.966.577.688.7+=++=b a 这样就完成了换元。 例1 12011200920102+? 分析与解：
1 1 1 1 )1 ( )1 ( 1 )1 ( )1 ( 1 2011 2009 2010 2010 2 2 2 2 2 2 2 = = + - + - = + - + ? - = + + ? - = + ? = a a a a a a a a a a a a a a，则原式可以变形为： 设 例2 ) 23 .0 12 .0( ) 34 .0 23 .0 12 .0 1( ) 34 .0 23 .0 12 .0( ) 23 .0 12 .0 1(+ ? + + + - + + ? + + 分析与解： 34 .0 34 .0 34 .0 34 .0 ) 34 .0 1( ) 34 .0 ( ) 1( ) 23 .0 12 .0( ) 34 .0 23 .0 12 .0 1( ) 34 .0 23 .0 12 .0( ) 23 .0 12 .0 1( 23 .0 12 .0 2 2 = - - - + + + = ? + + - + ? + = + ? + + + - + + ? + + + = a a a a a a a a a a a，则原式可变形为： 设 例3) 4 1 2 1 ( ) 6 1 4 1 2 1 1( ) 6 1 4 1 2 1 ( ) 4 1 2 1 1(+ ? + + + - + + ? + + 分析与解：
数学解题方法换元法详解
二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0） 时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2 －t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。 例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求 1S m a x ＋1S min 的值。（93年全国高中数学联赛题） 【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2 α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==???? ?cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin αα 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝10852-sin α ；
用换元法分解因式
用换元法分解因式 我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法.一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”. 李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换元法.李老师把换元法分解因式分成了三种情况： 一、换单项式 例1分解因式x6+14x3y+49y2. 分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为 m2+14my+49y2 =(m+7y)2 =(x3+7y)2. 二、换多项式 例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2. 分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为 (m+4x)(m+6x)+x2 =m2+10mx+24x2+x2 =m2+10mx+25x2 =(m+5x)2 =(x2+6+5x)2 =[(x+2)(x+3)]2 =(x+2)2(x+3)2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为 m(m+2x)+x2 =m2+2mx+x2 =(m+x)2 =(x2+4x+6+x)2 =(x2+5x+6)2 =[(x+2)(x+3)]2 =(x+2)2(x+3)2. 另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m= [(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x， (m+x)(m-x)+x2 =m2-x2+x2 =m2 =(x2+5x+6)2 =[(x+2)(x+3)]2 =(x+2)2(x+3)2. 例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24. 分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决. 我们采用“均值换元法”，设m=[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为 (m+5)(m-5)+24 =m2-25+24 =m2-1
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类) I 授课题目(章节)： § 4.2 换元积分法(第二类换元积分法) n 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 川教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 IV 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时.如果函数g(x)可以化为f[：:(x)]：「(x)的形式.那么 g(x)dx = f[ (x)] (x)dx 二f[ (x)]d ;:(x)^(x\ f (u)du = F(u) C =F[ (x)] C 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想?把被积函数凑出形如 f [- (x)F (x)函数来.对于某些 函数第一换元积分法无能为力，例如..a^x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x二(t)将无理函数f (x)的积分.f (x)dx化为有理式(t)卜(t)的积分.(t)F (t)dt。即卩 f (x)dx= . f「(t)「(t)dt 若上面的等式右端的被积函数f「(t)「(t)有原函数G(t)，则.(t)]：(t)dt = G (t) ? C, 然后再把「(t)中的t还原成4(x)，所以需要一开始的变量代换x = ' (t)有反函数。 定理2设x =?(t)是单调、可导的函数，且；(t) = 0，又设f「：(t)]；(t)有原函数叮」(t)，则.f (x)dx「(t)]，(t)dt =「(t) C_1(x)] C 分析要证明.f(x)dx =叫'4(x)] C ,只要证明叮4(x)]的导数为f (x),
高中数学3(换元法)
第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进
行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，
数学方法之换元法篇
数学方法之换元法篇 通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等. 一、整体换元 例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解析：设 ?? t x x ?y x x t .21 cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ? t t t y .1)1(2 12122-+=+-=故 当.22 1 ,2max +== ??y ?t 时 二、三角换元 例2：求函数2 5x x y -+=的值域. 解析：令????x ],2 ,2[,sin 5π πθθ- ∈=
). 4 sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π θθθθθ+=+=+?=y 则 因为 2 2 π θπ ≤ ≤- ，所以 .4 34 4 π π θπ ≤ + ≤- 所以1)4 sin(22≤+≤- πθ，得 10 )4 sin(105≤+ ≤-π θ 所以函数的值域为[10 ,5?- ]. 三、平均数换元法 例3： 已知 正 数 .4 25 )1)(1(:,1,≥++=+y y x x ???y x y x?求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为2 1，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2 1）, 则 .4 11625 23) 1)(1()1)(1(22422θθθ-+ += ++=++xy y x y y x x 显然分子 的值大于等于1625 ， 分母的值大于0小于等于4 1，从而得证. 四、比值换元 例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3 2 21-= +z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最
1-3-5换元法.题库教师版
1-3-5换元法.题库教 师版
换元法 教学目标 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则： 原式1 1()()66a b a b =-?-?- 1166ab b ab a =--+ 1()6a b =-11166 =?= 【答案】16 【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设111234a = ++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15 【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=， 原式378378207207a b a b ????=?+-+? ? ?????()3786213789207126207a b =-?=?= 【答案】9 【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)- (0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++， 原式=(0.1x +)y ?-(0.1y +)0.1x ?=?(y x -)0.054321= 【答案】0.054321 【巩固】 计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) 例题精讲
8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法
第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是 配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠ F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即
高中数学解题基本方法——换元法
高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。
换元积分法(第二类换元法)
§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ?化为 有理式[()]()f t t ψψ'的积分 [()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx =
小学思维数学：换元法-带答案解析
换元法 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令1111246a +++=，111 246b ++=，则： 原式11()()66 a b a b =-?-?- 1166ab b ab a =--+ 1()6a b =-11166=?= 【答案】16 【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234 + ++?+++-++++?++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设111234a =++，则原式化简为：111 1(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947???????? ++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令621739458126358947a ++=；739458 358947 b +=， 原式378378207207a b a b ? ???=?+-+? ? ????? ()3786213789207126207a b =-? =?= 【答案】9 【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)- (0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++) 例题精讲 教学目标
高中数学 换元法(附答案)
二、换元法（课时10） 一、知识提要 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法. 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等. 二、例题讲解 例1．（1）已知：x x f l g )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+?++x x 的解集是______________. 解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ； （2）设k y x =+，则1044,0122 2≥?≥-=?=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x =t ，可得原方程的解集为}0{. 例2．（1）函数223 ) 1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式. 解：（1）令θta n =x ，)2,2(π πθ-∈，则θθθθθθsi n )ta n 1(cos )ta n 1(ta n ta n 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22= ?=-=， ∴]4 1,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，
∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n ∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n ∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-?=n n b ，即n n n a a 22311+?=-+. 两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令n n n a c 2=，则有431=-+n n c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入n n n a c 2 =得： 22)13(-?-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求m a x 1 s ＋m in 1s 的值.（93年全国高中数学联赛题） 方法1：设?????==α αsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝α 2sin 5810- ； ∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ 1013≤1085-sin α≤103 ∴ m ax 1 s ＋m in 1s ＝310＋1310＝1610＝85 方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2 s －t ，t ∈[－S 2，S 2]， 则224t s xy －±=代入①式得：4S ±522 4 t s －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 . ∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103 ∴ m ax 1 s ＋m in 1s ＝310＋1310＝1610＝85
换元法求函数值
换元法求函数值 函数求值问题涉及很多方面： 1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。 2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。 3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。 这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子： 【典例】 设x ∈R ，若函数f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln2)的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 因为f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1，所以f (x )－e x 必然是一个常数，设f (x )－e x ＝t (t 为常数)，则f (x )＝e x ＋t ，故f (t )＝e t ＋t 。由已知可得f (t )＝e ＋1，所以e t ＋t ＝e ＋1。又函数y ＝e x ＋x 在R 上是单调递增的，显然t ＝1，所以f (x )＝e x ＋1，故f (ln2)＝e ln2＋1＝3。故选C 。 【答案】 C 先利用换元法，根据已知求出函数f (x )的解析式，然后代入 求值。 【变式训练】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (tan 2x )＝1cos2x ， 则f ? ????12 017＋f ? ????12 016＋…＋f ? ????13＋f ? ?? ??12＋f (0)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________。 解析 设t ＝tan 2x ，则1cos2x ＝1cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan 2x 1－tan 2x ＝1＋t 1－t ，所以f (t )＝1＋t 1－t 。故f (t )＋f ? ????1t ＝1＋t 1－t ＋1＋1t 1－1t ＝1＋t 1－ t
换元法
换元法
运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。 x ≥0,x ≤ 1 4 三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。 均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。 例1. 分解因式 分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。 解：法一：对和换元，用换元法解 设 则原式 法二：用换元法来解
设，则 原式 法三：将原式整理成关于x的二次三项式 原式 在函数中的应用 1、求函数的定义域 例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。 解：设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x2≦3,所以 -√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3] 2、求函数的解析式 例3、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式 解：设x+1=t,则x=t-1, 所以 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x2-4x-1。 例4、已知f(x+1/x)=x2+1/x2, 求f(x)的解析式 解：设x+1/x =t，则x2+1/x2=(x+1/x)2-2，即x2+1/x2=t2-2 故f(t)=t2-2, 因此f(x)=x2-2 化简求值：
最新D42换元法汇总
D42换元法
第四章不定积分 §2 换元积分法 基本思路 设?Skip Record If...?可导,则有 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?一、第一类换元法 定理1. ?Skip Record If...?则有换元公式 ?Skip Record If...? 即 ?Skip Record If...? (也称配元法, 凑微分法) 例1. 求?Skip Record If...? 解: 令?Skip Record If...?则?Skip Record If...?故原式 =?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 注: 当?Skip Record If...?时 ?Skip Record If...? 例2. 求?Skip Record If...? 解: ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 例3. 求?Skip Record If...?。 解: ?Skip Record If...??Skip Record If...?. 即 ?Skip Record If...??Skip Record If...?. 例4. 求?Skip Record If...? 解: ?Skip Record If...?
?Skip Record If...? =-ln|cos x|+C. 类似?Skip Record If...? 例5. 求?Skip Record If...? 解: ?Skip Record If...??Skip Record If...?∴原式 =?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?.常用的几种配元形式: ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?例6. 求?Skip Record If...? 解: 原式 =?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 例7. 求?Skip Record If...? 解: ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 例8. 求?Skip Record If...? 解: 原式 ?Skip Record If...?
一元二次方程中的整体思想(换元法)
一元二次方程中的整体思想（换元法） 一、内容概述 所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。 二、例题解析 初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。 （一）换元法在解方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。 1.利用倒数关系换元 例1 解分式方程：224343x x x x +=-- 分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成2243403x x x x -+ +=-，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。 解：移项整理得 2243403x x x x -+ +=- 设23x x y -=，则原方程可化为440y y ++= 去分母得2440y y ++= 解得122y y ==- 当2y =-时，232x x -=- 解得11x = 22x = 经检验：11x = 22x =是原方程的根 所以，原方程的根为11x = 22x = 练习1 103 =